Categoría calificada

Si es una categoría , entonces una categoría graduada es una categoría junto con un funtor . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$

Los monoides y los grupos pueden considerarse categorías con un único objeto . Por lo tanto, una categoría con grado monoide o con grado grupal es aquella en la que a cada morfismo se le añade un elemento de un monoide (o grupo) dado, su grado. Esto debe ser compatible con la composición , en el sentido de que las composiciones tienen el grado del producto.

Existen varias definiciones diferentes de categoría graduada, hasta la más abstracta que se ha dado anteriormente. Una definición más concreta de una categoría abeliana graduada es la siguiente: ^[1]

Sea una categoría abeliana y un monoide . Sea un conjunto de funtores de a sí mismo. Si ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbb {G}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{S_{g}:g\in \mathbb {G} \}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• $Estilo de visualización S_{1}$es el funtor identidad en ,${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• $Estilo de visualización S_{g}S_{h}=S_{gh}}$Para todos y${\displaystyle g,h\in \mathbb {G}}$
• $Estilo de visualización S_{g}$es un functor completo y fiel para cada${\displaystyle g\in \mathbb {G}}$

Decimos que es una categoría -graduada. ${\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathcal {S}})}$${\displaystyle \mathbb {G}}$

• Categoría con calificación diferencial
• Calificado (matemáticas)
• Álgebra graduada
• Categoría de rebanadas