proporción áurea

La proporción áurea es un número irracional . A continuación se presentan dos breves demostraciones de su irracionalidad:

Contradicción a partir de una expresión en términos mínimos.

Esta es una demostración por descenso infinito . Recordemos que:

El todo es la parte más larga más la parte más corta; el todo es a la parte más larga como la parte más larga es a la parte más corta.

Si llamamos al conjunto${\displaystyle n}$y la parte más larga${\displaystyle m}$⁠ , entonces la segunda afirmación anterior se convierte en

⁠${\displaystyle n}$es a​${\displaystyle m}$como​​${\displaystyle m}$es a​${\displaystyle nm}$.​

Decir que la proporción áurea${\displaystyle \varphi }$⁠ es racional significa que ⁠${\displaystyle \varphi }$es una fracción${\displaystyle n/m}$¿ Dónde ?${\displaystyle n}$y​​${\displaystyle m}$son números enteros . Podemos tomar${\displaystyle n/m}$estar en términos mínimos y${\displaystyle n}$y​​${\displaystyle m}$ser positivo. Pero si${\displaystyle n/m}$⁠ está en términos mínimos, entonces el valor equivalente ⁠${\displaystyle m/(nm)}$⁠ está en términos aún más bajos. Esa es una contradicción que se deriva del supuesto de que ⁠${\displaystyle \varphi }$es racional.

Dado que la proporción áurea es una raíz de un polinomio con coeficientes racionales, es un número algebraico . Su polinomio mínimo , el polinomio de menor grado con coeficientes enteros que tiene la proporción áurea como raíz, es$${\displaystyle x^{2}-x-1.}$$Este polinomio cuadrático tiene dos raíces ,${\displaystyle \varphi }$y​​${\displaystyle \textstyle -\varphi ^{-1}}$⁠ . Debido a que el coeficiente principal de este polinomio es 1, ambas raíces son enteros algebraicos . La proporción áurea también está estrechamente relacionada con el polinomio ⁠${\displaystyle \textstyle x^{2}+x-1}$⁠ , que tiene raíces ⁠${\displaystyle -\varphi }$y​​${\displaystyle \textstyle \varphi ^{-1}}$.​

La proporción áurea${\displaystyle \varphi }$es una unidad fundamental del campo cuadrático${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠ , a veces llamado campo dorado . En este campo, cualquier elemento puede escribirse en la forma ⁠${\displaystyle r+s\varphi }$, con coeficientes racionales${\displaystyle r}$y​​${\displaystyle s}$; dicho número tiene norma${\displaystyle \textstyle r^{2}+rs-s^{2}}$⁠ . Otras unidades, con norma ⁠${\displaystyle \pm 1}$⁠ , son las potencias positiva y negativa de ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ . Los enteros cuadráticos en este campo, que forman un anillo , son todos números de la forma ⁠${\displaystyle a+b\varphi }$¿ Dónde ?${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$son números enteros. ^{[ 38 ]}

Como raíz de un polinomio cuadrático, la proporción áurea es un número construible . ^{[ 39 ]}

La raíz conjugada del polinomio mínimo${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1}$es​

$${\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.618033\dots .}$$

El valor absoluto de esta cantidad ( ⁠${\displaystyle 0.618\ldots }$⁠ ) ​​corresponde a la relación de longitud tomada en orden inverso (longitud del segmento más corto sobre longitud del segmento más largo, ⁠${\displaystyle b/a}$⁠ ).

Esto ilustra la propiedad única de la proporción áurea entre los números positivos, que $${\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1,}$$

o su inversa, $${\displaystyle {\frac {1}{1/\varphi }}={\frac {1}{\varphi }}+1.}$$

La relación polinómica cuadrática conjugada y definitoria conduce a valores decimales que tienen su parte fraccionaria en común con ⁠${\displaystyle \varphi }$:​

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{2}&=\varphi +1=2.618033\dots ,\\[5mu]{\frac {1}{\varphi }}&=\varphi -1=0.618033\dots .\end{aligned}}}$$

La secuencia de potencias de ⁠${\displaystyle \varphi }$Contiene estos valores .${\displaystyle 0.618033\ldots }$,​​${\displaystyle 1.0}$,​​${\displaystyle 1.618033\ldots }$,​​${\displaystyle 2.618033\ldots }$⁠ ; más generalmente, cualquier poder de ⁠${\displaystyle \varphi }$es igual a la suma de las dos potencias inmediatamente anteriores :$${\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}=\varphi \cdot \operatorname {F} _{n}+\operatorname {F} _{n-1}.}$$

Como resultado, se puede descomponer fácilmente cualquier potencia de ⁠${\displaystyle \varphi }$en un múltiplo de${\displaystyle \varphi }$y una constante. El múltiplo y la constante son siempre números de Fibonacci adyacentes. Esto conduce a otra propiedad de las potencias positivas de${\displaystyle \varphi }$:​

Si​${\displaystyle {\bigl \lfloor }{\tfrac {1}{2}}n-1{\bigr \rfloor }=m}$⁠ , entonces: $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-3}+\cdots +\varphi ^{n-1-2m}+\varphi ^{n-2-2m}\\[5mu]\varphi ^{n}-\varphi ^{n-1}&=\varphi ^{n-2}.\end{aligned}}}$$

La fórmula${\displaystyle \varphi =1+1/\varphi }$⁠ se puede expandir recursivamente para obtener una fracción continua simple para la proporción áurea: ^{[ 40 ]}$${\displaystyle \varphi =[1;1,1,1,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}$$

