Proceso de Gram-Schmidt

En matemáticas , particularmente en álgebra lineal y análisis numérico , el proceso de Gram-Schmidt o algoritmo de Gram-Schmidt es una forma de encontrar un conjunto de dos o más vectores que sean perpendiculares entre sí.

Por definición técnica, es un método para construir una base ortonormal a partir de un conjunto de vectores en un espacio con producto interno , más comúnmente el espacio euclidiano.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$equipado con el producto interno estándar . El proceso de Gram-Schmidt toma un conjunto finito y linealmente independiente de vectores.${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}}$para k ≤ n y genera un conjunto ortogonal${\displaystyle S'=\{\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}\}}$que abarca el mismo${\displaystyle k}$subespacio -dimensional de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$como${\displaystyle S}$.

El método recibe su nombre de Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt , pero Pierre-Simon Laplace ya lo conocía antes que Gram y Schmidt. ^{[ 1 ]} En la teoría de las descomposiciones de grupos de Lie , se generaliza mediante la descomposición de Iwasawa .

La aplicación del proceso de Gram-Schmidt a los vectores columna de una matriz de rango columna completo produce la descomposición QR (se descompone en una matriz ortogonal y una matriz triangular ).

La proyección vectorial de un vector${\displaystyle \mathbf {v} }$en un vector distinto de cero${\displaystyle \mathbf {u} }$se define como ^{[ nota 1 ]}$${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {u} }(\mathbf {v} )={\frac {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }{\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}\,\mathbf {u} ,}$$ dónde${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }$denota el producto escalar de los vectores${\displaystyle \mathbf {u} }$y${\displaystyle \mathbf {v} }$Esto significa que${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {u} }(\mathbf {v} )}$es la proyección ortogonal de${\displaystyle \mathbf {v} }$sobre la línea cubierta por${\displaystyle \mathbf {u} }$. Si${\displaystyle \mathbf {u} }$es el vector cero, entonces${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {u} }(\mathbf {v} )}$se define como el vector cero.

Dado${\displaystyle k}$vectores linealmente independientes distintos de cero${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}}$El proceso de Gram-Schmidt define los vectores${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$como sigue: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&=\mathbf {v} _{1},&\!\mathbf {e} _{1}&={\frac {\mathbf {u} _{1}}{\|\mathbf {u} _{1}\|}}\\\mathbf {u} _{2}&=\mathbf {v} _{2}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{2}),&\!\mathbf {e} _{2}&={\frac {\mathbf {u} _{2}}{\|\mathbf {u} _{2}\|}}\\\mathbf {u} _{3}&=\mathbf {v} _{3}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{3})-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}(\mathbf {v} _{3}),&\!\mathbf {e} _{3}&={\frac {\mathbf {u} _{3}}{\|\mathbf {u} _{3}\|}}\\\mathbf {u} _{4}&=\mathbf {v} _{4}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{4})-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}(\mathbf {v} _{4})-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{3}}(\mathbf {v} _{4}),&\!\mathbf {e} _{4}&={\mathbf {u} _{4} \over \|\mathbf {u} _{4}\|}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \\\mathbf {u} _{k}&=\mathbf {v} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{j}}(\mathbf {v} _{k}),&\!\mathbf {e} _{k}&={\frac {\mathbf {u} _{k}}{\|\mathbf {u} _{k}\|}}.\end{aligned}}}$$

La secuencia${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$es el sistema requerido de vectores ortogonales y los vectores normalizados${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots,\mathbf {e} _{k}}$Formar un conjunto ortonormal . El cálculo de la secuencia${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$se conoce como ortogonalización de Gram-Schmidt y el cálculo de la secuencia${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots,\mathbf {e} _{k}}$se conoce como ortonormalización de Gram-Schmidt .

Para comprobar que estas fórmulas producen una secuencia ortogonal, primero calcule${\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle }$sustituyendo la fórmula anterior por${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$: obtenemos cero. Luego usa esto para calcular${\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{3}\rangle }$nuevamente sustituyendo la fórmula para${\displaystyle \mathbf {u} _{3}}$: obtenemos cero. Para arbitrario${\displaystyle k}$La demostración se realiza mediante inducción matemática .

