Base de Gröbner

Las bases de Gröbner se definen principalmente para ideales en un anillo polinomial.${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$sobre un cuerpo K. Aunque la teoría funciona para cualquier cuerpo, la mayoría de los cálculos de la base de Gröbner se realizan cuando K es el cuerpo de los racionales o los enteros módulo un número primo.

En el contexto de las bases de Gröbner, un polinomio no nulo en${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$comúnmente se representa como una suma${\displaystyle c_{1}M_{1}+\cdots +c_{m}M_{m},}$donde el${\displaystyle c_{i}}$son elementos no nulos de K , llamados coeficientes , y el${\displaystyle M_{i}}$son monomios (llamados productos de potencia por Buchberger y algunos de sus seguidores) de la forma${\displaystyle x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}},}$donde el${\displaystyle a_{i}}$son enteros no negativos. El vector${\displaystyle A=[a_{1},\ldots ,a_{n}]}$se denomina vector exponencial del monomio. Cuando la lista${\displaystyle X=[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$de las variables es fijo, la notación de monomios a menudo se abrevia como${\displaystyle x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}=X^{A}.}$

Los monomios se definen de forma única por sus vectores exponenciales y, cuando se fija un orden de monomios (véase más adelante), un polinomio se representa de forma única mediante la lista ordenada de pares ordenados formados por un vector exponencial y el coeficiente correspondiente. Esta representación de polinomios es especialmente eficiente para el cálculo de bases de Gröbner en ordenadores, aunque resulta menos conveniente para otros cálculos como la factorización de polinomios y el máximo común divisor de polinomios .

Si${\displaystyle F=\{f_{1},\ldots ,f_{k}\}}$es un conjunto finito de polinomios en el anillo de polinomios R , el ideal generado por F es el conjunto de combinaciones lineales de elementos de F con coeficientes en R ; es decir, el conjunto de polinomios que se pueden escribir${\textstyle \sum _{i=1}^{k}g_{i}f_{i}}$con${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}\in R.}$

Todas las operaciones relacionadas con las bases de Gröbner requieren la elección de un orden total en los monomios, con las siguientes propiedades de compatibilidad con la multiplicación. Para todos los monomios M , N , P ,

1. ${\displaystyle M\leq N\Longleftrightarrow MP\leq NP}$
2. ${\displaystyle M\leq MP}$.

Un orden total que satisface estas condiciones se denomina a veces ordenamiento admisible .

Estas condiciones implican que el orden es un buen orden , es decir, toda secuencia estrictamente decreciente de monomios es finita.

Aunque la teoría de bases de Gröbner no depende de una elección particular de un ordenamiento monomial admisible, tres ordenamientos monomiales son especialmente importantes para las aplicaciones:

• Ordenación lexicográfica , comúnmente llamada lex o plex (para ordenación puramente léxica).
• Ordenación lexicográfica inversa de grado total , comúnmente llamada degrevlex .
• Ordenación por eliminación , lexdeg .

La teoría de bases de Gröbner se introdujo inicialmente para el ordenamiento lexicográfico. Pronto se comprendió que la base de Gröbner para degrevlex es casi siempre mucho más fácil de calcular, y que es casi siempre más fácil calcular una base de Gröbner lex calculando primero la base degrevlex y luego utilizando un "algoritmo de cambio de ordenamiento". Cuando se requiere eliminación , degrevlex no es conveniente; se pueden usar tanto lex como lexdeg, pero, de nuevo, muchos cálculos son relativamente fáciles con lexdeg y casi imposibles con lex.

La reducción de un polinomio mediante otros polinomios con respecto a un orden monomial es fundamental en la teoría de bases de Gröbner. Es una generalización tanto de la reducción de filas que ocurre en la eliminación gaussiana como de los pasos de división de la división euclidiana de polinomios univariados . ^{[ 1 ]} Cuando se completa lo máximo posible, a veces se la denomina división multivariada, aunque su resultado no está definido de forma única.