De hecho, es la forma más simple de una fracción continua, junto con su forma recíproca: $${\displaystyle \varphi ^{-1}=[0;1,1,1,\dots ]=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}$$

Las convergentes de estas fracciones continuas ,${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}$,​​${\displaystyle {\tfrac {2}{1}}}$,​​${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$,​​${\displaystyle {\tfrac {5}{3}}}$,​​${\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}$,​​${\displaystyle {\tfrac {13}{8}}}$, ...o​${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}$,​​${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$,​​${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$,​​${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$,​​${\displaystyle {\tfrac {5}{8}}}$,​​${\displaystyle {\tfrac {8}{13}}}$⁠ , ...,son razones denúmeros de Fibonacci. Los términos consistentemente pequeños en su fracción continua explican por qué las aproximaciones convergen tan lentamente. Esto hace que la razón áurea sea un caso extremo de ladesigualdad de Hurwitzparaaproximaciones diofánticas, que establece que para cada irracional ⁠${\displaystyle \xi }$⁠ , existen infinitas fracciones distintas ⁠${\displaystyle p/q}$de tal manera que, $${\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}.}$$

Esto significa que la constante${\displaystyle {\sqrt {5}}}$No se puede mejorar sin excluir la proporción áurea. De hecho, es el número más pequeño que debe excluirse para generar aproximaciones más cercanas de dichos números de Lagrange . ^{[ 41 ]}

Una forma de raíz cuadrada continua para${\displaystyle \varphi }$⁠ se puede obtener de ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{2}=1+\varphi }$⁠ , lo que produce: ^{[ 42 ]}$${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {\textstyle 1+{\sqrt {1+\cdots {\vphantom {)}}}}}}}}.}$$

Una espiral de Fibonacci (arriba) que se aproxima a la espiral áurea , utilizando tamaños de cuadrados de la secuencia de Fibonacci de hasta 21. Una aproximación diferente a la espiral áurea se genera (abajo) apilando cuadrados cuyos lados tienen longitudes que pertenecen a la secuencia de números de Lucas , aquí hasta 76 .

Los números de Fibonacci y los números de Lucas tienen una relación intrincada con la proporción áurea. En la secuencia de Fibonacci, cada término${\displaystyle F_{n}}$es igual a la suma de los dos términos anteriores${\displaystyle F_{n-1}}$y${\displaystyle F_{n-2}}$, comenzando con la secuencia base ⁠${\displaystyle 0,1}$como los términos 0 y 1${\displaystyle F_{0}}$y${\displaystyle F_{1}}$:

⁠${\displaystyle 0,}$⁠ ⁠${\displaystyle 1,}$⁠ ⁠${\displaystyle 1,}$⁠ ⁠${\displaystyle 2,}$⁠ ⁠${\displaystyle 3,}$⁠ ⁠${\displaystyle 5,}$⁠ ⁠${\displaystyle 8,}$⁠ ⁠${\displaystyle 13,}$⁠ ⁠${\displaystyle 21,}$⁠ ⁠${\displaystyle 34,}$⁠ ⁠${\displaystyle 55,}$⁠ ⁠${\displaystyle 89,}$⁠ ⁠${\displaystyle \ldots }$( OEIS : A000045  ).

La secuencia de números de Lucas (que no debe confundirse con las secuencias de Lucas generalizadas , de las cuales esta forma parte) es como la secuencia de Fibonacci, en el sentido de que cada término${\displaystyle L_{n}}$es la suma de los dos términos anteriores${\displaystyle L_{n-1}}$y${\displaystyle L_{n-2}}$, sin embargo, comienza con ⁠${\displaystyle 2,1}$como los términos 0 y 1${\displaystyle L_{0}}$y${\displaystyle L_{1}}$:

⁠${\displaystyle 2,}$⁠ ⁠${\displaystyle 1,}$⁠ ⁠${\displaystyle 3,}$⁠ ⁠${\displaystyle 4,}$⁠ ⁠${\displaystyle 7,}$⁠ ⁠${\displaystyle 11,}$⁠ ⁠${\displaystyle 18,}$⁠ ⁠${\displaystyle 29,}$⁠ ⁠${\displaystyle 47,}$⁠ ⁠${\displaystyle 76,}$⁠ ⁠${\displaystyle 123,}$⁠ ⁠${\displaystyle 199,}$⁠ ⁠${\displaystyle \ldots }$( OEIS : A000032  ).

Excepcionalmente, la proporción áurea es igual al límite de las razones de términos sucesivos en la secuencia de Fibonacci y la secuencia de números de Lucas: ^{[ 43 ]}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n+1}}{L_{n}}}=\varphi .}$$

En otras palabras, si un número de Fibonacci y Lucas se divide por su predecesor inmediato en la secuencia, el cociente se aproxima a ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ . Por ejemplo,

${\displaystyle {\frac {F_{16}}{F_{15}}}={\frac {987}{610}}=1.6180327\ldots \ }$y${\displaystyle \ {\frac {L_{16}}{L_{15}}}={\frac {2207}{1364}}=1.6180351\ldots .}$

Estas aproximaciones son alternativamente menores y mayores que ⁠${\displaystyle \varphi }$y convergen a${\displaystyle \varphi }$a medida que aumentan los números de Fibonacci y Lucas.

