Álgebra de Lie graduada

En matemáticas , un álgebra de Lie graduada es un álgebra de Lie dotada de una gradación compatible con el corchete de Lie . En otras palabras, un álgebra de Lie graduada es un álgebra de Lie que también es un álgebra graduada no asociativa bajo la operación de corchete. Una descomposición de Cartan determinada confiere a cualquier álgebra de Lie semisimple la estructura de un álgebra de Lie graduada. Cualquier álgebra de Lie parabólica también es un álgebra de Lie graduada.

Una superálgebra de Lie graduada ^{[ 1 ]} extiende la noción de un álgebra de Lie graduada de tal manera que el corchete de Lie ya no se asume necesariamente como anticonmutativo . Estos surgen en el estudio de derivaciones en álgebras graduadas , en la teoría de deformación de Murray Gerstenhaber , Kunihiko Kodaira y Donald C. Spencer , y en la teoría de derivadas de Lie .

Una superálgebra de Lie supergraduada ^{[ 2 ]} es una generalización adicional de esta noción a la categoría de superálgebras en la que una superálgebra de Lie graduada está dotada de una super adicional $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ -gradación. Estas surgen cuando se forma una superálgebra de Lie graduada en un entorno clásico (no supersimétrico) y luego se tensorializa para obtener el análogo supersimétrico . ^{[ 3 ]}

Aún son posibles generalizaciones mayores a las álgebras de Lie sobre una clase de categorías monoidales trenzadas equipadas con un coproducto y alguna noción de gradación compatible con el trenzado en la categoría . Para obtener sugerencias en este sentido, consulte Lie superalgebra#Category-theoretic definition .

Álgebras de Lie graduadas

En su forma más básica, un álgebra de Lie graduada es un álgebra de Lie ordinaria. ${\mathfrak {g}}$ , junto con una gradación de espacios vectoriales

{\mathfrak {g}}=\bigoplus _{i\in {\mathbb {Z} }}{\mathfrak {g}}_{i},

de tal manera que el corchete de Lie respete esta gradación:

[{\mathfrak {g}}_{i},{\mathfrak {g}}_{j}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{i+j}.

El álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie graduada hereda la graduación.

Ejemplos

sl(2)

Por ejemplo, el álgebra de Lie ${\mathfrak {sl}}(2)$ La clasificación de matrices 2 × 2 sin traza se realiza mediante los generadores:

X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\textrm {y}}\quad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.

Estos satisfacen las relaciones $[X,Y]=H$ , $[H,X]=2X$ , y $[H,Y]=-2Y$ Por lo tanto, con ${\mathfrak {g}}_{-1}={\textrm {span}}(X)$ , ${\mathfrak {g}}_{0}={\textrm {span}}(H)$ , y ${\mathfrak {g}}_{1}={\textrm {span}}(Y)$ , la descomposición ${\mathfrak {sl}}(2)={\mathfrak {g}}_{-1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ presenta ${\mathfrak {sl}}(2)$ como un álgebra de Lie graduada.

Álgebra de Lie libre

El álgebra de Lie libre sobre un conjunto X posee naturalmente una graduación, dada por el número mínimo de términos necesarios para generar el elemento del grupo. Esto surge, por ejemplo, como el álgebra de Lie graduada asociada a la serie central inferior de un grupo libre .

Generalizaciones

Si $\Gamma$ es cualquier monoide conmutativo , entonces la noción de un $\Gamma$ -El álgebra de Lie graduada generaliza la de un álgebra de Lie ordinaria ( $\mathbb {Z}$ -) Álgebra de Lie graduada de modo que las relaciones definitorias se cumplan con los enteros $\mathbb {Z}$ reemplazado por $\Gamma$ . En particular, cualquier álgebra de Lie semisimple está graduada por los espacios raíz de su representación adjunta .

Superálgebras de Lie graduadas

Una superálgebra de Lie graduada sobre un cuerpo k (que no es de característica 2) consiste en un espacio vectorial graduado E sobre k , junto con una operación de corchete bilineal .

[-,-]:E\otimes _ {k}E\to E

de tal manera que se cumplan los siguientes axiomas.

[-, -] respeta la gradación de E : $[E_{i},E_{j}]\subseteq E_{i+j}.$
( Simetría ) Para todo x en E _{i e} y en E j _, $[x,y]=-(-1)^{ij}\,[y,x]$
( Identidad de Jacobi ) Para todo x en E _i , y en E _j , y z en E _k , $(-1)^{ik}[x,[y,z]]+(-1)^{ij}[y,[z,x]]+(-1)^{jk}[z,[x,y]]=0.$ (Si k tiene característica 3, entonces la identidad de Jacobi debe complementarse con la condición $[x,[x,x]]=0$ para todo x en E _impar .)

Nótese, por ejemplo, que cuando E lleva la gradación trivial, una superálgebra de Lie graduada sobre k es simplemente un álgebra de Lie ordinaria. Cuando la gradación de E se concentra en grados pares, se recupera la definición de un álgebra de Lie graduada ( Z ).