La reducción de plomo es un caso especial de reducción que resulta más fácil de calcular. Es fundamental para el cálculo de bases de Gröbner, ya que la reducción general solo se necesita al final de dicho cálculo, para obtener una base de Gröbner reducida a partir de una no reducida.

Fijemos un ordenamiento monomial admisible, al cual se referirá toda comparación monomial que aparecerá en esta sección.

Un polinomio f es reducible por otro polinomio g si su monomio principal lm( f ) es múltiplo de lm( g ) . El polinomio f es reducible por g si algún monomio de f es múltiplo de lm( g ) . (Por lo tanto, si f es reducible por g , también es reducible, pero f puede ser reducible sin ser reducible por g).

Supongamos que f es reducible por g , y sea cm un término de f tal que el monomio m es un múltiplo de lm( g ) . Una reducción de un paso de f por g consiste en reemplazar f por

${\displaystyle \operatorname {red} _{1}(f,g)=f-{\frac {c}{\operatorname {lc} (g)}}\,{\frac {m}{\operatorname {lm} (g)}}\,g.}$

Esta operación elimina el monomio m de f sin cambiar los términos con un monomio mayor que m (para el orden de los monomios). En particular, una reducción de f en un solo paso produce un polinomio cuyos monomios son todos menores que lm( f ) .

Dado un conjunto finito G de polinomios, se dice que f es reducible o reducible por G si es reducible o reducible, respectivamente, por al menos un elemento g de G. En este caso, una reducción de un paso (respectivamente, una reducción por paso) de f por G es cualquier reducción de un paso (respectivamente, una reducción por paso) de f por un elemento de G.

La reducción (completa) (o reducción de plomo) de f mediante G consiste en iterar reducciones de un paso (o reducciones de plomo de un paso) hasta obtener un polinomio irreducible (o irreducible de plomo) mediante G. A veces se le denomina forma normal de f mediante G. En general, esta forma no está definida de forma única, ya que existen varios elementos de G que pueden utilizarse para reducir f ; esta falta de unicidad es el punto de partida de la teoría de bases de Gröbner.

La definición de la reducción muestra inmediatamente que, si h es una forma normal de f por G , se tiene

${\displaystyle f=h+\sum _{g\in G}q_{g}\,g,}$

donde h es irreducible por G y el${\displaystyle q_{g}}$son polinomios tales que${\displaystyle \operatorname {lm} (q_{g}\,g)\leq \operatorname {lm} (f).}$En el caso de polinomios univariados, si G consta de un único elemento g , entonces h es el resto de la división euclidiana de f entre g , y qg es el cociente. Además, el algoritmo _de división es precisamente el proceso de reducción de la línea base. Por esta razón, algunos autores utilizan el término división multivariada en lugar de reducción.

Dado el orden monomial, el S-polinomio o par crítico de dos polinomios f y g es el polinomio

${\displaystyle S(f,g)=\operatorname {red} _{1}(\mathrm {lcm} ,g)-\operatorname {red} _{1}(\mathrm {lcm} ,f)}$;

donde mcm denota el mínimo común múltiplo de los monomios principales de f y g . Usando la definición de${\displaystyle \operatorname {red} _{1}}$, esto se traduce en:

${\displaystyle {\begin{aligned}S(f,g)&=\left(\mathrm {lcm} -{\frac {1}{\operatorname {lc} (g)}}\,{\frac {\mathrm {lcm} }{\operatorname {lm} (g)}}\,g\right)-\left(\mathrm {lcm} -{\frac {1}{\operatorname {lc} (f)}}\,{\frac {\mathrm {lcm} }{\operatorname {lm} (f)}}\,f\right)\\&={\frac {1}{\operatorname {lc} (f)}}\,{\frac {\mathrm {lcm} }{\operatorname {lm} (f)}}\,f-{\frac {1}{\operatorname {lc} (g)}}\,{\frac {\mathrm {lcm} }{\operatorname {lm} (g)}}\,g\\\end{aligned}}.}$