Las expresiones en forma cerrada para las secuencias de Fibonacci y Lucas que involucran la proporción áurea son:

$${\displaystyle F\left(n\right)={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}-\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\right],}$$$${\displaystyle L\left(n\right)=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}.}$$

Combinando ambas fórmulas anteriores, se obtiene una fórmula para ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{n}}$que involucra tanto los números de Fibonacci como los de Lucas: $${\displaystyle \varphi ^{n}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}.}$$

Entre los números de Fibonacci y Lucas se puede deducir :${\displaystyle \textstyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$⁠ , lo cual se simplifica a expresar el límite del cociente de los números de Lucas por los números de Fibonacci como igual a la raíz cuadrada de cinco : $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}.}$$

De hecho, hay afirmaciones mucho más contundentes: $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl \vert }L_{n}-{\sqrt {5}}F_{n}{\bigr \vert }={\frac {2}{\varphi ^{n}}}\to 0,\\[5mu]&{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}L_{3n}{\bigr )}^{2}=5{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}F_{3n}{\bigr )}^{2}+(-1)^{n}.\end{aligned}}}$$

Las potencias sucesivas de la proporción áurea obedecen la recurrencia de Fibonacci ,${\displaystyle \textstyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}}$.​

La reducción a una expresión lineal se puede lograr en un solo paso utilizando: $${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}.}$$

Esta identidad permite cualquier polinomio en ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ reducirse a una expresión lineal, como en:

$${\displaystyle {\begin{aligned}3\varphi ^{3}-5\varphi ^{2}+4&=3(\varphi ^{2}+\varphi )-5\varphi ^{2}+4\\[5mu]&=3{\bigl (}(\varphi +1)+\varphi {\bigr )}-5(\varphi +1)+4\\[5mu]&=\varphi +2\aproximadamente 3,618033.\end{aligned}}}$$

Los números de Fibonacci consecutivos también se pueden utilizar para obtener una fórmula similar para la proporción áurea, en este caso mediante suma infinita : $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl |}F_{n}\varphi -F_{n+1}{\bigr |}=\varphi .}$$

En particular, los poderes de${\displaystyle \varphi }$⁠ ellos mismos redondeados a los números de Lucas (en orden, excepto las dos primeras potencias, ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{0}}$y​​${\displaystyle \varphi }$⁠ , están en orden inverso ^{[ 44 ]} ):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{0}&=1,\\[5mu]\varphi ^{1}&=1.618033989\ldots \approx 2,\\[5mu]\varphi ^{2}&=2.618033989\ldots \approx 3,\\[5mu]\varphi ^{3}&=4.236067978\ldots \approx 4,\\[5mu]\varphi ^{4}&=6.854101967\ldots \approx 7,\end{aligned}}}$$

y así sucesivamente. ^{[ 45 ]} Los números de Lucas también generan directamente potencias de la proporción áurea; para${\displaystyle n\geq 2}$:​ $${\displaystyle \varphi ^{n}=L_{n}-(-\varphi )^{-n}.}$$

Enraizada en su relación de interconexión con la proporción áurea está la noción de que la suma de terceros números de Fibonacci consecutivos es igual a un número de Lucas, es decir :${\displaystyle \textstyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}\!}$; y, lo que es importante, que${\displaystyle \textstyle L_{n}F_{n}=F_{2n}\!}$.​

Tanto la sucesión de Fibonacci como la de Lucas pueden utilizarse para generar formas aproximadas de la espiral áurea (una forma especial de espiral logarítmica ) mediante cuartos de círculo con radios derivados de estas sucesiones, que difieren solo ligeramente de la verdadera espiral logarítmica áurea. El término espiral de Fibonacci se utiliza generalmente para referirse a las espirales que se aproximan a la espiral áurea mediante cuadrados y cuartos de círculo con radios derivados de la secuencia de Fibonacci.

La proporción áurea ocupa un lugar destacado en la geometría. Por ejemplo, está intrínsecamente involucrada en la simetría interna del pentágono y se extiende para formar parte de las coordenadas de los vértices de un dodecaedro regular , así como las de un icosaedro regular . ^{[ 46 ]} También aparece en el triángulo de Kepler y en los teselados de Penrose , así como en varios otros politopos .

Construcción

División de un segmento de línea mediante división interior (arriba) y división exterior (abajo) según la proporción áurea.

Dividir por división interior

1. Tener un segmento de línea${\displaystyle AB}$⁠ , construir una perpendicular ⁠${\displaystyle BC}$en el punto${\displaystyle B}$⁠ , con ⁠${\displaystyle BC}$la mitad de la longitud de${\displaystyle AB}$⁠ . Dibuja la hipotenusa ⁠${\displaystyle AC}$.​
2. Dibuja un arco con centro ⁠${\displaystyle C}$y radio​${\displaystyle BC}$Este arco interseca la hipotenusa .${\displaystyle AC}$en el punto${\displaystyle D}$.​
3. Dibuja un arco con centro ⁠${\displaystyle A}$y radio​${\displaystyle AD}$Este arco interseca el segmento de línea original .${\displaystyle AB}$en el punto${\displaystyle S}$Punto​​${\displaystyle S}$divide el segmento de línea original${\displaystyle AB}$en segmentos de línea${\displaystyle AS}$y​​${\displaystyle SB}$con longitudes en la proporción áurea.

