Segunda ley de Gossen

La segunda “ley” de Gossen , llamada así por Hermann Heinrich Gossen (1810-1858), es la afirmación de que un agente económico asignará sus gastos de manera que la relación entre la utilidad marginal de cada bien o servicio y su precio (el gasto marginal necesario para su adquisición) sea igual a la de cualquier otro bien o servicio. Formalmente,

${\displaystyle {\frac {\parcial U/\parcial x_{i}}{p_{i}}}={\frac {\parcial U/\parcial x_{j}}{p_{j}}}~\forall \left(i,j\right)}$

dónde

• ${\estilo de visualización U}$es utilidad
• $Estilo de visualización x_{i}}$es la cantidad del bien o servicio -ésimo${\estilo de visualización i}$
• $estilo de visualización p_{i}}$es el precio del -ésimo bien o servicio${\estilo de visualización i}$

Imaginemos que un agente ha gastado dinero en distintos tipos de bienes o servicios. Si la última unidad de dinero gastada en bienes o servicios de un tipo ha permitido comprar una cantidad con una utilidad marginal menor que la que se habría asociado con la cantidad de otro tipo que podría haber comprado con ese dinero, entonces el agente habría obtenido mejores resultados si hubiera comprado más de ese otro bien o servicio. Suponiendo que los bienes y servicios son continuamente divisibles, la única forma en que es posible que el gasto marginal en un bien o servicio no rinda más utilidad que el gasto marginal en el otro (o viceversa ) es si los gastos marginales rindan una utilidad igual .

Supongamos que la utilidad, los bienes y los servicios tienen las propiedades necesarias para que esté bien definida para cada bien o servicio. Un agente entonces optimiza ${\displaystyle \parcial U/\parcial x_{i}}$

${\displaystyle U\left(x_{1},x_{2},\puntos ,x_{n}\right)}$

Sujeto a una restricción presupuestaria

${\displaystyle W\geq \sum _{i=1}^{n}\left(p_{i}\cdot x_{i}\right)}$

donde es la suma total de dinero disponible. Utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange , se construye la función ${\estilo de visualización W}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},\puntos ,x_{n},\lambda \right)=U(x_{1},x_{2},\puntos ,x_{n}\right)+\lambda \cdot \left[W-\sum _{i=1}^{n}(p_{i}\cdot x_{i}\right)\right]}$

y encuentra las condiciones de primer orden para la optimización como

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \lambda }}=0}$

(lo que simplemente implica que todo se gastará) y ${\estilo de visualización W}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}=0~~\forall i}$

de modo que

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}-\lambda \cdot p_{i}=0~~\forall i}$

que es algebraicamente equivalente a

${\displaystyle {\frac {\parcial U/\parcial x_{i}}{p_{i}}}=\lambda ~~\para todo i}$

Como cada una de estas razones es igual a , las razones son todas iguales entre sí: ${\estilo de visualización \lambda}$

${\displaystyle {\frac {\parcial U/\parcial x_{i}}{p_{i}}}={\frac {\parcial U/\parcial x_{j}}{p_{j}}}~\forall \left(i,j\right)}$

(Nótese que, como con cualquier maximización que utilice condiciones de primer orden, las ecuaciones se mantendrán solo si la función de utilidad satisface requisitos de concavidad específicos y no tiene máximos en los bordes del conjunto sobre el cual se está maximizando).

• Leyes de Gossen
• Utilidad marginal
• Marginalismo

• Gossen, Hermann Heinrich; Die Entwicklung der Gesetze des menschlichen Verkehrs und der daraus fließenden Regeln für menschliches Handeln (1854). Traducido al inglés como Las leyes de las relaciones humanas y las reglas de la acción humana derivadas de ellas (1983) MIT Press, ISBN  0-262-07090-1 .