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Articulo de referencia

Constante gravitacional

La constante gravitacional G es una magnitud clave en la ley de gravitación universal de Newton . La constante gravitacional es una constante física empírica que indica la inten...

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La constante gravitacional G es una magnitud clave en la ley de gravitación universal de Newton .

La constante gravitacional es una constante física empírica que indica la intensidad del campo gravitatorio inducido por una masa. Se utiliza en el cálculo de los efectos gravitatorios en la ley de gravitación universal de Isaac Newton y en la teoría de la relatividad general de Albert Einstein . También se la conoce como constante gravitacional universal , constante gravitacional newtoniana o constante gravitacional de Cavendish , [ a ] representada por la letra mayúscula G. Es comparable (y matemáticamente similar) a la constante gravitacional de Einstein , representada por la letra minúscula kappa (κ). 

En la ley de Newton, es la constante de proporcionalidad que relaciona la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos con el producto de sus masas y el inverso del cuadrado de su distancia . En las ecuaciones de campo de Einstein , cuantifica la relación entre la geometría del espacio-tiempo y el tensor de energía-impulso .

El valor medido de la constante se conoce con cierta certeza hasta cuatro cifras significativas. En unidades del SI , su valor es aproximadamente6,6743 × 10 −11  m 3 ⋅kg −1 ⋅s −2 . [ 1 ]

La notación moderna de la ley de Newton que involucra a G fue introducida en la década de 1890 por CV Boys . La primera medición implícita con una precisión de aproximadamente el 1% se atribuye a Henry Cavendish en un experimento de 1798. [ b ]

Definición

Según la ley de gravitación universal de Newton, la magnitud de la fuerza de atracción ( F ) entre dos cuerpos, cada uno con una distribución de densidad esféricamente simétrica, es directamente proporcional al producto de sus masas , m1 y m2 , e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, r , dirigida a lo largo de la línea que conecta sus centros de masa : F=GRAMOmetro1metro2r2.{\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}.} La constante de proporcionalidad , G , en esta formulación no relativista es la constante gravitacional. Coloquialmente, la constante gravitacional también se denomina "G mayúscula", distinta de la "g minúscula" ( g ), que es el campo gravitacional local de la Tierra (también conocido como aceleración de la caída libre). [ 2 ] [ 3 ] DondeMETRO⊕{\displaystyle M_{\oplus }}es la masa de la Tierra yr⊕{\displaystyle r_{\oplus }}es el radio de la Tierra , las dos cantidades están relacionadas por: gramo=GRAMOMETRO⊕r⊕2.{\displaystyle g=G{\frac {M_{\oplus }}{r_{\oplus }^{2}}}.}

La constante gravitacional es un término constante en las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general , [ 4 ] [ 5 ]GRAMOμν+Λgramoμν=κTμν,{\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,} donde G μν es el tensor de Einstein (no la constante gravitacional a pesar del uso de G ), Λ es la constante cosmológica , g μν es el tensor métrico , T μν es el tensor de energía-impulso y κ es la constante gravitacional de Einstein , una constante introducida originalmente por Einstein que está directamente relacionada con la constante de gravitación newtoniana: [ 5 ] [ 6 ] [ c ]κ=8πGRAMOdo4≈2.076647(46)×10−43 norte−1.{\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.076\,647(46)\times 10^{-43}\mathrm {~N^{-1}} .}

Significado

Las unidades de G , m³ kg⁻¹ s⁻² ( en el SI), pueden expresarse de más de una manera para indicar el significado de G como la intensidad de la gravedad en el universo. Una de ellas es N/(kg² / m² ) para indicar la fuerza entre dos masas a cierta distancia según la ley del inverso del cuadrado. Otra, eliminando una unidad de masa común, es (m/s² ) /(kg/m² ) para indicar la aceleración debida a la gravedad producida por una masa a cierta distancia, o la aceleración resultante en un punto del espacio debido a la influencia de una masa distante.

Valor e incertidumbre

La constante gravitacional es una constante física difícil de medir con alta precisión. [ 7 ] Esto se debe a que la fuerza gravitacional es extremadamente débil en comparación con otras fuerzas fundamentales a escala de laboratorio. [ d ]

En unidades del SI , el valor de la constante gravitacional recomendado por CODATA es: [ 1 ]

GRAMO{\displaystyle G}=6,674 30 (15) × 10 −11  m 3 ⋅kg −1 ⋅s −2

La incertidumbre estándar relativa es2,2 × 10 −5 .

unidades naturales

Debido a su uso como constante definitoria en algunos sistemas de unidades naturales , [ 8 ] [ 9 ] particularmente en sistemas de unidades geometrizadas como las unidades de Planck y las unidades de Stoney , el valor de la constante gravitacional generalmente tendrá un valor numérico de 1 o un valor cercano a él cuando se exprese en términos de dichas unidades. Debido a la considerable incertidumbre en el valor medido de G en términos de otras constantes fundamentales conocidas, un nivel similar de incertidumbre aparecerá en el valor de muchas magnitudes cuando se expresen en dicho sistema de unidades.