Dividir por división exterior

1. Dibuja un segmento de línea .${\displaystyle AS}$y construir a partir de ese punto${\displaystyle S}$un segmento​${\displaystyle SC}$perpendicular a​${\displaystyle AS}$y con la misma longitud que${\displaystyle AS}$.​
2. Biseca el segmento de línea .${\displaystyle AS}$con​​${\displaystyle M}$.​
3. Un arco circular alrededor de${\displaystyle M}$con radio​${\displaystyle MC}$Interseca en el punto${\displaystyle B}$la línea recta que pasa por los puntos${\displaystyle A}$y​​${\displaystyle S}$⁠ (también conocida como la extensión de ⁠${\displaystyle AS}$) . La relación de${\displaystyle AS}$al segmento construido${\displaystyle SB}$⁠ is the golden ratio.

Application examples you can see in the articles Pentagon with a given side length, Decagon with given circumcircle and Decagon with a given side length.

Both of the above displayed different algorithms produce geometric constructions that determine two aligned line segments where the ratio of the longer one to the shorter one is the golden ratio.

Golden angle

When two angles that make a full circle have measures in the golden ratio, the smaller is called the golden angle, with measure ⁠${\displaystyle g}$⁠:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2\pi -g}{g}}&={\frac {2\pi }{2\pi -g}}=\varphi ,\\[8mu]2\pi -g&={\frac {2\pi }{\varphi }}\approx 222.5^{\circ }\!,\\[8mu]g&={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}\aprox 137,5^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

This angle occurs in patterns of plant growth as the optimal spacing of leaf shoots around plant stems so that successive leaves do not block sunlight from the leaves below them.^[47]

Pentagonal symmetry system

Pentagon and pentagram

In a regular pentagon the ratio of a diagonal to a side is the golden ratio, while intersecting diagonals section each other in the golden ratio. The golden ratio properties of a regular pentagon can be confirmed by applying Ptolemy's theorem to the quadrilateral formed by removing one of its vertices. If the quadrilateral's long edge and diagonals are ⁠${\displaystyle a}$⁠, and short edges are ⁠${\displaystyle b}$⁠, then Ptolemy's theorem gives ⁠${\displaystyle \textstyle a^{2}=b^{2}+ab}$⁠. Dividing both sides by ⁠${\displaystyle ab}$⁠ yields (see § Calculation above), $${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}=\varphi .}$$

The diagonal segments of a regular pentagon form a pentagram, or five-pointed star polygon, whose geometry is quintessentially described by ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠. Primarily, each intersection of edges sections other edges in the golden ratio. The ratio of the length of the shorter segment to the segment bounded by the two intersecting edges (that is, a side of the inverted pentagon in the pentagram's center) is ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠, as the four-color illustration shows.

Pentagonal and pentagrammic geometry permits us to calculate the following values for ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠: $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &={\tfrac {1}{2}}\csc(\pi /10)={\tfrac {1}{2}}\csc 18^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &=2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &=2\sin(3\pi /10)=2\sin 54^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

Golden triangle and golden gnomon

El triángulo formado por dos diagonales y un lado de un pentágono regular se llama triángulo áureo o triángulo sublime . Es un triángulo isósceles agudo con ángulo vértice ⁠${\displaystyle 36^{\circ }}$y ángulos de la base${\displaystyle 72^{\circ }\!}$⁠ . ^{[ 48 ]} Sus dos lados iguales están en proporción áurea con su base. ^{[ 49 ]} El triángulo formado por dos lados y una diagonal de un pentágono regular se llama gnomon áureo . Es un triángulo isósceles obtuso con ángulo vértice ⁠${\displaystyle 108^{\circ }}$y ángulo de la base${\displaystyle 36^{\circ }\!}$Su base guarda una proporción áurea con sus dos lados iguales. [ ^{49 ]} El pentágono puede subdividirse así en dos gnomones áureos y un triángulo áureo central. Los cinco vértices de un ^pentagrama regular son triángulos áureos, ^{[ 49 ]} al igual que los diez triángulos formados al conectar los vértices de un decágono regular con su centro. ^{[ 50 ]}

Al bisecar uno de los ángulos de la base del triángulo áureo, este se subdivide en un triángulo áureo más pequeño y un gnomon áureo. De forma análoga, cualquier triángulo isósceles agudo puede subdividirse en un triángulo semejante y un triángulo isósceles obtuso, pero el triángulo áureo es el único en el que esta subdivisión se realiza mediante la bisectriz del ángulo, ya que es el único triángulo isósceles cuyo ángulo de la base es el doble de su ángulo del vértice. La bisectriz del triángulo áureo subdivide el lado que interseca en proporción áurea, y las áreas de las dos partes subdivididas también guardan la proporción áurea. ^{[ 49 ]}

Si se triseca el ángulo del vértice del gnomon dorado , la trisectriz lo subdivide nuevamente en un gnomon dorado más pequeño y un triángulo dorado. La trisectriz subdivide la base en la proporción áurea, y las dos piezas tienen áreas en proporción áurea. De forma análoga, cualquier triángulo obtuso puede subdividirse en un triángulo semejante y un triángulo isósceles agudo, pero el gnomon dorado es el único para el cual esta subdivisión se realiza mediante la trisectriz del ángulo, porque es el único triángulo isósceles cuyo ángulo del vértice es tres veces su ángulo de la base. ^{[ 49 ]}