Geométricamente, este método procede de la siguiente manera: calcular${\displaystyle \mathbf {u} _ {i}}$, proyecta${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ortogonalmente sobre el subespacio${\displaystyle U}$generado por${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{i-1}}$, que es lo mismo que el subespacio generado por${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1}}$. El vector${\displaystyle \mathbf {u} _ {i}}$entonces se define como la diferencia entre${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$y esta proyección, garantizada para ser ortogonal a todos los vectores en el subespacio${\displaystyle U}$.

El proceso de Gram-Schmidt también se aplica a una secuencia infinita numerable linealmente independiente { v _i } _i . El resultado es una secuencia ortogonal (u ortonormal) { u _i } _i tal que para el número natural n : el espacio generado algebraico de${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}$es lo mismo que el de${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}}$.

Si el proceso de Gram-Schmidt se aplica a una secuencia linealmente dependiente, produce el vector 0 en la${\displaystyle i}$paso t, suponiendo que${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$es una combinación lineal de${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1}}$Si se desea generar una base ortonormal, el algoritmo debe comprobar si hay vectores nulos en la salida y descartarlos, ya que ningún múltiplo de un vector nulo puede tener una longitud de 1. El número de vectores generados por el algoritmo será entonces igual a la dimensión del espacio abarcado por las entradas originales.

Una variante del proceso de Gram-Schmidt que utiliza recursión transfinita aplicada a una secuencia infinita (posiblemente no numerable) de vectores.${\displaystyle (v_{\alpha })_{\alpha <\lambda }}$produce un conjunto de vectores ortonormales${\displaystyle (u_{\alpha })_{\alpha <\kappa }}$con${\displaystyle \kappa \leq \lambda }$de tal manera que para cualquier${\displaystyle \alpha \leq \lambda }$, la finalización del tramo de${\displaystyle \{u_{\beta }:\beta <\min(\alpha ,\kappa )\}}$es lo mismo que el de${\displaystyle \{v_{\beta }:\beta <\alpha \}}$En particular , cuando se aplica a una base (algebraica) de un espacio de Hilbert (o, más generalmente, a una base de cualquier subespacio denso), produce una base ortonormal (funcional-analítica). Nótese que en el caso general a menudo la desigualdad estricta${\displaystyle \kappa <\lambda }$se cumple, incluso si el conjunto inicial era linealmente independiente y el intervalo de${\displaystyle (u_{\alpha })_{\alpha <\kappa }}$no tiene por qué ser un subespacio del espacio generado por${\displaystyle (v_{\alpha })_{\alpha <\lambda }}$(más bien, es un subespacio de su completitud).

Denotemos por${\displaystyle \operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})}$el resultado de aplicar el proceso de Gram-Schmidt a una colección de vectores${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$Esto genera un mapa.${\displaystyle \operatorname {GS} \colon (\mathbb {R} ^{n})^{k}\to (\mathbb {R} ^{n})^{k}}$.

Tiene las siguientes propiedades:

• Es continuo
• Es un preservador de la orientación en el sentido de que${\displaystyle \operatorname {or} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})=\operatorname {or} (\operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}))}$.
• Conmuta con mapas ortogonales:

Dejar${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ser ortogonal (con respecto al producto interno dado). Entonces tenemos $${\displaystyle \operatorname {GS} (g(\mathbf {v} _{1}),\dots ,g(\mathbf {v} _{k}))=\left(g(\operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})_{1}),\dots ,g(\operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})_{k})\right)}$$

Además, una versión parametrizada del proceso de Gram-Schmidt produce una retracción de deformación (fuerte) del grupo lineal general.${\displaystyle \mathrm {GL} (\mathbb {R} ^{n})}$sobre el grupo ortogonal${\displaystyle O(\mathbb {R} ^{n})}$.

