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El lema de Goursat

El lema de Goursat , que recibe su nombre del matemático francés Édouard Goursat , es un teorema algebraico sobre subgrupos del producto directo de dos grupos . Se puede enuncia...

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El lema de Goursat , que recibe su nombre del matemático francés Édouard Goursat , es un teorema algebraico sobre subgrupos del producto directo de dos grupos .

Se puede enunciar de forma más general en una variedad de Goursat (y, por consiguiente, también se cumple en cualquier variedad de Maltsev ), a partir de la cual se recupera una versión más general del lema de la mariposa de Zassenhaus . En esta forma, el lema de Goursat también implica el lema de la serpiente .

Grupos

El lema de Goursat para grupos se puede enunciar de la siguiente manera.

DejarGRAMO{\displaystyle G},GRAMO′{\displaystyle G'}sean grupos, y dejenH{\displaystyle H}ser un subgrupo deGRAMO×GRAMO′{\displaystyle G\times G'}de tal manera que las dos proyeccionespag1:H→GRAMO{\displaystyle p_{1}:H\to G}ypag2:H→GRAMO′{\displaystyle p_{2}:H\to G'}son sobreyectivas (es decir,H{\displaystyle H}es un producto subdirecto deGRAMO{\displaystyle G}yGRAMO′{\displaystyle G'}). Dejarnorte{\displaystyle N}ser el núcleo depag2{\displaystyle p_{2}}ynorte′{\displaystyle N'}el núcleo depag1{\displaystyle p_{1}}Uno puede identificarnorte{\displaystyle N}como un subgrupo normal deGRAMO{\displaystyle G}, ynorte′{\displaystyle N'}como un subgrupo normal deGRAMO′{\displaystyle G'}. Luego la imagen deH{\displaystyle H}enGRAMO/norte×GRAMO′/norte′{\displaystyle G/N\times G'/N'}es la gráfica de un isomorfismoGRAMO/norte≅GRAMO′/norte′{\displaystyle G/N\cong G'/N'}Entonces se obtiene una biyección entre:
  1. Subgrupos deGRAMO×GRAMO′{\displaystyle G\times G'}que se proyectan sobre ambos factores,
  2. Triples(norte,norte′,F){\displaystyle (N,N',f)}connorte{\displaystyle N}normal enGRAMO{\displaystyle G},norte′{\displaystyle N'}normal enGRAMO′{\displaystyle G'}yF{\displaystyle f}isomorfismo deGRAMO/norte{\displaystyle G/N}sobreGRAMO′/norte′{\displaystyle G'/N'}.

Una consecuencia inmediata de esto es que el producto subdirecto de dos grupos puede describirse como un producto fibrado y viceversa.

Observa que siH{\displaystyle H}es cualquier subgrupo deGRAMO×GRAMO′{\displaystyle G\times G'}(las proyeccionespag1:H→GRAMO{\displaystyle p_{1}:H\to G}ypag2:H→GRAMO′{\displaystyle p_{2}:H\to G'}no es necesario que sea sobreyectivo), entonces las proyecciones deH{\displaystyle H}sobrepag1(H){\displaystyle p_{1}(H)}ypag2(H){\displaystyle p_{2}(H)}son sobreyectivas. Entonces se puede aplicar el lema de Goursat aH≤pag1(H)×pag2(H){\displaystyle H\leq p_{1}(H)\times p_{2}(H)}.