Azulejos Penrose

La proporción áurea aparece de forma prominente en el teselado de Penrose , una familia de teselados aperiódicos del plano desarrollados por Roger Penrose , inspirados por la observación de Johannes Kepler de que los pentagramas, decágonos y otras formas podían llenar los huecos que las formas pentagonales por sí solas dejaban al unirse. ^{[ 51 ]} Se han estudiado varias variaciones de este teselado, y todos sus prototeselos exhiben la proporción áurea:

• La versión original de Penrose de este mosaico utilizaba cuatro formas: pentágonos y pentagramas regulares, figuras de "barco" con tres puntas de un pentagrama y rombos en forma de "diamante". ^{[ 52 ]}
• El teselado de Penrose de cometa y dardo utiliza cometas con tres ángulos interiores de ⁠${\displaystyle 72^{\circ }}$y un ángulo interior de${\displaystyle 144^{\circ }\!}$⁠ , y dardos, cuadriláteros cóncavos con dos ángulos interiores de ⁠${\displaystyle 36^{\circ }\!}$⁠ , uno de ⁠${\displaystyle 72^{\circ }\!}$y un ángulo no convexo de${\displaystyle 216^{\circ }\!}$Las reglas especiales de emparejamiento restringen cómo pueden encontrarse las fichas en cualquier borde, lo que da como resultado siete combinaciones de fichas en cualquier vértice. Tanto las cometas como los dardos tienen lados de dos longitudes, en proporción áurea entre sí. Las áreas de estas dos formas de fichas también están en proporción áurea entre sí. ^{[ 51 ]}
• La cometa y el dardo pueden cortarse, cada uno a lo largo de sus ejes de simetría, en un par de triángulos áureos y gnomones áureos, respectivamente. Con las reglas de correspondencia adecuadas, estos triángulos, denominados en este contexto triángulos de Robinson , pueden utilizarse como prototipos para una forma del teselado de Penrose. ^{[ 51 ] [ 53 ]}
• El teselado rómbico de Penrose contiene dos tipos de rombos, un rombo delgado con ángulos de ⁠${\displaystyle 36^{\circ }}$y​​${\displaystyle 144^{\circ }\!}$⁠ , y un rombo grueso con ángulos de ⁠${\displaystyle 72^{\circ }}$y​​${\displaystyle 108^{\circ }\!}$⁠ . Todas las longitudes de los lados son iguales, pero la razón entre la longitud de los lados y la diagonal corta en el rombo delgado es igual a ⁠${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$⁠ , al igual que la proporción de los lados con respecto a la diagonal larga del rombo grueso. Como en el caso del teselado de cometa y dardo, las áreas de los dos rombos guardan la proporción áurea entre sí. Nuevamente, estos rombos pueden descomponerse en pares de triángulos de Robinson. ^{[ 51 ]}

Azulejos Penrose originales de cuatro piezas

Azulejos romboidales Penrose

En triángulos y cuadriláteros

La construcción de Odom

George Odom encontró una construcción para${\displaystyle \varphi }$⁠ que involucra un triángulo equilátero : si el segmento de línea que une los puntos medios de dos lados se extiende hasta intersecar la circunferencia circunscrita , entonces los dos puntos medios y el punto de intersección con la circunferencia están en proporción áurea. ^{[ 54 ]}

Triángulo de Kepler

Progresión geométrica de las áreas de los cuadrados en los lados de un triángulo de Kepler.

Un triángulo isósceles formado por dos triángulos de Kepler maximiza la relación entre su radio interno y la longitud de su lado.

El triángulo de Kepler , que recibe su nombre de Johannes Kepler , es el único triángulo rectángulo cuyos lados siguen una progresión geométrica : $${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {\varphi {\vphantom {+}}}}\mathbin {:} \varphi .}$$ Estas longitudes de lado son las tres medias pitagóricas de los dos números .${\displaystyle \varphi \pm 1}$Los tres cuadrados de sus lados tienen áreas que siguen la progresión geométrica áurea .${\displaystyle \textstyle 1\mathbin {:} \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}}$.​

Entre los triángulos isósceles, la razón entre el radio de la circunferencia inscrita y la longitud del lado se maximiza para el triángulo formado por dos copias reflejadas del triángulo de Kepler, compartiendo el cateto más largo. ^{[ 55 ]} El mismo triángulo isósceles maximiza la razón entre el radio de un semicírculo en su base y su perímetro . ^{[ 56 ]}

Para un triángulo de Kepler con el lado más pequeño${\displaystyle s}$⁠ , el área y los ángulos internos agudos son: $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}s^{2}{\sqrt {\varphi {\vphantom {+}}}},\\[5mu]\theta &=\sin ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 38.1727^{\circ }\!,\\[5mu]\theta &=\cos ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 51.8273^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

Rectángulo áureo

La proporción áurea establece proporciones entre las longitudes de los lados adyacentes de un rectángulo áureo .${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$⁠ proporción. ^{[ 57 ]} Quitar o añadir cuadrados a los rectángulos áureos deja rectángulos que aún mantienen la proporción en ⁠${\displaystyle \varphi }$Proporción . Pueden generarse mediante espirales áureas , a través de cuadrados y cuartos de círculo sucesivos del tamaño de los números de Fibonacci y Lucas. Aparecen prominentemente en el icosaedro , así como en el dodecaedro (véase la sección siguiente para más detalles). ^{[ 46 ]}