Utilizando la propiedad que relaciona el mcm y el mcd , el S -polinomio también se puede escribir como:

${\displaystyle S(f,g)={\frac {1}{\operatorname {lc} (f)}}\,{\frac {\operatorname {lm} (g)}{\mathrm {gcd} }}\,f-{\frac {1}{\operatorname {lc} (g)}}\,{\frac {\operatorname {lm} (f)}{\mathrm {gcd} }}\,g;}$

donde mcd denota el máximo común divisor de los monomios principales de f y g .

Como los monomios reducibles tanto por f como por g son exactamente múltiplos de mcm , se pueden abordar todos los casos de no unicidad de la reducción considerando únicamente los S -polinomios. Este es un hecho fundamental para la teoría de bases de Gröbner y todos los algoritmos para calcularlas.

Para evitar fracciones al tratar con polinomios con coeficientes enteros, el polinomio S se define a menudo como

${\displaystyle S(f,g)=\operatorname {lc} (g)\,{\frac {\operatorname {lm} (g)}{\mathrm {gcd} }}\,f-\operatorname {lc} (f)\,{\frac {\operatorname {lm} (f)}{\mathrm {gcd} }}\,g;}$

Esto no cambia nada a la teoría ya que los dos polinomios son asociados .

Para cada ordenación monomial admisible y cada conjunto finito G de polinomios, existe una base de Gröbner que contiene a G y genera el mismo ideal. Además, dicha base de Gröbner puede calcularse con el algoritmo de Buchberger .

Este algoritmo utiliza la condición 4 y procede aproximadamente de la siguiente manera: para cualesquiera dos elementos de G , se calcula la reducción completa por G de su S -polinomio y se añade el resultado a G si no es cero; se repite esta operación con los nuevos elementos de G incluidos hasta que, finalmente, todas las reducciones produzcan cero.

El algoritmo siempre termina debido al lema de Dickson o porque los anillos de polinomios son noetherianos ( teorema de la base de Hilbert ). La condición 4 garantiza que el resultado sea una base de Gröbner, y las definiciones de S -polinomios y reducción aseguran que el ideal generado no se modifique.

El método anterior es un algoritmo para calcular bases de Gröbner; sin embargo, es muy ineficiente. Se han propuesto e implementado numerosas mejoras del algoritmo original de Buchberger, así como otros algoritmos, que mejoran drásticamente su eficiencia. Véase la sección «  Algoritmos e implementaciones» más adelante.

Una base de Gröbner esUna base de Gröbner es mínima si todos los monomios principales de sus elementos son irreducibles por los demás elementos de la base. Dada una base de Gröbner de un idealI, se obtiene una base de Gröbner mínima deIeliminando los polinomios cuyos monomios principales son múltiplos del monomio principal de otro elemento de la base de Gröbner. Sin embargo, si dos polinomios de la base tienen el mismo monomio principal, solo se debe eliminar uno. Por lo tanto, toda base de Gröbner contiene una base de Gröbner mínima como subconjunto.

Todas las bases de Gröbner mínimas de un ideal dado (para un ordenamiento monomial fijo) tienen el mismo número de elementos y los mismos monomios principales, y las bases de Gröbner no mínimas tienen más elementos que las mínimas.

Una base de Gröbner esUna base de Gröbner se considera reducida si cada polinomio que la compone es irreducible por los demás elementos de la base y tiene1como coeficiente principal. Por lo tanto, toda base de Gröbner reducida es mínima, pero una base de Gröbner mínima no tiene por qué ser reducida.

Dada una base de Gröbner de un ideal I , se obtiene una base de Gröbner reducida de I eliminando primero los polinomios que son reducibles por otros elementos de la base (para obtener una base mínima); luego reemplazando cada elemento de la base por el resultado de la reducción completa por los otros elementos de la base; y, finalmente, dividiendo cada elemento de la base por su coeficiente principal.