Ejemplos y aplicaciones

El ejemplo más básico de una superálgebra de Lie graduada se da en el estudio de las derivaciones de álgebras graduadas. Si A es un k -álgebra graduada con gradación

A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A_{i},

entonces se define una k -derivación graduada d en A de grado l por

$dx=0$ para $x\in k$ ,
$d\colon A_{i}\to A_{i+l}$ , y
$d(xy)=(dx)y+(-1)^{il}x(dy)$ para $x\in A_{i}$ .

El espacio de todas las derivaciones graduadas de grado l se denota por $\operatorname {Der} _{l}(A)$ y la suma directa de estos espacios,

\operatorname {Der} (A)=\bigoplus _{l}\operatorname {Der} _{l}(A),

posee la estructura de un A - módulo . Esto generaliza la noción de derivación de álgebras conmutativas a la categoría graduada.

En Der( A ), se puede definir un corchete mediante:

[ d , δ ] = dδ − (−1) ^ij δd , para d ∈ Der _i ( A ) y δ ∈ Der _j ( A ).

Equipado con esta estructura, Der( A ) hereda la estructura de una superálgebra de Lie graduada sobre k .

Otros ejemplos:

El corchete de Frölicher-Nijenhuis es un ejemplo de álgebra de Lie graduada que surge de forma natural en el estudio de las conexiones en geometría diferencial .
El corchete de Nijenhuis-Richardson surge en relación con las deformaciones de las álgebras de Lie.

Generalizaciones

La noción de superálgebra de Lie graduada puede generalizarse de modo que su graduación no se limite a los números enteros. Específicamente, un semianillo con signo consta de un par $(\Gamma ,\epsilon )$ , dónde $\Gamma$ es un semianillo y $\epsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ es un homomorfismo de grupos aditivos . Entonces, una supalgebra de Lie graduada sobre un semianillo con signo consiste en un espacio vectorial E graduado con respecto a la estructura aditiva en $\Gamma$ y un corchete bilineal [-, -] que respeta la gradación en E y además satisface:

$[x,y]=-(-1)^{\epsilon (\deg x)\epsilon (\deg y)}[y,x]$ para todos los elementos homogéneos x e y , y
$(-1)^{\epsilon (\deg x)\epsilon (\deg z)}[x,[y,z]]+(-1)^{\epsilon (\deg y)\epsilon (\deg x)}[y,[z,x]]+(-1)^{\epsilon (\deg z)\epsilon (\deg y)}[z,[x,y]]=0.$

Otros ejemplos:

Una superálgebra de Lie es una superálgebra de Lie graduada sobre el semianillo con signo. $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,\epsilon )$ , dónde $\epsilon$ es el mapa identidad para la estructura aditiva en el anillo $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ .

Notas

↑ El prefijo "super" para esto no es del todo estándar, y algunos autores pueden optar por omitirlo por completo a favor de llamar a una superálgebra de Lie graduada simplemente un álgebra de Lie graduada . Esta evasión no carece de fundamento, ya que las superálgebras de Lie graduadas pueden no tener nada que ver con las álgebras de supersimetría . Son super solo en la medida en que llevan una $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ Gradación. Esta gradación se produce de forma natural, y no debido a ningún superespacio subyacente. Por lo tanto, en el sentido de la teoría de categorías , se consideran propiamente como objetos ordinarios no super.
↑ En relación con la supersimetría , a menudo se las denomina simplemente superálgebras de Lie graduadas , pero esto entra en conflicto con la definición anterior de este artículo.
↑ Por lo tanto, las superálgebras de Lie supergraduadas llevan un par de $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ -gradaciones: una supersimétrica y la otra clásica. Pierre Deligne denomina a la supersimétrica supergradación y a la clásica gradación cohomológica . Estas dos gradaciones deben ser compatibles, y a menudo existe desacuerdo sobre cómo considerarlas. Véase el análisis de Deligne sobre esta dificultad.

Referencias

Nijenhuis, Albert ; Richardson Jr., Roger W. (1966). "Cohomología y deformaciones en álgebras de Lie graduadas" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 72 (1): 1– 29. doi : 10.1090/s0002-9904-1966-11401-5 . MR 0195995 .

Véase también

[1] El prefijo "super" para esto no es del todo estándar, y algunos autores pueden optar por omitirlo por completo a favor de llamar a una superálgebra de Lie graduada simplemente un álgebra de Lie graduada . Esta evasión no carece de fundamento, ya que las superálgebras de Lie graduadas pueden no tener nada que ver con las álgebras de supersimetría . Son super solo en la medida en que llevan una $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ Gradación. Esta gradación se produce de forma natural, y no debido a ningún superespacio subyacente. Por lo tanto, en el sentido de la teoría de categorías , se consideran propiamente como objetos ordinarios no super.

[2] En relación con la supersimetría , a menudo se las denomina simplemente superálgebras de Lie graduadas , pero esto entra en conflicto con la definición anterior de este artículo.

[3] Por lo tanto, las superálgebras de Lie supergraduadas llevan un par de $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ -gradaciones: una supersimétrica y la otra clásica. Pierre Deligne denomina a la supersimétrica supergradación y a la clásica gradación cohomológica . Estas dos gradaciones deben ser compatibles, y a menudo existe desacuerdo sobre cómo considerarlas. Véase el análisis de Deligne sobre esta dificultad.

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