Rombo dorado

Un rombo áureo es un rombo cuyas diagonales son proporcionales a la proporción áurea, más comúnmente${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$⁠ . ^{[ 58 ]} Para un rombo de tales proporciones, su ángulo agudo y sus ángulos obtusos son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=2\arctan {1 \over \varphi }\approx 63.43495^{\circ }\!,\\[5mu]\beta &=2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2=\arctan 1+\arctan 3\approx 116.56505^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

Las longitudes de sus diagonales cortas y largas${\displaystyle d}$y​​${\displaystyle D}$⁠ , en términos de longitud del lado ⁠${\displaystyle a}$son :

$${\displaystyle {\begin{aligned}d&={\frac {2a}{\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {\frac {3-\varphi }{5}}}a\approx 1.05146a,\\[5mu]D&=2{\sqrt {\frac {2+\varphi }{5}}}a\approx 1.70130a.\end{aligned}}}$$

Su área, en términos de${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle d}$:​

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\sin(\arctan 2)\cdot a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443a^{2},\\[5mu]A&={{\varphi } \over 2}d^{2}\approx 0.80902d^{2}.\end{aligned}}}$$

Su radio interno , en términos de lado ⁠${\displaystyle a}$:​

$${\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {5}}}.}$$

Los rombos dorados forman las caras del triacontaedro rómbico , los dos romboedros dorados , el dodecaedro de Bilinski ^{[ 59 ]} y el hexecontaedro rómbico . ^{[ 58 ]}

Vesica piscis

Si los dos círculos que definen la vesica piscis están rodeados cada uno por dos círculos concéntricos del doble de radio, entonces los dos círculos exteriores son tangentes a los dos círculos interiores (en los puntos${\displaystyle E}$y${\displaystyle F}$(de la figura). Los círculos exteriores también se intersecan para formar una lente, pero con un ángulo diferente al de la vesica piscis. Para estos círculos, el segmento de línea${\displaystyle {\overline {XC}}}$desde uno de los puntos de cruce${\displaystyle C}$de los círculos interiores hasta el punto de cruce opuesto${\displaystyle X}$de los círculos exteriores se subdivide en la proporción áurea por el punto${\displaystyle D}$, el segundo punto de cruce de los dos círculos interiores. ^{[ 60 ] [ 61 ]}

espiral dorada

Las espirales logarítmicas son espirales autosimilares donde las distancias recorridas por vuelta están en progresión geométrica . Una espiral logarítmica cuyo radio aumenta por un factor de la proporción áurea por cada cuarto de vuelta se llama espiral áurea . Estas espirales se pueden aproximar mediante cuartos de círculo que crecen por la proporción áurea, ^{[ 63 ]} o sus aproximaciones generadas a partir de números de Fibonacci, ^{[ 64 ]} a menudo representadas inscritas dentro de un patrón espiral de cuadrados que crecen en la misma proporción. La forma exacta de la espiral áurea en forma de espiral logarítmica se puede describir mediante la ecuación polar con ⁠${\displaystyle (r,\theta )}$:​ $${\displaystyle r=\varphi ^{2\theta /\pi }.}$$

No todas las espirales logarítmicas están conectadas a la proporción áurea, y no todas las espirales que están conectadas a la proporción áurea tienen la misma forma que la espiral áurea. Por ejemplo, una espiral logarítmica diferente, que encierra una secuencia anidada de triángulos isósceles áureos, crece según la proporción áurea para cada${\displaystyle 108^{\circ }}$⁠ que se convierte, en lugar del ⁠${\displaystyle 90^{\circ }}$Ángulo de giro de la espiral áurea. ^{[ 62 ]} Otra variación, llamada la "mejor espiral áurea", crece según la proporción áurea en cada media vuelta, en lugar de en cada cuarto de vuelta. ^{[ 63 ]}

Dodecaedro e icosaedro

El dodecaedro regular y su poliedro dual, el icosaedro, son sólidos platónicos cuyas dimensiones están relacionadas con la proporción áurea. Un dodecaedro tiene ⁠${\displaystyle 12}$⁠ caras pentagonales regulares, mientras que un icosaedro tiene ⁠${\displaystyle 20}$triángulos equiláteros ; ambos tienen${\displaystyle 30}$bordes . ^{[ 65 ]}​

Para un dodecaedro de lado ⁠${\displaystyle a}$⁠ , el radio de una esfera circunscrita e inscrita, y el radio medio son ( ⁠${\displaystyle r_{u}}$,​​${\displaystyle r_{i}}$y​​${\displaystyle r_{m}}$⁠ , respectivamente):

${\displaystyle r_{u}=a\,{\frac {{\sqrt {3}}\varphi }{2}},}$${\displaystyle r_{i}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2{\sqrt {3-\varphi }}}},}$y${\displaystyle r_{m}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2}}.}$

Mientras que para un icosaedro de lado ⁠${\displaystyle a}$⁠ , el radio de una esfera circunscrita e inscrita, y el radio medio son:

${\displaystyle r_{u}=a{\frac {\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}{2}},}$${\displaystyle r_{i}=a{\frac {\varphi ^{2}}{2{\sqrt {3}}}},}$y${\displaystyle r_{m}=a{\frac {\varphi }{2}}.}$

El volumen y el área superficial del dodecaedro se pueden expresar en términos de ⁠${\displaystyle \varphi }$:​

${\displaystyle A_{d}={\frac {15\varphi }{\sqrt {3-\varphi }}}}$y${\displaystyle V_{d}={\frac {5\varphi ^{3}}{6-2\varphi }}.}$

