función theta de Riemann-Siegel

En matemáticas , la función theta de Riemann-Siegel se define en términos de la función gamma como

${\displaystyle \theta (t)=\arg \left(\Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)\right)-{\frac {\log \pi }{2}}t}$

para valores reales de t . Aquí el argumento se elige de tal manera que se obtiene una función continua y ${\displaystyle \theta (0)=0}$se cumple, es decir, de la misma manera que se define la rama principal de la función log-gamma .

Tiene una expansión asintótica

${\displaystyle \theta (t)\sim {\frac {t}{2}}\log {\frac {t}{2\pi }}-{\frac {t}{2}}-{\frac {\pi }{8}}+{\frac {1}{48t}}+{\frac {7}{5760t^{3}}}+\cdots }$

que no es convergente, pero cuyos primeros términos dan una buena aproximación para${\displaystyle t\gg 1}$. Su serie de Taylor en 0 que converge para${\displaystyle |t|<1/2}$es

${\displaystyle \theta (t)=-{\frac {t}{2}}\log \pi +\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\psi ^{(2k)}\left({\frac {1}{4}}\right)}{(2k+1)!}}\left({\frac {t}{2}}\right)^{2k+1}}$

dónde${\displaystyle \psi ^{(2k)}}$denota la función poligamma de orden${\displaystyle 2k}$La función theta de Riemann-Siegel es de interés para el estudio de la función zeta de Riemann , ya que puede rotarla de tal manera que se convierte en la función Z de valor totalmente real en la línea crítica.${\displaystyle s=1/2+it}$.

La función theta de Riemann-Siegel es una función analítica real impar para valores reales de${\displaystyle t}$con tres raíces en${\displaystyle 0}$y${\displaystyle \pm 17.8455995405\ldots }$Es una función creciente para${\displaystyle |t|>6.29}$y tiene extremos locales en${\displaystyle \pm 6.289835988\ldots }$, con valor${\displaystyle \mp 3.530972829\ldots }$Tiene un único punto de inflexión en${\displaystyle t=0}$con${\displaystyle \theta ^{\prime }(0)=-{\frac {\ln \pi +\gamma +\pi /2+3\ln 2}{2}}=-2.6860917\ldots }$, que es el mínimo de su derivada.

Tenemos una expresión en serie infinita para la función log-gamma.

${\displaystyle \log \Gamma \left(z\right)=-\gamma z-\log z+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n}}-\log \left(1+{\frac {z}{n}}\right)\right),}$

donde γ es la constante de Euler . Sustituyendo${\displaystyle (2it+1)/4}$para z y tomando la parte imaginaria término a término se obtiene la siguiente serie para θ ( t )

${\displaystyle \theta (t)=-{\frac {\gamma +\log \pi }{2}}t-\arctan 2t+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {t}{2n}}-\arctan \left({\frac {2t}{4n+1}}\right)\right).}$

Para valores con parte imaginaria entre −1 y 1, la función arcotangente es holomorfa , y se observa fácilmente que la serie converge uniformemente en conjuntos compactos en la región con parte imaginaria entre −1/2 y 1/2, lo que da lugar a una función holomorfa en este dominio. Por consiguiente, la función Z también es holomorfa en esta región, que constituye la franja crítica.

Podemos utilizar las identidades

${\displaystyle \arg z={\frac {\log z-\log {\bar {z}}}{2i}}\quad {\text{and}}\quad {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\bar {z}})}$

para obtener la expresión en forma cerrada

${\displaystyle \theta (t)={\frac {\log \Gamma \left({\frac {2it+1}{4}}\right)-\log \Gamma \left({\frac {-2it+1}{4}}\right)}{2i}}-{\frac {\log \pi }{2}}t=-{\frac {i}{2}}\left(\ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}-{\frac {it}{2}}\right)\right)-{\frac {\ln(\pi )t}{2}}}$

lo que extiende nuestra definición original a una función holomorfa de t . Dado que la rama principal de log Γ tiene un único corte de rama a lo largo del eje real negativo, θ ( t ) en esta definición hereda cortes de rama a lo largo del eje imaginario por encima de i /2 y por debajo de  − i /2.

