Perspectiva de Gossard

En geometría, el perspector de Gossard ^[1] (también llamado perspector Zeeman–Gossard ^[2] ) es un punto especial asociado con un triángulo plano . Es un centro de un triángulo y se designa como X(402) en la Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling . El punto fue nombrado perspector de Gossard por John Conway en 1998 en honor a Harry Clinton Gossard, quien descubrió su existencia en 1916. Más tarde se supo que el punto había aparecido en un artículo de Christopher Zeeman publicado durante 1899-1902. Desde 2003 en adelante, la Enciclopedia de centros de triángulos se ha referido a este punto como perspector Zeeman–Gossard . ^[2]

Sea ABC un triángulo cualquiera. Sea la línea de Euler del triángulo ABC la que corta las líneas laterales BC , CA y AB del triángulo ABC en D , E y F respectivamente. Sea A _g B _g C _g el triángulo formado por las líneas de Euler de los triángulos AEF , BFD y CDE , siendo el vértice A _g la intersección de las líneas de Euler de los triángulos BFD y CDE , y lo mismo para los otros dos vértices. El triángulo A _g B _g C _g se llama triángulo de Gossard del triángulo ABC . ^[3]

Sea ABC un triángulo cualquiera y sea A _g B _g C _g su triángulo de Gossard. Entonces las rectas AA _g , BB _g y CC _g son concurrentes. El punto de concurrencia se denomina perspector de Gossard del triángulo ABC .

• Sea A _g B _g C _g el triángulo de Gossard del triángulo ABC . Las rectas B _g C _g , C _g A _g y A _g B _g son respectivamente paralelas a las rectas BC , CA y AB . ^[4]
• Cualquier triángulo y su triángulo de Gossard son congruentes.
• Cualquier triángulo y su triángulo de Gossard tienen la misma línea de Euler.
• El triángulo de Gossard del triángulo ABC es el reflejo del triángulo ABC en el perspectivador de Gossard.

Las coordenadas trilineales del perspector de Gossard del triángulo ABC son

( f ( a , b , c ) : f ( b , c , a ) : f ( c , a , b ) )

dónde

f ( a , b , c ) = p ( a , b , c ) y ( a , b , c ) / a

dónde

p ( a , b , c ) = 2 a ⁴ − a ² b ² − a ² c ² − ( b ² − c ² ) ²

y

y ( a , b , c ) = a ⁸ − a ⁶ ( b ² + c ² ) + a ⁴ ( 2 b ² − c ² ) ( 2 c ² − b ² ) + ( b ² − c ² ) ² [ 3 a ² ( b ² + c ² ) − b ⁴ − c ⁴ − 3 b ² c ² ]

La construcción que produce el triángulo de Gossard de un triángulo ABC se puede generalizar para producir triángulos A'B'C'  que son congruentes con el triángulo ABC y cuyas líneas laterales son paralelas a las líneas laterales del triángulo ABC .

Este resultado se debe a Christopher Zeeman. ^[4]

Sea l una línea paralela a la línea de Euler del triángulo ABC . Sea l la que interseca las líneas laterales BC , CA y AB del triángulo ABC en X , Y y Z respectivamente. Sea A'B'C'  el triángulo formado por las líneas de Euler de los triángulos AYZ , BZX y CXY . Entonces el triángulo A'B'C'  es congruente con el triángulo ABC y sus líneas laterales son paralelas a las líneas laterales del triángulo ABC . ^[4]

Esta generalización se debe a Paul Yiu. ^{[1] [5]}

Sea P cualquier punto en el plano del triángulo ABC diferente de su centroide G.

Sea la línea PG la que corta las líneas laterales BC , CA y AB en X , Y y Z respectivamente.

Sean los centroides de los triángulos AYZ , BZX y CXY G _a , G _b y G _c respectivamente.

Sea P _a un punto tal que YP _a es paralelo a CP y ZP _a es paralelo a BP .

Sea P _b un punto tal que ZP _b es paralelo a AP y XP _b es paralelo a CP .

Sea P _c un punto tal que XP _c es paralelo a BP y YP _c es paralelo a AP .

Sea A'B'C'  el triángulo formado por las rectas G _a P _a , G _b P _b y G _c P _c .

Entonces el triángulo A'B'C'  es congruente con el triángulo ABC y sus lados son paralelos a los lados del triángulo ABC .

Cuando P coincide con el ortocentro H del triángulo ABC entonces la recta PG coincide con la recta de Euler del triángulo ABC . El triángulo A'B'C'  coincide con el triángulo de Gossard A _g B _g C _g del triángulo ABC .

El teorema fue generalizado por Dao Thanh Oai. Sea ABC un triángulo. Sean H y O dos puntos en el plano, y sea la línea HO la que corta a BC, CA, AB en A ₀ , B ₀ , C ₀ respectivamente. Sean A _H y A _O dos puntos tales que C ₀ A _H paralelo a BH , B ₀ A _H paralelo a CH y C ₀ A _O paralelo a BO , B ₀ A _O paralelo a CO . Definamos B _H , B _O , C _H , C _O cíclicamente. Entonces el triángulo formado por las líneas A _H A _O , B _H B _O , C _H C _O y el triángulo ABC son homotéticos y congruentes , y el centro homotético se encuentra en la línea OH . El resultado de Dao Thanh Oai es la generalización de todos los resultados anteriores. ^{[6] [7] [8]}

• Cuando HO es la línea de Euler , el resultado de Dao es el teorema del perspector de Gossard.
• Cuando PQ es paralela a la línea de Euler , el resultado de Dao es la generalización de Zeeman.
• Cuando P es el centroide , el resultado de Dao es la generalización de Yiu.

El centro homotético en la Enciclopedia de Centros de Triángulos llamado perspector Dao-Zeeman de la línea OH . ^[7]

• Línea central
• Enciclopedia de centros de triángulos
• Centroide del triángulo
• Triángulo central
• Línea de Euler