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Articulo de referencia

Teorema de Goldstine

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , el teorema de Goldstine , que lleva el nombre de Herman Goldstine , se enuncia de la siguiente manera: Teorema de Goldst...

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En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , el teorema de Goldstine , que lleva el nombre de Herman Goldstine , se enuncia de la siguiente manera:

Teorema de Goldstine. Seaincógnita{\displaystyle X}Si es un espacio de Banach , entonces la imagen de la bola de unidad cerradaB⊆incógnita{\displaystyle B\subsetequ X}bajo la incrustación canónica en la bola de unidad cerradaB′′{\displaystyle B^{\prime \prime }}del espacio bilateralincógnita′′{\displaystyle X^{\prime \prime }}es un subconjunto débil* - denso .

La conclusión del teorema no es cierta para la topología de la norma, lo cual se puede ver al considerar el espacio de Banach de sucesiones reales que convergen a cero, espacio c0do0,{\displaystyle c_{0},}y su espacio bidual Lp espacioℓ∞.{\displaystyle \ell ^{\infty }.}

Prueba

Lema

A pesar deincógnita′′∈B′′,{\displaystyle x^{\prime \prime }\in B^{\prime \prime },}φ1,…,φnorte∈incógnita′{\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\in X^{\prime }}yδ>0,{\displaystyle \delta >0,}existe unincógnita∈(1+δ)B{\displaystyle x\in (1+\delta )B}de tal manera queφi(incógnita)=incógnita′′(φi){\displaystyle \varphi _{i}(x)=x^{\prime \prime }(\varphi _{i})}a pesar de1≤i≤norte.{\displaystyle 1\leq i\leq n.}

Demostración del lema

Por la sobreyectividad de {Φ:incógnita→donorte,incógnita↦(φ1(incógnita),⋯,φnorte(incógnita)){\displaystyle {\begin{cases}\Phi :X\to \mathbb {C} ^{n},\\x\mapsto \left(\varphi _{1}(x),\cdots ,\varphi _{n}(x)\right)\end{cases}}} es posible encontrarincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}conφi(incógnita)=incógnita′′(φi){\displaystyle \varphi _{i}(x)=x^{\prime \prime }(\varphi _{i})}para1≤i≤norte.{\displaystyle 1\leq i\leq n.}

Ahora dejemos Y:=⋂iker⁡φi=ker⁡Φ.{\displaystyle Y:=\bigcap _{i}\ker \varphi _{i}=\ker \Phi .}

Cada elemento dez∈(incógnita+Y)∩(1+δ)B{\displaystyle z\in (x+Y)\cap (1+\delta )B}Satisfacez∈(1+δ)B{\displaystyle z\in (1+\delta )B}yφi(z)=φi(incógnita)=incógnita′′(φi),{\displaystyle \varphi _{i}(z)=\varphi _{i}(x)=x^{\prime \prime }(\varphi _{i}),}Por lo tanto, basta con demostrar que la intersección no está vacía.

Supongamos por contradicción que está vacío. Entoncesdistrito⁡(incógnita,Y)≥1+δ{\displaystyle \operatorname {dist} (x,Y)\geq 1+\delta }y por el teorema de Hahn-Banach existe una forma linealφ∈incógnita′{\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}de tal manera queφ|Y=0,φ(incógnita)≥1+δ{\displaystyle \varphi {\big \vert }_{Y}=0,\varphi (x)\geq 1+\delta }y‖φ‖incógnita′=1.{\displaystyle \|\varphi \|_{X^{\prime }}=1.}Entoncesφ∈durar⁡{φ1,…,φnorte}{\displaystyle \varphi \in \operatorname {span} \left\{\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right\}}[ 1 ] y por lo tanto 1+δ≤φ(incógnita)=incógnita′′(φ)≤‖φ‖incógnita′‖incógnita′′‖incógnita′′≤1,{\displaystyle 1+\delta \leq \varphi (x)=x^{\prime \prime }(\varphi )\leq \|\varphi \|_{X^{\prime }}\left\|x^{\prime \prime }\right\|_{X^{\prime \prime }}\leq 1,} lo cual es una contradicción.