La función zeta de Riemann en la línea crítica se puede escribir

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=e^{-i\theta (t)}Z(t),}$

${\displaystyle Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right).}$

Si${\displaystyle t}$es un número real , entonces la función Z${\displaystyle Z(t)}$Devuelve valores reales .

Por lo tanto, la función zeta en la línea crítica será real en un cero, correspondiente a${\displaystyle Z(t)=0}$o cuando${\displaystyle \sin \left(\theta (t)\right)=0}$. Valores reales positivos de${\displaystyle t}$donde ocurre este último caso se llaman puntos Gram , en honor a JP Gram , y por supuesto también se pueden describir como los puntos donde${\displaystyle {\frac {\theta (t)}{\pi }}}$es un número entero.

Un punto de Gram es una solución${\displaystyle g_{n}}$de

${\displaystyle \theta (g_{n})=n\pi .}$

Estas soluciones se aproximan mediante la siguiente secuencia:

${\displaystyle g'_{n}={\frac {2\pi \left(n+1-{\frac {7}{8}}\right)}{W\left({\frac {1}{e}}\left(n+1-{\frac {7}{8}}\right)\right)}},}$

dónde${\displaystyle W}$es la función W de Lambert .

Aquí están los puntos de Gram no negativos más pequeños:

La elección del índice n es un tanto burda. Históricamente se elige de tal manera que el índice sea 0 en el primer valor que sea mayor que el cero positivo más pequeño (en la parte imaginaria 14.13472514 ...) de la función zeta de Riemann en la línea crítica. Nótese que esto${\displaystyle \theta }$La función oscila para argumentos reales absolutamente pequeños y, por lo tanto, no es invertible de forma única en el intervalo [−24,24]. Por lo tanto, la función theta impar tiene su punto de Gram simétrico con valor 0 en el índice −3. Los puntos de Gram son útiles al calcular los ceros de${\displaystyle Z\left(t\right)}$En un punto de Gram${\displaystyle g_{n},}$

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+ig_{n}\right)=\cos(\theta (g_{n}))Z(g_{n})=(-1)^{n}Z(g_{n}),}$

y si esto es positivo en dos puntos de Gram sucesivos,${\displaystyle Z(t)}$debe tener un cero en el intervalo.

Según la ley de Gram , la parte real suele ser positiva, mientras que la parte imaginaria alterna con los puntos de Gram entre valores positivos y negativos a intervalos más o menos regulares.

${\displaystyle (-1)^{n}Z(g_{n})>0}$

El número de raíces,${\displaystyle N(T)}$, en la franja de 0 a T , se puede encontrar mediante

${\displaystyle N(T)={\frac {\theta (T)}{\pi }}+1+S(T),}$

dónde${\displaystyle S(T)}$es un término de error que crece asintóticamente como${\displaystyle \log T}$.

Si${\displaystyle g_{n}}$Si obedeciera la ley de Gram, entonces encontrar el número de raíces en la franja equivaldría a:

${\displaystyle N(g_{n})=n+1.}$

Hoy sabemos que, a largo plazo, la ley de Gram no contiene exactamente un cero de la función zeta de Riemann en aproximadamente una cuarta parte de todos los intervalos de Gram. Gram temía que pudiera fallar para índices mayores (el primer fallo se produce en el índice 126, antes del cero número 127) y, por lo tanto, afirmó esto solo para índices no demasiado altos. Posteriormente, Hutchinson acuñó la frase « ley de Gram » para referirse a la afirmación (falsa) de que todos los ceros en la línea crítica estarían separados por puntos de Gram.

• Función Z

• Edwards, HM (1974), La función zeta de Riemann , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-41740-0, MR 0466039 
• Gabcke, W. (1979), Neue Herleitung und explizierte Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel . Tesis, Universidad de Göttingen . Versión revisada (eDiss Göttingen 2015)
• Gram, JP (1903), "Note sur les zéros de la fonction ζ (s) de Riemann" , Acta Mathematica , 27 (1): 289– 304, doi : 10.1007/BF02421310

• Weisstein, Eric W. "Funciones de Riemann-Siegel" . MundoMatemático .
• Wolfram Research – Función theta de Riemann-Siegel (incluye representación gráfica y evaluación de la función)