Cuando este proceso se implementa en una computadora, los vectores${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$A menudo no son del todo ortogonales, debido a errores de redondeo . Para el proceso de Gram-Schmidt descrito anteriormente (a veces denominado "Gram-Schmidt clásico"), esta pérdida de ortogonalidad es particularmente grave; por lo tanto, se dice que el proceso de Gram-Schmidt (clásico) es numéricamente inestable .

El proceso de Gram-Schmidt puede estabilizarse mediante una pequeña modificación; esta versión se conoce a veces como Gram-Schmidt modificado o MGS. Este método proporciona el mismo resultado que la fórmula original en aritmética exacta e introduce errores menores en aritmética de precisión finita.

En lugar de calcular el vector u _k como $${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{k})-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}(\mathbf {v} _{k})-\cdots -\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{k-1}}(\mathbf {v} _{k}),}$$ se calcula como $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{k}^{(1)}&=\mathbf {v} _{k}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{k}),\\\mathbf {u} _{k}^{(2)}&=\mathbf {u} _{k}^{(1)}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\left(\mathbf {u} _{k}^{(1)}\right),\\&\;\;\vdots \\\mathbf {u} _{k}^{(k-2)}&=\mathbf {u} _{k}^{(k-3)}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{k-2}}\left(\mathbf {u} _{k}^{(k-3)}\right),\\\mathbf {u} _{k}^{(k-1)}&=\mathbf {u} _{k}^{(k-2)}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{k-1}}\left(\mathbf {u} _{k}^{(k-2)}\right),\\\mathbf {e} _{k}&={\frac {\mathbf {u} _{k}^{(k-1)}}{\left\|\mathbf {u} _{k}^{(k-1)}\right\|}}\end{aligned}}}$$

Este método se utiliza en la animación anterior, cuando el intermedio${\displaystyle \mathbf {v} '_{3}}$El vector se utiliza al ortogonalizar el vector azul.${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$.

Aquí hay otra descripción del algoritmo modificado. Dados los vectores${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$En nuestro primer paso producimos vectores${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}^{(1)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(1)}}$eliminando componentes en la dirección de${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$. En fórmulas,${\displaystyle \mathbf {v} _{k}^{(1)}:=\mathbf {v} _{k}-{\frac {\langle \mathbf {v} _{k},\mathbf {v} _{1}\rangle }{\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle }}\mathbf {v} _{1}}$Después de este paso, ya tenemos dos de los vectores ortogonales que deseamos.${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$, es decir${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1},\mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}^{(1)}}$, pero también hicimos${\displaystyle \mathbf {v} _{3}^{(1)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(1)}}$ya ortogonal a${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$A continuación, ortogonalizamos esos vectores restantes contra${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}^{(1)}}$Esto significa que calculamos.${\displaystyle \mathbf {v} _{3}^{(2)},\mathbf {v} _{4}^{(2)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(2)}}$por sustracción${\displaystyle \mathbf {v} _{k}^{(2)}:=\mathbf {v} _{k}^{(1)}-{\frac {\langle \mathbf {v} _{k}^{(1)},\mathbf {u} _{2}\rangle }{\langle \mathbf {u} _{2},\mathbf {u} _{2}\rangle }}\mathbf {u} _{2}}$Ahora hemos almacenado los vectores.${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}^{(1)},\mathbf {v} _{3}^{(2)},\mathbf {v} _{4}^{(2)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(2)}}$donde los tres primeros vectores ya están${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\mathbf {u} _{3}}$y los vectores restantes ya son ortogonales a${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}}$. Como debería estar claro ahora, el siguiente paso ortogonaliza${\displaystyle \mathbf {v} _{4}^{(2)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(2)}}$contra${\displaystyle \mathbf {u} _{3}=\mathbf {v} _{3}^{(2)}}$Procediendo de esta manera, encontramos el conjunto completo de vectores ortogonales.${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$. Si se desean vectores ortonormales, entonces normalizamos a medida que avanzamos, de modo que los denominadores en las fórmulas de resta se conviertan en unos.

