constante de Gompertz

En matemáticas , la constante de Gompertz o constante de Euler-Gompertz , ^{[ 1 ] [ 2 ]} denotada por${\displaystyle \delta }$Aparece en evaluaciones integrales y como valor de funciones especiales . Recibe su nombre de Benjamin Gompertz .

Se puede definir mediante la integral exponencial como: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \delta =-e\operatorname {Ei} (-1)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}dx.}$

El valor numérico de${\displaystyle \delta }$Se trata de

δ =0,596 347 362 323 194 074 341 078 499 369 ... (secuencia A073003 en el OEIS ) . 

Cuando Euler estudió series infinitas divergentes, se encontró con...${\displaystyle \delta }$a través, por ejemplo, de la representación integral anterior. Le Lionnais llamó${\displaystyle \delta }$la constante de Gompertz debido a su papel en el análisis de supervivencia . ^{[ 1 ]}

En 1962, AB Shidlovski demostró que al menos una de las constantes de Euler-Mascheroni y la constante de Euler-Gompertz es irracional . ^{[ 4 ]} Este resultado fue mejorado en 2012 por Tanguy Rivoal , quien demostró que al menos una de ellas es trascendental . ^{[ 2 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

La aparición más frecuente de${\displaystyle \delta }$está en las siguientes integrales:

${\displaystyle \delta =\int _{0}^{\infty }\ln(1+x)e^{-x}dx}$

${\displaystyle \delta =\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-\ln(x)}}dx}$

que se derivan de la definición de δ por integración de partes y una sustitución de variables respectivamente.

Aplicando la expansión de Taylor de${\displaystyle \operatorname {Ei} }$tenemos la representación de la serie

${\displaystyle \delta =-e\left(\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n\cdot n!}}\right).}$

La constante de Gompertz está relacionada con los coeficientes de Gregory a través de la fórmula de I. Mező de 2013: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \delta =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\ln(n+1)}{n!}}-\sum _{n=0}^{\infty }C_{n+1}\{e\cdot n!\}-{\frac {1}{2}}.}$

La constante de Gompertz también resulta ser el valor regularizado de la suma de factoriales alternados de todos los números naturales ( 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ ), que se define mediante la suma de Borel : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \delta =\sum _ {k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!}$

También está relacionado con varias fracciones continuas polinómicas : ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{\delta }}=2-{\cfrac {1^{2}}{4-{\cfrac {2^{2}}{6-{\cfrac {3^{2}}{8-{\cfrac {4^{2}}{\ddots {\cfrac {n^{2}}{2(n+1)-\dots }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\delta }}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {3}{1+{\cfrac {3}{1+{\cfrac {4}{\dots }}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{1-\delta }}=3-{\cfrac {2}{5-{\cfrac {6}{7-{\cfrac {12}{9-{\cfrac {20}{\ddots {\cfrac {n(n+1)}{2n+3-\dots }}}}}}}}}}}$

• Wolfram MathWorld
• OEIS entry