Así como para el icosaedro:

${\displaystyle A_{i}=20{\frac {\varphi ^{2}}{2}}}$y${\displaystyle V_{i}={\frac {5}{6}}(1+\varphi ).}$

Estos valores geométricos se pueden calcular a partir de sus coordenadas cartesianas , que también se pueden dar utilizando fórmulas que involucran${\displaystyle \varphi }$Las coordenadas del dodecaedro se muestran en la figura de la derecha, mientras que las del icosaedro son :

$${\displaystyle (0,\pm 1,\pm \varphi ),\ (\pm 1,\pm \varphi ,0),\ (\pm \varphi ,0,\pm 1).}$$

Conjuntos de tres rectángulos áureos se intersecan perpendicularmente dentro de dodecaedros e icosaedros, formando anillos borromeos . ^{[ 66 ] [ 46 ]} En los dodecaedros, pares de vértices opuestos en rectángulos áureos se encuentran con los centros de las caras pentagonales, y en los icosaedros, se encuentran en sus vértices. Los tres rectángulos áureos juntos contienen todos ⁠${\displaystyle 12}$⁠ vértices del icosaedro, o equivalentemente, intersecan los centros de todos ⁠${\displaystyle 12}$de las caras del dodecaedro. ^{[ 65 ]}

Un cubo puede inscribirse en un dodecaedro regular, con algunas de las diagonales de las caras pentagonales del dodecaedro sirviendo como aristas del cubo; por lo tanto, las longitudes de las aristas están en la proporción áurea. El volumen del cubo es ⁠${\displaystyle 2/(2+\varphi )}$⁠ veces la del dodecaedro. ^{[ 67 ]} De hecho, los rectángulos áureos dentro de un dodecaedro están en proporciones áureas con un cubo inscrito, de modo que las aristas de un cubo y las aristas largas de un rectángulo áureo están a su vez en ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}}$⁠ relación. Por otro lado, el octaedro , que es el poliedro dual del cubo, puede inscribir un icosaedro, de tal manera que el ⁠ de un icosaedro${\displaystyle 12}$⁠ Los vértices tocan el ⁠${\displaystyle 12}$⁠ aristas de un octaedro en los puntos que dividen sus aristas en proporción áurea. ^{[ 68 ]}

La expansión decimal de la proporción áurea se puede calcular mediante métodos de búsqueda de raíces, como el método de Newton o el método de Halley , en la ecuación ⁠${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1=0}$o en​${\displaystyle \textstyle x^{2}-5=0}$( para calcular${\displaystyle {\sqrt {5}}}$⁠ primero). El tiempo necesario para calcular ⁠${\displaystyle n}$⁠ Los dígitos de la proporción áurea utilizando el método de Newton son esencialmente ⁠${\displaystyle O(M(n))}$, donde​${\displaystyle M(n)}$⁠ es la complejidad temporal de multiplicar dos ⁠${\displaystyle n}$Números de dígitos. [ ^{69 ] Esto} es considerablemente más rápido que los algoritmos conocidos para π y e . Una alternativa fácilmente programable que utiliza solo aritmética de enteros es calcular dos grandes números de Fibonacci consecutivos y dividirlos. La razón de los números de Fibonacci${\displaystyle F_{25001}}$y​​${\displaystyle F_{25000}}$⁠ , cada uno sobre ⁠${\displaystyle 5000}$dígitos , rinde más de${\displaystyle 10{,}000}$Cifras significativas de la proporción áurea. La expansión decimal de la proporción áurea .${\displaystyle \varphi }$⁠ ^{[ 1 ]} se ha calculado con una precisión de veinte billones ( ⁠${\displaystyle \textstyle 2\times 10^{13}=20{,}000{,}000{,}000{,}000}$) dígitos. ^{[ 70 ]}

En el plano complejo , las quintas raíces de la unidad${\displaystyle \textstyle z=e^{2\pi ki/5}}$( para un número entero )${\displaystyle k}$) satisfactorio​${\displaystyle \textstyle z^{5}=1}$⁠ son los vértices de un pentágono. No forman un anillo de enteros cuadráticos , sin embargo, la suma de cualquier raíz quinta de la unidad y su conjugado complejo , ⁠${\displaystyle z+{\bar {z}}}$⁠ , es un entero cuadrático, un elemento de ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$⁠ . Específicamente,

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{0}+e^{-0}&=2,\\[5mu]e^{2\pi i/5}+e^{-2\pi i/5}&=\varphi ^{-1}=-1+\varphi ,\\[5mu]e^{4\pi i/5}+e^{-4\pi i/5}&=-\varphi .\end{alineado}}}$$

Esto también se cumple para las raíces décimas restantes de la unidad que satisfacen ⁠${\displaystyle \textstyle z^{10}=1}$⁠ ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi i}+e^{-\pi i}&=-2,\\[5mu]e^{\pi i/5}+e^{-\pi i/5}&=\varphi ,\\[5mu]e^{3\pi i/5}+e^{-3\pi i/5}&=-\varphi ^{-1}=1-\varphi .\end{alineado}}}$$

Para la función gamma${\displaystyle \Gamma }$⁠ , las únicas soluciones a la ecuación ⁠${\displaystyle \Gamma (z-1)=\Gamma (z+1)}$son​​${\displaystyle z=\varphi }$y​​${\displaystyle \textstyle z=-\varphi ^{-1}}$.​

Cuando la proporción áurea se utiliza como base de un sistema numérico (véase base de la proporción áurea , a veces denominada phinario o ⁠${\displaystyle \varphi }$-nario ), enteros cuadráticos en el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$– es decir, números de la forma${\displaystyle a+b\varphi }$para​​${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$en​​${\displaystyle \mathbb {Z} }$– tienen representaciones finitas , pero las fracciones racionales tienen representaciones no finitas.

