Gonalidad de una curva algebraica

En matemáticas , la gonalidad de una curva algebraica C se define como el grado más bajo de una aplicación racional no constante de C a la recta proyectiva . En términos más algebraicos, si C se define sobre el cuerpo K y K ( C ) denota el cuerpo de funciones de C , entonces la gonalidad es el valor mínimo que toman los grados de las extensiones del cuerpo.

K ( C )/ K ( f )

del campo de funciones sobre sus subcampos generados por funciones individuales f .

Si K es algebraicamente cerrado, entonces la gonalidad es 1 precisamente para curvas de género 0. La gonalidad es 2 para curvas de género 1 ( curvas elípticas ) y para curvas hiperelípticas (esto incluye todas las curvas de género 2). Para género g ≥ 3, ya no es cierto que el género determine la gonalidad. La gonalidad de una curva de género g es menor o igual que la función piso de

( g + 3)/2.

Las curvas trigonales son aquellas con gonalidad 3, y este caso dio origen al nombre en general. Las curvas trigonales incluyen las curvas de Picard , de género tres y dadas por una ecuación

y ³ = Q ( x )

donde Q es de grado 4.

La conjetura de gonalidad de M. Green y R. Lazarsfeld predice que la gonalidad de la curva algebraica C puede calcularse mediante álgebra homológica , a partir de una resolución mínima de un haz invertible de alto grado. En muchos casos, la gonalidad es dos unidades mayor que el índice de Clifford . La conjetura de Green-Lazarsfeld es una fórmula exacta en términos de los números de Betti graduados para una incrustación de grado d en r dimensiones, para d grande con respecto al género. Escribiendo b ( C ), con respecto a una incrustación dada de C y la resolución libre mínima para su anillo de coordenadas homogéneas , para el índice mínimo i para el cual βi _{, i + 1} es cero, entonces la fórmula conjeturada para la gonalidad es

r + 1 − b ( C ).

Según la charla que Federico Amodeo impartió en el ICM en 1900 , el concepto (pero no la terminología) se originó en la Sección V de la Teoría de las funciones abelianas de Riemann . Amodeo utilizó el término "gonalità" ya en 1893.

• Eisenbud, David (2005). La geometría de las sizigias. Un segundo curso de álgebra conmutativa y geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  229. Nueva York, NY: Springer-Verlag . pp.  171, 178. ISBN 0-387-22215-4. SEÑOR 2103875 . Zbl 1066.14001 .  

• Introducción geométrica a las curvas trigonales de género cinco

• Código para construir ejemplos de curvas trigonales especiales en GitHub, escrito en Macaulay2.