Mecánica orbital

En astrofísica , es conveniente medir las distancias en pársecs (pc), las velocidades en kilómetros por segundo (km/s) y las masas en unidades solares M ⊙ . En estas unidades, la constante gravitacional es: GRAMO≈4.3009×10−3 pagdo⋅(kmetro/s)2METRO⊙−1.{\displaystyle G\approx 4.3009\times 10^{-3}{\mathrm {~pc{\cdot }(km/s)^{2}} \,{M_{\odot }}^{-1}}.} En situaciones donde las mareas son importantes, las escalas de longitud relevantes son los radios solares en lugar de los pársecs. En estas unidades, la constante gravitacional es: GRAMO≈1.908 09×105 (kmetro/s)2R⊙METRO⊙−1.{\displaystyle G\approx 1.908\ 09\times 10^{5}\mathrm {~(km/s)^{2}} \,R_{\odot }{M_{\odot }}^{-1}.} En mecánica orbital , el período P de un objeto en órbita circular alrededor de un objeto esférico obedece a GRAMOMETRO=3πVPAG2,{\displaystyle GM={\frac {3\pi V}{P^{2}}},} donde V es el volumen dentro del radio de la órbita y M es la masa total de los dos objetos. De ello se deduce que

PAG2=3πGRAMOVMETRO≈10.896 h2⋅gramo⋅dometro−3VMETRO.{\displaystyle P^{2}={\frac {3\pi }{G}}{\frac {V}{M}}\approx 10.896\mathrm {~h^{2}{\cdot }g{\cdot }cm^{-3}\,} {\frac {V}{M}}.}

Esta forma de expresar G muestra la relación entre la densidad media de un planeta y el período de un satélite que orbita justo por encima de su superficie.

Para órbitas elípticas, aplicando la tercera ley de Kepler , expresada en unidades características de la órbita terrestre :

GRAMO=4π2 atú3⋅yr−2 METRO−1≈39.478 atú3⋅yr−2 METRO⊙−1,{\displaystyle G=4\pi ^{2}\mathrm {\ au^{3}{\cdot }yr^{-2}} \ M^{-1}\approx 39.478\mathrm {\ au^{3}{\cdot }yr^{-2}} \ {M_{\odot }}^{-1},}

donde la distancia se mide en términos del semieje mayor de la órbita de la Tierra (la unidad astronómica , ua), el tiempo en años y la masa en la masa total del sistema en órbita ( M = M ☉ + M 🜨 + M ☾ [ e ] ).

La ecuación anterior es exacta solo dentro de la aproximación de la órbita de la Tierra alrededor del Sol como un problema de dos cuerpos en la mecánica newtoniana; las cantidades medidas contienen correcciones debidas a las perturbaciones de otros cuerpos en el Sistema Solar y a la relatividad general.

Sin embargo, desde 1964 hasta 2012, se utilizó como definición de la unidad astronómica y, por lo tanto, se mantuvo por definición: 1 atú=(GRAMOMETRO4π2yr2)13≈1.495 979×1011 metro.{\displaystyle \mathrm {1~au} =\left({\frac {GM}{4\pi ^{2}}}\mathrm {yr} ^{2}\right)^{\frac {1}{3}}\approx \mathrm {1.495\ 979\times 10^{11}~m} .} Desde 2012, la UA se define como1,495 978 707 × 10 11  m exactamente, y la ecuación ya no puede tomarse como válida con precisión.

La magnitud GM —el producto de la constante gravitacional y la masa de un cuerpo astronómico dado, como el Sol o la Tierra— se conoce como parámetro gravitacional estándar (también denotado como μ ). El parámetro gravitacional estándar GM aparece, como se indicó anteriormente, en la ley de gravitación universal de Newton, así como en fórmulas para la desviación de la luz causada por lentes gravitacionales , en las leyes de Kepler del movimiento planetario y en la fórmula para la velocidad de escape .

Esta cantidad simplifica convenientemente diversas fórmulas relacionadas con la gravedad. El producto GM se conoce con mucha más precisión que cualquiera de los factores por separado.