La proporción áurea también aparece en la geometría hiperbólica , como la distancia máxima desde un punto en un lado de un triángulo ideal hasta el más cercano de los otros dos lados: esta distancia, la longitud del lado del triángulo equilátero formado por los puntos de tangencia de un círculo inscrito dentro del triángulo ideal, es${\displaystyle 4\log(\varphi)}$⁠ . ^{[ 71 ]}

La proporción áurea también aparece en la teoría de las funciones modulares . Para${\displaystyle |q|<1,}$dejar $${\displaystyle R(q)={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}}.}$$ Entonces $${\displaystyle R(e^{-2\pi })={\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi ,\quad R(-e^{-\pi })=\varphi ^{-1}-{\sqrt {2-\varphi ^{-1}}}}$$ y $${\displaystyle R(e^{-2\pi i/\tau })={\frac {1-\varphi R(e^{2\pi i\tau })}{\varphi +R(e^{2\pi i\tau })}}}$$ donde​${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$y​​${\displaystyle \textstyle (e^{z})^{1/5}}$⁠ en la fracción continua debe evaluarse como ⁠${\displaystyle \textstyle e^{z/5}}$⁠ . La función ⁠${\displaystyle \textstyle \tau \mapsto R(e^{2\pi i\tau })}$es invariante bajo${\displaystyle \Gamma (5)}$⁠ , un subgrupo de congruencia del grupo modular . También para números reales positivos ⁠${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$de tal manera que${\displaystyle \textstyle ab=\pi ^{2},}$[ ^{72 ]​}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl (}\varphi +R{{\bigl (}e^{-2a}{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigl (}\varphi +R{{\bigl (}e^{-2b}{\bigr )}}{\Bigr )}&=\varphi {\sqrt {5}},\\[5mu]{\Bigl (}\varphi ^{-1}-R{{\bigl (}{-e^{-a}}{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigl (}\varphi ^{-1}-R{{\bigl (}{-e^{-b}}{\bigr )}}{\Bigr )}&=\varphi ^{-1}{\sqrt {5}}.\end{aligned}}}$$

⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ es un número de Pisot-Vijayaraghavan . ^{[ 73 ]}

El arquitecto suizo Le Corbusier , famoso por sus contribuciones al estilo internacional moderno , centró su filosofía de diseño en sistemas de armonía y proporción. La fe de Le Corbusier en el orden matemático del universo estaba estrechamente ligada a la proporción áurea y a la sucesión de Fibonacci, que describió como «ritmos evidentes a simple vista y claros en sus relaciones entre sí. Y estos ritmos están en la raíz misma de las actividades humanas. Resuenan en el hombre por una inevitabilidad orgánica, la misma sutil inevitabilidad que hace que niños, ancianos, salvajes y eruditos tracen la sección áurea». ^{[ 74 ] [ 75 ]}

Le Corbusier empleó explícitamente la proporción áurea en su sistema Modulor para la escala de las proporciones arquitectónicas . Consideraba este sistema como una continuación de la larga tradición de Vitruvio , el " Hombre de Vitruvio " de Leonardo da Vinci , la obra de Leon Battista Alberti y otros que utilizaron las proporciones del cuerpo humano para mejorar la apariencia y la función de la arquitectura .

Además de la proporción áurea, Le Corbusier basó el sistema en medidas humanas , números de Fibonacci y la unidad doble. Llevó la sugerencia de la proporción áurea en las proporciones humanas al extremo: seccionó la altura de su modelo de cuerpo humano a la altura del ombligo con dos secciones en proporción áurea, y luego subdividió esas secciones en proporción áurea a la altura de las rodillas y la garganta; utilizó estas proporciones de la proporción áurea en el sistema Modulor . La Villa Stein en Garches de Le Corbusier, construida en 1927, ejemplifica la aplicación del sistema Modulor. La planta rectangular, la elevación y la estructura interna de la villa se aproximan mucho a los rectángulos áureos. ^{[ 76 ]}

Otro arquitecto suizo, Mario Botta , basa muchos de sus diseños en figuras geométricas. Varias casas particulares que diseñó en Suiza están compuestas por cuadrados y círculos, cubos y cilindros. En una casa que diseñó en Origlio , la proporción áurea es la que rige la relación entre la sección central y las secciones laterales de la vivienda. ^{[ 77 ]}

Las ilustraciones de poliedros de Leonardo da Vinci en la Divina proportione de Pacioli han llevado a algunos a especular que incorporó la proporción áurea en sus pinturas. Pero la sugerencia de que su Mona Lisa , por ejemplo, emplea proporciones de la proporción áurea, no está respaldada por los propios escritos de Leonardo. ^{[ 78 ]} De manera similar, aunque el Hombre de Vitruvio de Leonardo se muestra a menudo en relación con la proporción áurea, las proporciones de la figura en realidad no coinciden con ella, y el texto solo menciona proporciones de números enteros. ^{[ 79 ] [ 80 ]}