Para motivar la demostración, consideremos la secciónS={gramo}×GRAMO′{\displaystyle S=\{g\}\times G'}enGRAMO×GRAMO′{\displaystyle G\times G'}, para cualquier arbitrariogramo∈GRAMO{\displaystyle g\in G}. Por la sobreyectividad del mapa de proyección aGRAMO{\displaystyle G}, esto tiene una intersección no trivial conH{\displaystyle H}. Entonces, esencialmente, esta intersección representa exactamente una clase lateral particular denorte′{\displaystyle N'}. De hecho, si tenemos elementos(gramo,a),(gramo,b)∈S∩H{\displaystyle (g,a),(g,b)\in S\cap H}cona∈pagnorte′⊂GRAMO′{\displaystyle a\in pN'\subset G'}yb∈qnorte′⊂GRAMO′{\displaystyle b\in qN'\subset G'}, entoncesH{\displaystyle H}Al ser un grupo, lo entendemos.(mi,ab−1)∈H{\displaystyle (e,ab^{-1})\in H}y por lo tanto,(mi,ab−1)∈norte′{\displaystyle (e,ab^{-1})\in N'}De ello se deduce que(gramo,a){\displaystyle (g,a)}y(gramo,b){\displaystyle (g,b)}yacen en el mismo espacio denorte′{\displaystyle N'}. Por lo tanto, la intersección deH{\displaystyle H}con cada rebanada "horizontal" isomorfa aGRAMO′∈GRAMO×GRAMO′{\displaystyle G'\in G\times G'}es exactamente un co-conjunto particular denorte′{\displaystyle N'}enGRAMO′{\displaystyle G'}. Mediante un argumento idéntico, la intersección deH{\displaystyle H}con cada corte "vertical" isomorfo aGRAMO∈GRAMO×GRAMO′{\displaystyle G\in G\times G'}es exactamente un co-conjunto particular denorte{\displaystyle N}enGRAMO{\displaystyle G}.

Todos los cosets denorte,norte′{\displaystyle N,N'}están presentes en el grupoH{\displaystyle H}Y, según el argumento anterior, existe una correspondencia exacta 1:1 entre ellos. La demostración que sigue muestra además que la aplicación es un isomorfismo.

Prueba

Antes de proceder con la prueba ,norte{\displaystyle N}ynorte′{\displaystyle N'}se muestran normales enGRAMO×{mi′}{\displaystyle G\times \{e'\}}y{mi}×GRAMO′{\displaystyle \{e\}\times G'}, respectivamente. Es en este sentido quenorte{\displaystyle N}ynorte′{\displaystyle N'}pueden identificarse como normales en G y G' , respectivamente.

Desdepag2{\displaystyle p_{2}}es un homomorfismo , su núcleo N es normal en H. Además, dadogramo∈GRAMO{\displaystyle g\in G}, existeh=(gramo,gramo′)∈H{\displaystyle h=(g,g')\in H}, desdepag1{\displaystyle p_{1}}es sobreyectiva. Por lo tanto,pag1(norte){\displaystyle p_{1}(N)}es normal en G , a saber:

gramopag1(norte)=pag1(h)pag1(norte)=pag1(hnorte)=pag1(norteh)=pag1(norte)gramo{\displaystyle gp_{1}(N)=p_{1}(h)p_{1}(N)=p_{1}(hN)=p_{1}(Nh)=p_{1}(N)g}.

Resulta quenorte{\displaystyle N}es normal enGRAMO×{mi′}{\displaystyle G\times \{e'\}}desde

(gramo,mi′)norte=(gramo,mi′)(pag1(norte)×{mi′})=gramopag1(norte)×{mi′}=pag1(norte)gramo×{mi′}=(pag1(norte)×{mi′})(gramo,mi′)=norte(gramo,mi′){\displaystyle (g,e')N=(g,e')(p_{1}(N)\times \{e'\})=gp_{1}(N)\times \{e'\}=p_{1}(N)g\times \{e'\}=(p_{1}(N)\times \{e'\})(g,e')=N(g,e')}.

La prueba de quenorte′{\displaystyle N'}es normal en{mi}×GRAMO′{\displaystyle \{e\}\times G'}Procede de manera similar.

Dada la identificación deGRAMO{\displaystyle G}conGRAMO×{mi′}{\displaystyle G\times \{e'\}}, podemos escribirGRAMO/norte{\displaystyle G/N}ygramonorte{\displaystyle gN}en lugar de(GRAMO×{mi′})/norte{\displaystyle (G\times \{e'\})/N}y(gramo,mi′)norte{\displaystyle (g,e')N},gramo∈GRAMO{\displaystyle g\in G}. De manera similar, podemos escribirGRAMO′/norte′{\displaystyle G'/N'}ygramo′norte′{\displaystyle g'N'},gramo′∈GRAMO′{\displaystyle g'\in G'}.