Calculations in celestial mechanics can also be carried out using the units of solar masses, mean solar days and astronomical units rather than standard SI units. For this purpose, the Gaussian gravitational constant was historically in widespread use, k = 0.01720209895radians per day, expressing the mean angular velocity of the Sun–Earth system. The use of this constant, and the implied definition of the astronomical unit discussed above, has been deprecated by the IAU since 2012.[12]

History of measurement

Early history

The existence of the constant is implied in Newton's law of universal gravitation as published in the 1680s (although its notation as G dates to the 1890s),[13] but is not calculated in his Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica where it postulates the inverse-square law of gravitation. In the Principia, Newton considered the possibility of measuring gravity's strength by measuring the deflection of a pendulum in the vicinity of a large hill, but thought that the effect would be too small to be measurable.[14] Nevertheless, he had the opportunity to estimate the order of magnitude of the constant when he surmised that "the mean density of the earth might be five or six times as great as the density of water", which is equivalent to a gravitational constant of the order:[15]

G ≈ (6.7±0.6)×10−11 m3⋅kg−1⋅s−2

A measurement was attempted in 1738 by Pierre Bouguer and Charles Marie de La Condamine in their "Peruvian expedition". Bouguer downplayed the significance of their results in 1740, suggesting that the experiment had at least proved that the Earth could not be a hollow shell, as some thinkers of the day, including Edmond Halley, had suggested.[16]

El experimento de Schiehallion , propuesto en 1772 y completado en 1776, fue la primera medición exitosa de la densidad media de la Tierra y, por lo tanto, indirectamente de la constante gravitacional. El resultado reportado por Charles Hutton (1778) sugirió una densidad de4,5  g/cm³ ( 4,5 veces la densidad del agua), aproximadamente un 20 % por debajo del valor moderno. [ 17 ] Esto condujo inmediatamente a estimaciones sobre las densidades y masas del Sol , la Luna y los planetas , enviadas por Hutton a Jérôme Lalande para su inclusión en sus tablas planetarias. Como se mencionó anteriormente, establecer la densidad promedio de la Tierra es equivalente a medir la constante gravitacional, dado el radio medio de la Tierra y la aceleración gravitacional media en la superficie de la Tierra, estableciendo [ 13 ]GRAMO=gramoR⊕2METRO⊕=3gramo4πR⊕ρ⊕.{\displaystyle G=g{\frac {R_{\oplus }^{2}}{M_{\oplus }}}={\frac {3g}{4\pi R_{\oplus }\rho _{\oplus }}}.} Sobre esta base, el resultado de Hutton de 1778 es equivalente a G ≈8 × 10 −11  m 3 ⋅kg −1 ⋅s −2 .

Diagrama de la balanza de torsión utilizada en el experimento de Cavendish, realizado por Henry Cavendish en 1798 para medir G. Con la ayuda de una polea, unas bolas grandes colgadas de un marco se giraron hasta colocarlas junto a las bolas pequeñas.

La primera medición directa de la atracción gravitatoria entre dos cuerpos en el laboratorio fue realizada en 1798, setenta y un años después de la muerte de Newton, por Henry Cavendish. [ 18 ] Determinó un valor para G de forma implícita, utilizando una balanza de torsión inventada por el geólogo reverendo John Michell (1753). Empleó una viga de torsión horizontal con bolas de plomo cuya inercia (en relación con la constante de torsión) podía determinar midiendo el tiempo de oscilación de la viga. Su débil atracción hacia otras bolas colocadas junto a la viga era detectable por la desviación que provocaban. A pesar de que el diseño experimental se debe a Michell, el experimento se conoce ahora como el experimento de Cavendish por haber sido ejecutado con éxito por primera vez por Cavendish.

El objetivo declarado de Cavendish era el "pesaje de la Tierra", es decir, determinar la densidad promedio de la Tierra y la masa de la Tierra . Su resultado, ρ 🜨 =5,448(33)  g ⋅ cm −3 , corresponde al valor de G =6,74(4) × 10 −11  m 3 ⋅kg −1 ⋅s −2 . Es notablemente preciso, estando aproximadamente un 1% por encima delvalor recomendado por CODATA moderno.6,674 × 10 −11  m 3 ⋅kg −1 ⋅s −2 , en consonancia con la incertidumbre estándar relativa declarada del 0,6 %.

siglo XIX

La precisión del valor medido de G ha aumentado solo modestamente desde el experimento original de Cavendish. [ 19 ] G es bastante difícil de medir porque la gravedad es mucho más débil que otras fuerzas fundamentales, y un aparato experimental no puede separarse de la influencia gravitatoria de otros cuerpos.