El siguiente algoritmo de MATLAB implementa la ortonormalización clásica de Gram-Schmidt. Los vectores v ₁ , ..., v _k (columnas de la matriz V, de modo que V(:,j)es la${\displaystyle j}$Los vectores (-ésimos) se reemplazan por vectores ortonormales (columnas de U) que abarcan el mismo subespacio.

función U = gramschmidt ( V )[ n , k ] = tamaño ( V );U = ceros ( n , k );U (:, 1 ) = V (:, 1 ) / norma ( V (:, 1 ));para i = 2 : kU (:, i ) = V (:, i );para j = 1 : i - 1U (:, i ) = U (:, i ) - ( U (:, j ) '* U (:, i )) * U (:, j );finU (:, i ) = U (:, i ) / norma ( U (:, i ));finfin

El costo de este algoritmo es asintóticamente O( nk² ⁾ operaciones de punto flotante, donde n es la dimensionalidad de los vectores. ^{[ 2 ]}

Si las filas { v ₁ , ..., v _k } se escriben como una matriz${\displaystyle A}$, luego aplicando la eliminación gaussiana a la matriz aumentada${\displaystyle \left[AA^{\mathsf {T}}|A\right]}$producirá los vectores ortogonalizados en lugar de${\displaystyle A}$Sin embargo, la matriz${\displaystyle AA^{\mathsf {T}}}$debe ser llevado a la forma escalonada de filas , utilizando únicamente la operación de fila de sumar un múltiplo escalar de una fila a otra. ^{[ 3 ]} Por ejemplo, tomando${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}2&2\end{bmatrix}}}$como arriba, tenemos $${\displaystyle \left[AA^{\mathsf {T}}|A\right]=\left[{\begin{array}{rr|rr}10&8&3&1\\8&8&2&2\end{array}}\right]}$$

Y al reducir esto a la forma escalonada de filas se obtiene $${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr|rr}1&.8&.3&.1\\0&1&-.25&.75\end{array}}\right]}$$

Los vectores normalizados son entonces $${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {1}{\sqrt {.3^{2}+.1^{2}}}}{\begin{bmatrix}.3&.1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {10}}}{\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {e} _{2}={\frac {1}{\sqrt {.25^{2}+.75^{2}}}}{\begin{bmatrix}-.25&.75\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {10}}}{\begin{bmatrix}-1&3\end{bmatrix}},}$$ como en el ejemplo anterior.

El resultado del proceso de Gram-Schmidt puede expresarse en una fórmula no recursiva utilizando determinantes .

$${\displaystyle \mathbf {e} _{j}={\frac {1}{\sqrt {D_{j-1}D_{j}}}}{\begin{vmatrix}\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{1}\rangle \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{2}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{j-1}\rangle \\\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{j}\end{vmatrix}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {u} _{j}={\frac {1}{D_{j-1}}}{\begin{vmatrix}\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{1}\rangle \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{2}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{j-1}\rangle \\\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{j}\end{vmatrix}}}$$

dónde${\displaystyle D_{0}=1}$y, para${\displaystyle j\geq 1}$,${\displaystyle D_{j}}$es el determinante de Gram

$${\displaystyle D_{j}={\begin{vmatrix}\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{1}\rangle \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{2}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{j}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{j}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{j}\rangle \end{vmatrix}}.}$$

Tenga en cuenta que la expresión para${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$es un determinante "formal", es decir, la matriz contiene tanto escalares como vectores; el significado de esta expresión se define como el resultado de una expansión de cofactores a lo largo de la fila de vectores.

La fórmula del determinante para el algoritmo de Gram-Schmidt es computacionalmente (exponencialmente) más lenta que los algoritmos recursivos descritos anteriormente; su interés es principalmente teórico.