Todas las bases de Gröbner reducidas de un ideal (para un orden monomial fijo) son iguales. Por lo tanto, dos ideales son iguales si y solo si tienen la misma base de Gröbner reducida.

En ocasiones, las bases de Gröbner reducidas se definen sin la condición sobre los coeficientes principales. En este caso, la unicidad de las bases de Gröbner reducidas se cumple únicamente hasta la multiplicación de polinomios por una constante distinta de cero.

Al trabajar con polinomios sobre el campo${\displaystyle \mathbb {Q} }$En el caso de los números racionales , resulta útil trabajar únicamente con polinomios con coeficientes enteros. En este caso, la condición sobre los coeficientes principales en la definición de una base reducida puede sustituirse por la condición de que todos los elementos de la base sean polinomios primitivos con coeficientes enteros y coeficientes principales positivos. Esto restablece la unicidad de las bases reducidas.

Para cada ordenación monomial, el conjunto vacío de polinomios es la única base de Gröbner del ideal cero .

Para cada ordenación monomial, un conjunto de polinomios que contiene una constante distinta de cero es una base de Gröbner del ideal unitario (el anillo polinomial completo). Recíprocamente, toda base de Gröbner del ideal unitario contiene una constante distinta de cero. La base de Gröbner reducida de la unidad está formada por el único polinomio 1 .

En el caso de polinomios en una sola variable, existe un único ordenamiento monomial admisible, el ordenamiento por grado. Las bases de Gröbner mínimas son los conjuntos unitarios que consisten en un solo polinomio. Las bases de Gröbner reducidas son los polinomios mónicos .

Las bases de Gröbner reducidas son únicas para cualquier ideal y orden monomial. Por lo tanto, dos ideales son iguales si y solo si tienen la misma base de Gröbner (reducida) (generalmente, un software de bases de Gröbner siempre genera bases de Gröbner reducidas).

La reducción de un polinomio f mediante la base de Gröbner G de un ideal I produce 0 si y solo si f pertenece a I. Esto permite comprobar la pertenencia de un elemento a un ideal. Otro método consiste en verificar que la base de Gröbner de G ∪ { f } es igual a G.

Para comprobar si el ideal I generado por f ₁ , ..., f _k está contenido en el ideal J , basta con comprobar que todo f _I está en J . También se puede comprobar la igualdad de las bases de Gröbner reducidas de J y J ∪ { f ₁ , ..., f _k } .

Cualquier conjunto de polinomios puede considerarse como un sistema de ecuaciones polinómicas igualando los polinomios a cero. El conjunto de soluciones de dicho sistema depende únicamente del ideal generado y, por lo tanto, no cambia cuando el conjunto generador dado se reemplaza por la base de Gröbner, para cualquier orden, del ideal generado. Dicha solución, con coordenadas en un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes de los polinomios, se denomina cero del ideal . En el caso usual de coeficientes racionales , este cuerpo algebraicamente cerrado se elige como el cuerpo complejo .

Un ideal no tiene ningún cero (el sistema de ecuaciones es inconsistente ) si y solo si 1 pertenece al ideal (este es el Nullstellensatz de Hilbert ), o, equivalentemente, si su base de Gröbner (para cualquier orden monomial) contiene 1, o también, si la base de Gröbner reducida correspondiente es [1].

Dada la base de Gröbner G de un ideal I , esta tiene un número finito de ceros si y solo si, para cada variable x , G contiene un polinomio cuyo monomio principal es una potencia de x (sin que aparezca ninguna otra variable en el término principal). Si esto se cumple, entonces el número de ceros, contado con multiplicidad, es igual al número de monomios que no son múltiplos de ningún monomio principal de G. Este número se denomina grado del ideal.