Las mediciones con péndulos fueron realizadas por Francesco Carlini (1821,4,39  g/cm³ ) , Edward Sabine (1827,4,77  g/cm 3 ), Carlo Ignazio Giulio (1841,4,95  g/cm³ ) y George Biddell Airy (1854,6,6  g/cm³ ) . [ 20 ]

El experimento de Cavendish fue repetido por primera vez por Ferdinand Reich (1838, 1842, 1853), quien encontró un valor de5,5832(149)  g ⋅ cm −3 , [ 21 ] menos preciso que el resultado de Cavendish, que difiere del valor moderno en un 1,5%. Cornu y Baille (1873), encontraron5,56  g ⋅ cm −3 . [ 22 ]

El experimento de Cavendish demostró arrojar mediciones más fiables que los experimentos con péndulo del tipo "Schiehallion" (deflexión) o del tipo "Peruano" (período en función de la altitud). Los experimentos con péndulo continuaron realizándose, por Robert von Sterneck (1883, resultados entre5,0 y 6,3  g/cm³ ) y Thomas Corwin Mendenhall (1880,5,77  g/cm³ ) . [ 23 ]

El resultado de Cavendish fue mejorado por primera vez por John Henry Poynting (1891), [ 24 ] quien publicó un valor de5,49(3)  g ⋅ cm −3 , que difiere del valor moderno en un 0,2%, pero es compatible con el valor moderno dentro de la incertidumbre estándar relativa citada del 0,55%. Además de Poynting, CV Boys (1895) [ 25 ] y Carl Braun (1897), [ 26 ] realizaron mediciones con resultados compatibles que sugieren G =6,66(1) × 10 −11  m 3 ⋅kg −1 ⋅s −2 . La notación moderna que involucra la constante G fue introducida por Boys en 1894 [ 13 ] y se convirtió en estándar a finales de la década de 1890, con valores generalmente citados en el sistema cgs . Richarz y Krigar-Menzel (1898) intentaron una repetición del experimento de Cavendish utilizando 100 000  kg de plomo como masa atractora. La precisión de su resultado de6,683(11) × 10 −11  m 3 ⋅kg −1 ⋅s −2 fue, sin embargo, del mismo orden de magnitud que los demás resultados de la época. [ 27 ]

Arthur Stanley Mackenzie en Las leyes de la gravitación (1899) revisa el trabajo realizado en el siglo XIX. [ 28 ] Poynting es el autor del artículo "Gravitación" en la undécima edición de la Encyclopædia Britannica (1911). Aquí, cita un valor de G =6,66 × 10 −11  m 3 ⋅kg −1 ⋅s −2 con una incertidumbre relativa del 0,2 %.

Valor moderno

Paul R. Heyl (1930) publicó el valor de6,670(5) × 10 −11  m 3 ⋅kg −1 ⋅s −2 (incertidumbre relativa 0,1%), [ 29 ] mejorado a6,673(3) × 10 −11  m 3 ⋅kg −1 ⋅s −2 (incertidumbre relativa 0,045% = 450  ppm) en 1942. [ 30 ]

Sin embargo, Heyl utilizó la dispersión estadística como desviación estándar y admitió que las mediciones realizadas con el mismo material arrojaban resultados muy similares, mientras que las realizadas con materiales diferentes arrojaban resultados muy distintos. Dedicó los siguientes doce años tras la publicación de su artículo de 1930 a realizar mediciones más precisas, con la esperanza de que el efecto dependiente de la composición desapareciera, pero no fue así, como señaló en su último artículo de 1942.

Cronología de las mediciones y los valores recomendados para G desde 1900: los valores recomendados en base a una revisión de la literatura se muestran en rojo, los experimentos individuales con balanza de torsión en azul y otros tipos de experimentos en verde.

Los valores publicados de G derivados de mediciones de alta precisión desde la década de 1950 han sido compatibles con Heyl (1930), pero dentro de la incertidumbre relativa de aproximadamente 0,1 % (o 1000  ppm) han variado bastante ampliamente, y no está del todo claro si la incertidumbre se ha reducido en algo desde la medición de 1942. Algunas mediciones publicadas entre las décadas de 1980 y 2000 fueron, de hecho, mutuamente excluyentes. [ 7 ] [ 31 ] Por lo tanto , establecer un valor estándar para G con una incertidumbre estándar relativa mejor que 0,1 % ha seguido siendo bastante especulativo.

