La débil conjetura de Goldbach

En teoría de números , la conjetura débil de Goldbach , también conocida como la conjetura impar de Goldbach , el problema ternario de Goldbach o el problema de los 3 primos , es la proposición de que todo número impar mayor que 5 puede expresarse como la suma de tres primos (no necesariamente distintos) .

Esta conjetura se denomina "débil" porque está implícita en la fuerte conjetura de Goldbach sobre la suma de dos números primos: en efecto, si todo número par mayor que 4 es la suma de dos números primos impares, al sumar 3 a cada número par mayor que 4 se obtendrán los números impares mayores que 7 (y 7 mismo es igual a 2 + 2 + 3).

En 2013, Harald Helfgott publicó una supuesta demostración de la conjetura débil de Goldbach. ^{[ 2 ]} La demostración fue aceptada para su publicación en la serie Annals of Mathematics Studies ^{[ 3 ]} en 2015, y ha estado sometida a revisión y corrección desde entonces; los capítulos revisados ​​por pares y casi definitivos se están publicando en el proceso. ^{[ 4 ]} Si la demostración es aceptada, elevará la conjetura al estatus de teorema .

Algunos afirman la conjetura como

Todo número impar mayor que 7 puede expresarse como la suma de tres primos impares. ^{[ 5 ]}

Esta versión excluye 7 = 2 + 2 + 3, ya que 7 requiere el primo par 2. Para números impares mayores que 7, es ligeramente más fuerte, pues también excluye sumas como 17 = 2 + 2 + 13, que están permitidas en la otra formulación. La demostración de Helfgott abarca ambas versiones de la conjetura. Al igual que la otra formulación, esta también se deduce inmediatamente de la fuerte conjetura de Goldbach.

La conjetura se originó en la correspondencia entre Christian Goldbach y Leonhard Euler . Una formulación de la conjetura fuerte de Goldbach, equivalente a la más común en términos de sumas de dos números primos, es:

Todo número entero mayor que 5 se puede escribir como la suma de tres números primos.

La conjetura débil es simplemente esta afirmación restringida al caso en que el número entero sea impar (y posiblemente con el requisito adicional de que los tres números primos en la suma sean impares).

En 1923, Hardy y Littlewood demostraron que, asumiendo la hipótesis generalizada de Riemann , la conjetura débil de Goldbach es verdadera para todos los números impares suficientemente grandes . En 1937, Ivan Matveevich Vinogradov eliminó la dependencia de la hipótesis generalizada de Riemann y demostró directamente (véase el teorema de Vinogradov ) que todos los números impares suficientemente grandes pueden expresarse como la suma de tres primos. La demostración original de Vinogradov, al utilizar el ineficaz teorema de Siegel-Walfisz , no proporcionó una cota para "suficientemente grande"; su alumno K. Borozdkin (1956) derivó que${\displaystyle e^{e^{16.038}}\approx 3^{3^{15}}}$es suficientemente grande. ^{[ 6 ]} La parte entera de este número tiene 4.008.660 dígitos decimales, por lo que comprobar cada número por debajo de esta cifra sería completamente inviable.

En 1997, Deshouillers , Effinger, te Riele y Zinoviev publicaron un resultado que demostraba ^{[ 7 ]} que la hipótesis generalizada de Riemann implica la conjetura débil de Goldbach para todos los números. Este resultado combina una afirmación general válida para números mayores que 10²⁰ ^con una búsqueda computacional exhaustiva de los casos pequeños. Saouter también realizó una búsqueda computacional que abarcaba los mismos casos aproximadamente al mismo tiempo. ^{[ 8 ]}

En 1995, Olivier Ramaré demostró que todo número par n ≥ 4 es, de hecho, la suma de como máximo seis números primos, de lo cual se deduce que todo número impar n ≥ 5 es la suma de como máximo siete números primos. Leszek Kaniecki demostró que todo entero impar es la suma de como máximo cinco números primos, bajo la hipótesis de Riemann . ^{[ 9 ]} En 2012, Terence Tao demostró esto sin la hipótesis de Riemann; esto mejora ambos resultados. ^{[ 10 ]}

En 2002, Liu Ming-Chit ( Universidad de Hong Kong ) y Wang Tian-Ze redujeron el umbral de Borozdkin a aproximadamente${\displaystyle n>e^{3100}\approx 2\times 10^{1346}}$El exponente sigue siendo demasiado grande como para permitir la comprobación de todos los números menores mediante ordenador. (Las búsquedas informáticas solo han llegado hasta 10¹⁸ ^para la conjetura fuerte de Goldbach, y no mucho más allá para la conjetura débil de Goldbach).

En 2012 y 2013, el matemático peruano Harald Helfgott publicó un par de artículos que mejoraban las estimaciones de arcos mayores y menores para supuestamente probar la conjetura débil de Goldbach. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 2 ] [ 13 ] [ 14 ]} Aquí, los arcos mayores${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$es la unión de intervalos${\displaystyle \left(a/q-cr_{0}/qx,a/q+cr_{0}/qx\right)}$alrededor de los racionales${\displaystyle a/q,q<r_{0}}$dónde${\displaystyle c}$es una constante. Arcos menores${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$se definen como${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\setminus {\mathfrak {M}}}$.