Cuando el número de ceros es finito, la base de Gröbner para un ordenamiento monomial lexicográfico proporciona, teóricamente, una solución: la primera coordenada de una solución es una raíz del máximo común divisor de los polinomios de la base que dependen únicamente de la primera variable. Tras sustituir esta raíz en la base, la segunda coordenada de esta solución es una raíz del máximo común divisor de los polinomios resultantes que dependen únicamente de la segunda variable, y así sucesivamente. Este proceso de resolución es solo teórico, ya que implica el cálculo del MCD y la búsqueda de raíces de polinomios con coeficientes aproximados, lo cual no es práctico debido a la inestabilidad numérica. Por lo tanto, se han desarrollado otros métodos para resolver sistemas polinomiales mediante bases de Gröbner (véase Sistema de ecuaciones polinomiales para más detalles).

La dimensión de un ideal I en un anillo de polinomios R es la dimensión de Krull del anillo R / I y es igual a la dimensión del conjunto algebraico de las raíces de I. También es igual al número de hiperplanos en posición general que se necesitan para tener una intersección con el conjunto algebraico, que es un número finito de puntos. El grado del ideal y de su conjunto algebraico asociado es el número de puntos de esta intersección finita, contado con multiplicidad. En particular, el grado de una hipersuperficie es igual al grado de su polinomio de definición.

La dimensión depende únicamente del conjunto de los monomios principales de la base de Gröbner del ideal para cualquier ordenamiento monomial. Lo mismo ocurre con los ordenamientos monomiales de grado y compatibles con el grado; un ordenamiento monomial es compatible con el grado si un valor menor para el grado implica un valor menor para el ordenamiento monomial.

La dimensión es el tamaño máximo de un subconjunto S de las variables tal que no existe un monomio principal que dependa únicamente de las variables en S. Por lo tanto, si el ideal tiene dimensión 0, entonces para cada variable x existe un monomio principal en la base de Gröbner que es una potencia de x .

Tanto la dimensión como el grado pueden deducirse de la serie de Hilbert del ideal, que es la serie${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }d_{i}t^{i}}$, dónde${\displaystyle d_{i}}$es el número de monomios de grado i que no son múltiplos de ningún monomio principal en la base de Gröbner. ^{[ 4 ]} La serie de Hilbert se puede resumir en una fracción racional.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }d_{i}t^{i}={\frac {P(t)}{(1-t)^{d}}},}$

donde d es la dimensión del ideal y${\displaystyle P(t)}$es un polinomio. El número${\displaystyle P(1)}$es el grado del conjunto algebraico definido por el ideal, en el caso de un ideal homogéneo o un ordenamiento monomial compatible con el grado; es decir, para comparar dos monomios, primero se comparan sus grados totales.

La dimensión no depende de la elección de un orden monomial, aunque la serie de Hilbert y el polinomio${\displaystyle P(t)}$puede cambiar con cambios en el orden monomial. Sin embargo, para ideales homogéneos u ordenamientos monomiales compatibles con el grado, la serie de Hilbert y el polinomio${\displaystyle P(t)}$no dependen de la elección del ordenamiento monomial. ^{[ 5 ]}

La mayoría de los sistemas de álgebra computacional que proporcionan funciones para calcular bases de Gröbner también proporcionan funciones para calcular series de Hilbert y, por lo tanto, también la dimensión y el grado.

El cálculo de bases de Gröbner para un ordenamiento monomial de eliminación permite la teoría de eliminación computacional . Esto se basa en el siguiente teorema.

Consideremos un anillo de polinomios${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}]=K[X,Y],}$en la que las variables se dividen en dos subconjuntos X e Y. Elegimos también un orden monomial de eliminación que "elimine" X , es decir, un orden monomial para el cual dos monomios se comparan comparando primero las partes X y, en caso de igualdad, considerando solo las partes Y. Esto implica que un monomio que contiene una variable X es mayor que cualquier monomio independiente de X. Si G es una base de Gröbner de un ideal I para este orden monomial, entonces${\displaystyle G\cap K[Y]}$es una base de Gröbner de${\displaystyle I\cap K[Y]}$(este ideal se denomina a menudo ideal de eliminación ). Además,${\displaystyle G\cap K[Y]}$consiste exactamente en los polinomios de G cuyos términos principales pertenecen a K [ Y ] (esto hace que el cálculo de${\displaystyle G\cap K[Y]}$muy fácil, ya que solo es necesario comprobar los monomios principales).