Expresados ​​utilizando la notación empleada en el álgebra geométrica , los resultados no normalizados del proceso de Gram-Schmidt pueden expresarse como $${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}(\mathbf {v} _{k}\cdot \mathbf {u} _{j})\mathbf {u} _{j}^{-1}\ ,}$$ que es equivalente a la expresión usando el${\displaystyle \operatorname {proj} }$operador definido anteriormente. Los resultados pueden expresarse de forma equivalente como ^{[ 4 ].}$${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}\wedge \mathbf {v} _{k-1}\wedge \cdot \cdot \cdot \wedge \mathbf {v} _{1}(\mathbf {v} _{k-1}\wedge \cdot \cdot \cdot \wedge \mathbf {v} _{1})^{-1},}$$ lo cual está estrechamente relacionado con la expresión que utiliza determinantes mencionada anteriormente.

Otros algoritmos de ortogonalización utilizan transformaciones de Householder o rotaciones de Givens . Los algoritmos que utilizan transformaciones de Householder son más estables que el proceso de Gram-Schmidt estabilizado. Por otro lado, el proceso de Gram-Schmidt produce el${\displaystyle j}$vector ortogonalizado después del${\displaystyle j}$iteración n, mientras que la ortogonalización mediante reflexiones de Householder produce todos los vectores solo al final. Esto hace que solo el proceso de Gram-Schmidt sea aplicable para métodos iterativos como la iteración de Arnoldi .

Otra alternativa está motivada por el uso de la descomposición de Cholesky para invertir la matriz de las ecuaciones normales en mínimos cuadrados lineales . Sea${\displaystyle V}$ser una matriz de rango columna completo , cuyas columnas deben ser ortogonalizadas. La matriz${\displaystyle V^{*}V}$es hermitiana y definida positiva , por lo que se puede escribir como${\displaystyle V^{*}V=LL^{*},}$utilizando la descomposición de Cholesky . La matriz triangular inferior${\displaystyle L}$con entradas diagonales estrictamente positivas es invertible . Entonces las columnas de la matriz${\displaystyle U=V\left(L^{-1}\right)^{*}}$son ortonormales y abarcan el mismo subespacio que las columnas de la matriz original.${\displaystyle V}$. El uso explícito del producto${\displaystyle V^{*}V}$Esto hace que el algoritmo sea inestable, especialmente si el número de condición del producto es elevado. Sin embargo, este algoritmo se utiliza en la práctica y se implementa en algunos paquetes de software debido a su alta eficiencia y simplicidad.

En mecánica cuántica existen varios esquemas de ortogonalización con características más adecuadas para ciertas aplicaciones que el algoritmo original de Gram-Schmidt. No obstante, sigue siendo un algoritmo popular y eficaz incluso para los cálculos de estructura electrónica más complejos. ^{[ 5 ]}

La ortogonalización de Gram-Schmidt se puede realizar en tiempo fuertemente polinomial . El análisis del tiempo de ejecución es similar al de la eliminación gaussiana . ^{[ 6 ] : 40}

• Álgebra lineal
• Recursión
• Ortogonalidad (matemáticas)

• Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. (1997), Álgebra lineal numérica , Filadelfia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-361-9.
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3.ª  ed.), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9.
• Greub, Werner (1975), Álgebra lineal (4.ª  ed.), Springer.
• Soliverez, CE; Gagliano, E. (1985), "Ortonormalización en el plano: un enfoque geométrico" (PDF) , Mex. J. Phys. , 31 (4): 743–758 , archivado del original (PDF) el 7 de marzo de 2014 , recuperado el 22 de junio de 2013.

• "Ortogonalización" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Tutorial de matemáticas del Harvey Mudd College sobre el algoritmo de Gram-Schmidt
• Primeros usos conocidos de algunas de las palabras de matemáticas: G La entrada "Ortogonalización de Gram-Schmidt" tiene información y referencias sobre los orígenes del método.
• Demostraciones: Proceso de Gram-Schmidt en el plano y proceso de Gram-Schmidt en el espacio.
• Applet de ortogonalización de Gram-Schmidt
• Rutina de ortogonalización de Gram-Schmidt de NAG para n vectores de orden m
• Demostración: Raymond Puzio, Keenan Kidwell. "Demostración del algoritmo de ortogonalización de Gram-Schmidt" (versión 8). PlanetMath.org.