Demostración del teorema

Arreglarincógnita′′∈B′′,{\displaystyle x^{\prime \prime }\in B^{\prime \prime },}φ1,…,φnorte∈incógnita′{\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\in X^{\prime }}yϵ>0.{\displaystyle \epsilon >0.}Examine el conjunto U:={y′′∈incógnita′′:|(incógnita′′−y′′)(φi)|<ϵ,1≤i≤norte}.{\displaystyle U:=\left\{y^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:|(x^{\prime \prime }-y^{\prime \prime })(\varphi _{i})|<\epsilon ,1\leq i\leq n\right\}.}

DejarJ:incógnita→incógnita′′{\displaystyle J:X\rightarrow X^{\prime \prime }}sea ​​la incrustación definida porJ(incógnita)=Evincógnita,{\displaystyle J(x)={\text{Ev}}_{x},}dóndeEvincógnita(φ)=φ(incógnita){\displaystyle {\text{Ev}}_{x}(\varphi )=\varphi (x)}es la evaluación enincógnita{\displaystyle x}mapa. Conjuntos de la formaU{\displaystyle U}forman una base para la topología débil*, [ 2 ] por lo que la densidad se deduce una vez que se demuestraJ(B)∩U≠∅{\displaystyle J(B)\cap U\neq \varnothing }para todos talesU.{\displaystyle U.}El lema anterior dice que para cualquierδ>0{\displaystyle \delta >0}existe unincógnita∈(1+δ)B{\displaystyle x\in (1+\delta )B}de tal manera queincógnita′′(φi)=φi(incógnita),{\displaystyle x^{\prime \prime }(\varphi _{i})=\varphi _{i}(x),}1≤i≤norte,{\displaystyle 1\leq i\leq n,}y en particularEvincógnita∈U.{\displaystyle {\text{Ev}}_{x}\in U.} DesdeJ(B)⊂B′′,{\displaystyle J(B)\subset B^{\prime \prime },}tenemosEvincógnita∈(1+δ)J(B)∩U.{\displaystyle {\text{Ev}}_{x}\in (1+\delta )J(B)\cap U.}Podemos escalar para obtener11+δEvincógnita∈J(B).{\displaystyle {\frac {1}{1+\delta }}{\text{Ev}}_{x}\in J(B).}El objetivo es demostrar que para un suficientemente pequeñoδ>0,{\displaystyle \delta >0,}tenemos11+δEvincógnita∈J(B)∩U.{\displaystyle {\frac {1}{1+\delta }}{\text{Ev}}_{x}\in J(B)\cap U.}

Al comprobarlo directamente, uno tiene |[incógnita′′−11+δEvincógnita](φi)|=|φi(incógnita)−11+δφi(incógnita)|=δ1+δ|φi(incógnita)|.{\displaystyle \left|\left[x^{\prime \prime }-{\frac {1}{1+\delta }}{\text{Ev}}_{x}\right](\varphi _{i})\right|=\left|\varphi _{i}(x)-{\frac {1}{1+\delta }}\varphi _{i}(x)\right|={\frac {\delta }{1+\delta }}|\varphi _{i}(x)|.}

Tenga en cuenta que uno puede elegirMETRO{\displaystyle M}suficientemente grande como para que‖φi‖incógnita′≤METRO{\displaystyle \|\varphi _{i}\|_{X^{\prime }}\leq M}para1≤i≤norte.{\displaystyle 1\leq i\leq n.}[ 3 ] Nótese también que‖incógnita‖incógnita≤(1+δ).{\displaystyle \|x\|_{X}\leq (1+\delta ).}Si uno eligeδ{\displaystyle \delta }de modo queδMETRO<ϵ,{\displaystyle \delta M<\epsilon ,}entonces δ1+δ|φi(incógnita)|≤δ1+δ‖φi‖incógnita′‖incógnita‖incógnita≤δ‖φi‖incógnita′≤δMETRO<ϵ.{\displaystyle {\frac {\delta }{1+\delta }}\left|\varphi _{i}(x)\right|\leq {\frac {\delta }{1+\delta }}\|\varphi _{i}\|_{X^{\prime }}\|x\|_{X}\leq \delta \|\varphi _{i}\|_{X^{\prime }}\leq \delta M<\epsilon .}

Por lo tanto, uno obtiene11+δEvincógnita∈J(B)∩U{\displaystyle {\frac {1}{1+\delta }}{\text{Ev}}_{x}\in J(B)\cap U}como se desee.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Rudin, Walter. Análisis funcional (Segunda  edición). Lema 3.9. págs. 63–64 . {{cite book}}: CS1 mantenimiento: ubicación ( enlace )
  2. ↑ Rudin, Walter. Análisis funcional (Segunda ed.). Ecuación (3) y la observación posterior. pág. 69.  {{cite book}}: CS1 mantenimiento: ubicación ( enlace )
  3. ↑ Folland, Gerald. Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (segunda edición). Proposición 5.2. págs. 153–154 .  {{cite book}}: CS1 mantenimiento: ubicación ( enlace )
  • Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277​​