descomposición de Gordon

En física matemática , la descomposición de Gordon ^{[ 1 ]} (llamada así en honor a Walter Gordon ) de la corriente de Dirac consiste en dividir la corriente de carga o de número de partículas en una parte que surge del movimiento del centro de masa de las partículas y otra que surge de los gradientes de la densidad de espín. Utiliza explícitamente la ecuación de Dirac y, por lo tanto, se aplica únicamente a soluciones "en la capa de masas" de dicha ecuación.

Para cualquier solución${\displaystyle \psi }$de la ecuación de Dirac masiva,

${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi =0,}$

la corriente de número covariante de Lorentz${\displaystyle j^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$ puede expresarse como

${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ={\frac {i}{2m}}({\bar {\psi }}\nabla ^{\mu }\psi -(\nabla ^{\mu }{\bar {\psi }})\psi )+{\frac {1}{m}}\partial _{\nu }({\bar {\psi }}\Sigma ^{\mu \nu }\psi ),}$

dónde

${\displaystyle \Sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]}$

es el generador espinorial de las transformaciones de Lorentz y

${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\daga }\gamma ^{0}}$

es el adjunto de Dirac .

La versión correspondiente en el espacio de momentos para soluciones de ondas planas${\displaystyle u(p)}$y${\displaystyle {\bar {u}}(p')}$obedecer

${\displaystyle (\gamma ^{\mu }p_{\mu }-m)u(p)=0}$

${\displaystyle {\bar {u}}(p')(\gamma ^{\mu }p'_{\mu }-m)=0,}$

es

${\displaystyle {\bar {u}}(p')\gamma ^{\mu }u(p)={\bar {u}}(p')\left[{\frac {(p+p')^{\mu }}{2m}}+i\sigma ^{\mu \nu }{\frac {(p'-p)_{\nu }}{2m}}\right]u(p)~,}$

dónde

${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=2\Sigma ^{\mu \nu }.}$

Esta descomposición de la corriente en un flujo de número de partículas (primer término) y una contribución de espín ligado (segundo término) requiere${\displaystyle m\neq 0}$.

Si se supone que la solución dada tiene energía${\textstyle E={\sqrt {|{\mathbf {k} }|^{2}+m^{2}}}}$de modo que${\textstyle \psi (\mathbf {r} ,t)=\psi ({\mathbf {r} })e^{-iEt}}$, se podría obtener una descomposición que sea válida tanto para casos masivos como sin masa. ^{[ 2 ]}

Utilizando nuevamente la ecuación de Dirac, se encuentra que

${\displaystyle {\mathbf {j} }\equiv e{\bar {\psi }}{\boldsymbol {\gamma }}\psi ={\frac {e}{2iE}}\left(\psi ^{\dagger }\nabla \psi -(\nabla \psi ^{\dagger })\psi \right)+{\frac {e}{E}}(\nabla \times {\mathbf {S} }).}$

Aquí${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}=(\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3})}$, y ${\displaystyle {\mathbf {S} }=\psi ^{\dagger }{\hat {\mathbf {S} }}\psi }$ con ${\displaystyle ({\hat {S}}_{x},{\hat {S}}_{y},{\hat {S}}_{z})=(\Sigma ^{23},\Sigma ^{31},\Sigma ^{12}),}$ de modo que

${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{matrix}{\boldsymbol {\sigma }}&0\\0&{\boldsymbol {\sigma }}\end{matrix}}\right],}$

dónde${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$es el vector de matrices de Pauli .

Con la densidad de número de partículas identificada con${\displaystyle \rho =\psi ^{\dagger }\psi }$y para una solución de onda casi plana de extensión finita, se puede interpretar el primer término en la descomposición como la corriente${\displaystyle {\mathbf {j} }_{\rm {free}}=e\rho {\mathbf {k} }/E=e\rho {\mathbf {v} }}$, debido a partículas que se mueven a velocidad${\displaystyle {\mathbf {v} }={\mathbf {k} }/E}$.

El segundo mandato,${\displaystyle {\mathbf {j} }_{\rm {bound}}=(e/E)\nabla \times {\mathbf {S} }}$es la corriente debida a los gradientes en la densidad del momento magnético intrínseco . El momento magnético en sí se encuentra integrando por partes para demostrar que

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}{\stackrel {\rm {}}{=}}{\frac {1}{2}}\int {\mathbf {r} }\times {\mathbf {j} }_{\rm {bound}}\,d^{3}x={\frac {1}{2}}\int {\mathbf {r} }\times \left({\frac {e}{E}}\nabla \times {\mathbf {S} }\right)\,d^{3}x={\frac {e}{E}}\int {\mathbf {S} }\,d^{3}x~.}$

Para una sola partícula masiva en su sistema de referencia en reposo , donde${\displaystyle E=m}$, el momento magnético se reduce a

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\rm {Dirac}}=\left({\frac {e}{m}}\right){\mathbf {S} }=\left({\frac {eg}{2m}}\right){\mathbf {S} }.}$

dónde${\displaystyle |{\mathbf {S} }|=\hbar /2}$y${\displaystyle g=2}$es el valor de Dirac de la relación giromagnética .