Pasemos a la demostración. Consideremos el mapa.H→GRAMO/norte×GRAMO′/norte′{\displaystyle H\to G/N\times G'/N'}definido por(gramo,gramo′)↦(gramonorte,gramo′norte′){\displaystyle (g,g')\mapsto (gN,g'N')}La imagen deH{\displaystyle H}debajo de este mapa está{(gramonorte,gramo′norte′)∣(gramo,gramo′)∈H}{\displaystyle \{(gN,g'N')\mid (g,g')\in H\}}. DesdeH→GRAMO/norte{\displaystyle H\to G/N}es sobreyectiva, esta relación es la gráfica de una función bien definidaGRAMO/norte→GRAMO′/norte′{\displaystyle G/N\to G'/N'}proporcionógramo1norte=gramo2norte⟹gramo1′norte′=gramo2′norte′{\displaystyle g_{1}N=g_{2}N\implies g_{1}'N'=g_{2}'N'}por cada(gramo1,gramo1′),(gramo2,gramo2′)∈H{\displaystyle (g_{1},g_{1}'),(g_{2},g_{2}')\in H}, esencialmente una aplicación de la prueba de la línea vertical .

Desdegramo1norte=gramo2norte{\displaystyle g_{1}N=g_{2}N}(más propiamente,(gramo1,mi′)norte=(gramo2,mi′)norte{\displaystyle (g_{1},e')N=(g_{2},e')N}), tenemos(gramo2−1gramo1,mi′)∈norte⊂H{\displaystyle (g_{2}^{-1}g_{1},e')\in N\subset H}. De este modo(mi,gramo2′−1gramo1′)=(gramo2,gramo2′)−1(gramo1,gramo1′)(gramo2−1gramo1,mi′)−1∈H{\displaystyle (e,g_{2}'^{-1}g_{1}')=(g_{2},g_{2}')^{-1}(g_{1},g_{1}')(g_{2}^{-1}g_{1},e')^{-1}\in H}, de donde(mi,gramo2′−1gramo1′)∈norte′{\displaystyle (e,g_{2}'^{-1}g_{1}')\in N'}, eso es,gramo1′norte′=gramo2′norte′{\displaystyle g_{1}'N'=g_{2}'N'}.

Además, por cada(gramo1,gramo1′),(gramo2,gramo2′)∈H{\displaystyle (g_{1},g_{1}'),(g_{2},g_{2}')\in H}tenemos(gramo1gramo2,gramo1′gramo2′)∈H{\displaystyle (g_{1}g_{2},g_{1}'g_{2}')\in H}De ello se deduce que esta función es un homomorfismo de grupo .

Por simetría,{(gramo′norte′,gramonorte)∣(gramo,gramo′)∈H}{\displaystyle \{(g'N',gN)\mid (g,g')\in H\}}es la gráfica de un homomorfismo bien definidoGRAMO′/norte′→GRAMO/norte{\displaystyle G'/N'\to G/N}Estos dos homomorfismos son claramente inversos entre sí y, por lo tanto, son isomorfismos .

Variedades Goursat

Como consecuencia del teorema de Goursat, se puede derivar una versión muy general del teorema de Jordan-Hölder - Schreier en variedades de Goursat.

Referencias

  • Édouard Goursat, "Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (1889), volumen: 6, páginas 9-102
  • J. Lambek (1996). «La mariposa y la serpiente». En Aldo Ursini; Paulo Agliano (eds.). Lógica y álgebra . CRC Press. pp. 161–180 . ISBN  978-0-8247-9606-8.
  • Kenneth A. Ribet (otoño de 1976), " Acción de Galois en puntos de división de variedades abelianas con multiplicaciones reales", American Journal of Mathematics , vol. 98, n.º 3, 751–804.
  • A. Carboni, GM Kelly y MC Pedicchio (1993), Algunas observaciones sobre las categorías de Mal'tsev y Goursat, Applied Categorical Structures, Vol. 4, 385–421.