Esta propiedad de eliminación tiene muchas aplicaciones, algunas de las cuales se describen en las siguientes secciones.

Otra aplicación, en geometría algebraica , es que la eliminación realiza la operación geométrica de proyección de un conjunto algebraico afín en un subespacio del espacio ambiente: con la notación anterior, el ( cierre de Zariski de) la proyección del conjunto algebraico definido por el ideal I en el subespacio Y se define por el ideal${\displaystyle I\cap K[Y].}$

El ordenamiento lexicográfico tal que${\displaystyle x_{1}>\cdots >x_{n}}$es un orden de eliminación para cada partición${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{k}\},\{x_{k+1},\ldots ,x_{n}\}.}$Por lo tanto, una base de Gröbner para este ordenamiento contiene mucha más información de la que suele ser necesaria. Esto podría explicar por qué las bases de Gröbner para el ordenamiento lexicográfico suelen ser las más difíciles de calcular.

Si I y J son dos ideales generados respectivamente por { f ₁ , ..., f _m } y { g ₁ , ..., g _k }, entonces un único cálculo de base de Gröbner produce una base de Gröbner de su intersección I ∩ J. Para ello, se introduce una nueva indeterminada t y se utiliza un ordenamiento de eliminación tal que el primer bloque contiene solo t y el otro bloque contiene todas las demás variables (esto significa que un monomio que contiene t es mayor que cualquier monomio que no contiene t ). Con este ordenamiento de monomios, una base de Gröbner de I ∩ J consiste en los polinomios que no contienen t , en la base de Gröbner del ideal.

${\displaystyle K=\langle tf_{1},\ldots ,tf_{m},(1-t)g_{1},\ldots ,(1-t)g_{k}\rangle .}$

En otras palabras, I ∩ J se obtiene eliminando t en K. Esto se puede demostrar observando que el ideal K consta de los polinomios${\displaystyle (a-b)t+b}$de tal manera que${\displaystyle a\in I}$y${\displaystyle b\in J}$. Dicho polinomio es independiente de t si y solo si a = b , lo que significa que${\displaystyle b\in I\cap J.}$

Una curva racional es una curva algebraica que tiene un conjunto de ecuaciones paramétricas de la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {f_{1}(t)}{g_{1}(t)}}\\&\;\;\vdots \\x_{n}&={\frac {f_{n}(t)}{g_{n}(t)}},\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle f_{i}(t)}$y${\displaystyle g_{i}(t)}$son polinomios univariados para 1 ≤ i ≤ n . Uno puede (y supondrá) que${\displaystyle f_{i}(t)}$y${\displaystyle g_{i}(t)}$son coprimos (no tienen factores comunes no constantes).

La implicitación consiste en calcular las ecuaciones implícitas de dicha curva. En el caso de n = 2, es decir, para curvas planas, esto se puede calcular con la resultante . La ecuación implícita es la siguiente resultante:

${\displaystyle {\text{Res}}_{t}(g_{1}x_{1}-f_{1},g_{2}x_{2}-f_{2}).}$

La eliminación con bases de Gröbner permite implicitar para cualquier valor de n , simplemente eliminando t en el ideal. ${\displaystyle \langle g_{1}x_{1}-f_{1},\ldots ,g_{n}x_{n}-f_{n}\rangle .}$ Si n = 2, el resultado es el mismo que con el resultante, si el mapa${\displaystyle t\mapsto (x_{1},x_{2})}$es inyectivo para casi todo t . En el otro caso, el resultante es una potencia del resultado de la eliminación.