Para una partícula sin masa que obedece la ecuación de Weyl dextrógira , el espín 1/2 está bloqueado a la dirección${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$de su momento cinético y el momento magnético se convierte en ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\rm {Weyl}}=\left({\frac {e}{E}}\right){\frac {\hbar {\hat {\mathbf {k} }}}{2}}.}$

Tanto para el caso masivo como para el caso sin masa, también se dispone de una expresión para la densidad de momento como parte del tensor de energía-momento simétrico de Belinfante-Rosenfeld.

${\displaystyle T_{\rm {BR}}^{\mu \nu }={\frac {i}{4}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\nabla ^{\nu }\psi -(\nabla ^{\nu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\mu }\psi +{\bar {\psi }}\gamma ^{\nu }\nabla ^{\mu }\psi -(\nabla ^{\mu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\nu }\psi ).}$

Utilizando la ecuación de Dirac se puede evaluar${\displaystyle T_{\rm {BR}}^{0\mu }=({\mathcal {E}},{\mathbf {P} })}$para encontrar la densidad de energía que debe ser${\displaystyle {\mathcal {E}}=E\psi ^{\dagger }\psi }$y la densidad de momento,

${\displaystyle {\mathbf {P} }={\frac {1}{2i}}\left(\psi ^{\dagger }(\nabla \psi )-(\nabla \psi ^{\dagger })\psi \right)+{\frac {1}{2}}\nabla \times {\mathbf {S} }.}$

Si se utilizara el tensor de energía-momento canónico no simétrico

${\displaystyle T_{\rm {canonical}}^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\nabla ^{\nu }\psi -(\nabla ^{\nu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\mu }\psi ),}$

No se encontraría la contribución ligada de espín-momento.

Mediante una integración por partes se encuentra que la contribución del espín al momento angular total es

${\displaystyle \int {\mathbf {r} }\times \left({\frac {1}{2}}\nabla \times {\mathbf {S} }\right)\,d^{3}x=\int {\mathbf {S} }\,d^{3}x.}$

Esto es lo esperado, por lo que la división por 2 en la contribución de espín a la densidad de momento es necesaria. La ausencia de una división por 2 en la fórmula para la corriente refleja la${\displaystyle g=2}$relación giromagnética del electrón. En otras palabras, un gradiente de densidad de espín es el doble de efectivo para generar una corriente eléctrica que para contribuir al momento lineal.

Motivado por la forma vectorial de Riemann-Silberstein de las ecuaciones de Maxwell , Michael Berry ^{[ 4 ]} utiliza la estrategia de Gordon para obtener expresiones invariantes de gauge para la densidad de momento angular de espín intrínseco para soluciones de las ecuaciones de Maxwell .

Él supone que las soluciones son monocromáticas y utiliza las expresiones fasoriales .${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}$,${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}$. El promedio temporal de la densidad del momento vectorial de Poynting viene dado por $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {P} \rangle &={\frac {1}{4c^{2}}}[{\mathbf {E} }^{*}\times {\mathbf {H} }+{\mathbf {E} }\times {\mathbf {H} }^{*}]\\&={\frac {\epsilon _{0}}{4i\omega }}[{\mathbf {E} }^{*}\cdot (\nabla {\mathbf {E} })-(\nabla {\mathbf {E} }^{*})\cdot {\mathbf {E} }+\nabla \times ({\mathbf {E} }^{*}\times {\mathbf {E} })]\\&={\frac {\mu _{0}}{4i\omega }}[{\mathbf {H} }^{*}\cdot (\nabla {\mathbf {H} })-(\nabla {\mathbf {H} }^{*})\cdot {\mathbf {H} }+\nabla \times ({\mathbf {H} }^{*}\times {\mathbf {H} })].\end{aligned}}}$$ Hemos utilizado las ecuaciones de Maxwell al pasar de la primera a la segunda y tercera línea, y en expresiones como${\displaystyle {\mathbf {H} }^{*}\cdot (\nabla {\mathbf {H} })}$el producto escalar se encuentra entre los campos de manera que el carácter vectorial está determinado por el${\displaystyle \nabla }$.

Como $${\displaystyle \mathbf {P} _{\text{tot}}=\mathbf {P} _{\text{free}}+{\mathbf {P} }_{\text{bound}},}$$ y para un fluido con densidad de momento angular intrínseco${\displaystyle \mathbf {S} }$tenemos $${\displaystyle \mathbf {P} _{\text{bound}}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {S} ,}$$ Estas identidades sugieren que la densidad de espín puede identificarse como $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {\mu _{0}}{2i\omega }}{\mathbf {H} }^{*}\times {\mathbf {H} }}$$ o $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {\epsilon _{0}}{2i\omega }}{\mathbf {E} }^{*}\times {\mathbf {E} }.}$$ Las dos descomposiciones coinciden cuando el campo es paraxial. También coinciden cuando el campo es un estado de helicidad pura, es decir, cuando${\displaystyle {\mathbf {E} }=i\sigma c{\mathbf {B} }}$donde la helicidad${\displaystyle \sigma }$toma los valores${\displaystyle \pm 1}$para luz polarizada circularmente a la derecha o a la izquierda, respectivamente. En otros casos, pueden ser diferentes.