Gráfico de Gosset

El grafo de Gosset , llamado así en honor a Thorold Gosset , es un grafo regular en distancia con 56 vértices y valencia 27. ^{[ 1 ]} Es el 1-esqueleto del politopo 3 ₂₁ de 7 dimensiones .

El grafo de Gosset se puede construir explícitamente de la siguiente manera: los 56 vértices son los vectores en R ⁸ obtenidos al permutar las coordenadas y posiblemente tomar el opuesto del vector (3,  3, − 1, − 1, − 1, − 1, − 1, − 1). Dos de estos vectores son adyacentes cuando su producto escalar es 8, o equivalentemente cuando su distancia es       ${\displaystyle 4{\sqrt {2}}}$.

Una construcción alternativa se basa en el grafo completo de 8 vértices K ₈ . Los vértices del grafo de Gosset se pueden identificar con dos copias del conjunto de aristas de K ₈ . Dos vértices del grafo de Gosset que provienen de copias diferentes son adyacentes si corresponden a aristas disjuntas de K ₈ ; dos vértices que provienen de la misma copia son adyacentes si corresponden a aristas que comparten un único vértice.

En la representación vectorial del grafo de Gosset, dos vértices están a distancia dos cuando su producto interno es −8 y a distancia tres cuando su producto interno es −24 (lo cual solo es posible si los vectores son opuestos entre sí). En la representación basada en las aristas de K8 , dos vértices del grafo de Gosset están a distancia tres si y solo si corresponden a copias diferentes de la misma arista de _K8 . El grafo _de Gosset es distancia-regular con diámetro tres. ^{[ 2 ]}

El subgrafo inducido del vecindario de cualquier vértice en el grafo de Gosset es isomorfo al grafo de Schläfli . ^{[ 2 ]}

El grupo de automorfismos del grafo de Gosset es isomorfo al grupo de Coxeter E ₇ y, por lo tanto, tiene orden 2903040. El politopo de Gosset 3 ₂₁ es un politopo semirregular . Por consiguiente, el grupo de automorfismos del grafo de Gosset, E ₇ , actúa transitivamente sobre sus vértices, lo que lo convierte en un grafo transitivo sobre vértices .

El polinomio característico del grafo de Gosset es ^{[ 3 ].}

${\displaystyle (x-27)(x-9)^{7}(x+1)^{27}(x+3)^{21}.\,}$

Por lo tanto, esta gráfica es una gráfica integral .

• Weisstein, Eric W. "Grafo de Gosset" . MathWorld .