Al modelar un problema mediante ecuaciones polinómicas, a menudo se asume que algunas cantidades son distintas de cero para evitar casos degenerados. Por ejemplo, al tratar con triángulos , muchas propiedades se vuelven falsas si el triángulo degenera en un segmento de recta, es decir, si la longitud de un lado es igual a la suma de las longitudes de los demás lados. En tales situaciones, no se puede deducir información relevante del sistema polinómico a menos que se ignoren las soluciones degeneradas. Más precisamente, el sistema de ecuaciones define un conjunto algebraico que puede tener varios componentes irreducibles , y es necesario eliminar los componentes en los que las condiciones de degeneración son cero en todos los puntos.

Esto se consigue saturando las ecuaciones con las condiciones de degeneración, lo que puede hacerse mediante la propiedad de eliminación de las bases de Gröbner.

El teorema de los ceros de Hilbert tiene dos versiones. La primera afirma que un conjunto de polinomios no tiene ceros comunes sobre una clausura algebraica del cuerpo de los coeficientes, si y solo si 1 pertenece al ideal generado. Esto se comprueba fácilmente con un cálculo de base de Gröbner, ya que 1 pertenece a un ideal si y solo si 1 pertenece a la base de Gröbner de dicho ideal, para cualquier orden monomial.

La segunda versión afirma que el conjunto de ceros comunes (en una clausura algebraica del cuerpo de los coeficientes) de un ideal está contenido en la hipersuperficie de los ceros de un polinomio f , si y solo si una potencia de f pertenece al ideal. Esto puede comprobarse saturando el ideal con f ; de hecho, una potencia de f pertenece al ideal si y solo si la saturación con f proporciona una base de Gröbner que contiene 1.

Por definición, una variedad racional afín de dimensión k puede describirse mediante ecuaciones paramétricas de la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {p_{1}}{p_{0}}}\\&\;\;\vdots \\x_{n}&={\frac {p_{n}}{p_{0}}},\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle p_{0},\ldots ,p_{n}}$son n + 1 polinomios en las k variables (parámetros de la parametrización)${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}.}$Por lo tanto, los parámetros${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}}$y las coordenadas${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$de los puntos de la variedad son ceros del ideal

${\displaystyle I=\left\langle p_{0}x_{1}-p_{1},\ldots ,p_{0}x_{n}-p_{n}\right\rangle .}$

Se podría suponer que basta con eliminar los parámetros para obtener las ecuaciones implícitas de la variedad, como se ha hecho en el caso de las curvas. Desafortunadamente, esto no siempre es así. Si la${\displaystyle p_{i}}$tienen un cero común (a veces llamado punto base ), cada componente irreducible del conjunto algebraico no vacío definido por el${\displaystyle p_{i}}$es un componente irreducible del conjunto algebraico definido por I. De ello se deduce que, en este caso, la eliminación directa del${\displaystyle t_{i}}$proporciona un conjunto vacío de polinomios.

Por lo tanto, si k > 1, se necesitan dos cálculos de base de Gröbner para implicitar:

1. Saturar${\displaystyle I}$por${\displaystyle p_{0}}$para obtener una base de Gröbner${\displaystyle G}$
2. Eliminar el${\displaystyle t_{i}}$de${\displaystyle G}$para obtener una base de Gröbner del ideal (de las ecuaciones implícitas) de la variedad.

Las bases de Gröbner se han aplicado en la teoría de códigos correctores de errores para la decodificación algebraica. Mediante el uso del cálculo de bases de Gröbner en diversas formas de ecuaciones correctoras de errores, se desarrollaron métodos de decodificación para corregir errores de códigos cíclicos, ^{[ 10 ]} códigos de variedades afines, ^{[ 11 ]} códigos algebraico-geométricos e incluso códigos de bloques lineales generales. ^{[ 12 ]} La aplicación de bases de Gröbner en la decodificación algebraica sigue siendo un área de investigación de la teoría de codificación de canales .