En 1969, el valor recomendado por el Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST) se citaba con una incertidumbre estándar relativa del 0,046 % (460  ppm), que se redujo al 0,012 % (120  ppm) en 1986. Pero la continua publicación de mediciones contradictorias llevó al NIST a aumentar considerablemente la incertidumbre estándar en el valor recomendado de 1998, en un factor de 12, hasta una incertidumbre estándar del 0,15 %, mayor que la proporcionada por Heyl (1930).

La incertidumbre se redujo nuevamente en 2002 y 2006, pero volvió a aumentar, en un 20% más conservador, en 2010, igualando la incertidumbre estándar relativa de 120  ppm publicada en 1986. [ 32 ] Para la actualización de 2014, CODATA redujo la incertidumbre a 46  ppm, menos de la mitad del valor de 2010 y un orden de magnitud por debajo de la recomendación de 1969.

La siguiente tabla muestra los valores recomendados por el NIST publicados desde 1969:

En el número de enero de 2007 de Science , Fixler et al. describieron una medición de la constante gravitacional mediante una nueva técnica, la interferometría atómica , informando un valor de G =6,693(34) × 10 −11  m 3 ⋅kg −1 ⋅s −2 , 0,28% (2800 ppm) más alto que el valor CODATA de 2006. [ 43 ] Una medición mejorada de átomos fríos realizada por Rosi et al. fue publicada en 2014 de G =6,671 91 (99) × 10 −11  m 3 ⋅kg −1 ⋅s −2 . [ 44 ] [ 45 ] Aunque mucho más cercano al valor aceptado (lo que sugiere que la medición de Fixler et al. fue errónea), este resultado fue 325 ppm inferior al valor recomendado por CODATA 2014, con intervalos de incertidumbre estándar que no se superponen .

En agosto de 2018, un grupo de investigación chino anunció nuevas mediciones basadas en balanzas de torsión,6,674 184 (78) × 10 −11  m 3 ⋅kg −1 ⋅s −2 y6,674 484 (78) × 10 −11  m 3 ⋅kg −1 ⋅s −2 basado en dos métodos diferentes. [ 46 ] Se afirma que estas son las mediciones más precisas jamás realizadas, con incertidumbres estándar citadas tan bajas como 12  ppm. La diferencia de 2,7 σ entre los dos resultados sugiere que podría haber fuentes de error no consideradas.

El NIST coordinó una campaña para reevaluar las mediciones contradictorias, en particular una repetición de los resultados muy discrepantes informados por Quinn et al. (2013) [ 47 ] utilizando el mismo aparato. Si bien originalmente se esperaba informar los resultados para 2018, [ 48 ] la campaña de medición finalmente terminó en 2024, con un resultado de6,673 66 (20) × 10 −11  m 3 ⋅kg −1 ⋅s −2 reportado en 2026. [ 49 ]

Constancia

El análisis de las observaciones de 580 supernovas de tipo Ia muestra que la constante gravitacional ha variado en menos de una parte en diez mil millones por año durante los últimos nueve mil millones de años. [ 50 ]

Véase también

Referencias

Notas a pie de página
  1. ↑ "Constante gravitacional newtoniana" es el nombre introducido para G por Boys (1894). El uso del término por TE Stern (1928) fue citado erróneamente como "Constante gravitacional de Newton" en Pure Science Reviewed for Profound and Unsophisticated Students (1930), en lo que aparentemente es el primer uso de ese término. El uso de "Constante de Newton" (sin especificar "gravitación" o "gravedad") es más reciente, ya que "Constante de Newton" también se usó para el coeficiente de transferencia de calor en la ley de enfriamiento de Newton , pero ahora se ha vuelto bastante común, por ejemplo Calmet et al, Quantum Black Holes (2013), p. 93; P. de Aquino, Beyond Standard Model Phenomenology at the LHC (2013), p. 3. El nombre «constante gravitacional de Cavendish», a veces «constante gravitacional de Newton-Cavendish», parece haber sido común en las décadas de 1970 y 1980, especialmente en (traducciones de) literatura rusa de la era soviética, por ejemplo, Sagitov (1970 [1969]), Soviet Physics: Uspekhi 30 (1987), Issues 1–6, p. 342 [etc.]. «Constante de Cavendish» y «constante gravitacional de Cavendish» también se usan en Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation , (1973), 1126f. El uso coloquial de "G mayúscula", en contraposición a " g minúscula " para la aceleración gravitacional, data de la década de 1960 (RW Fairbridge, The encyclopedia of atmospheric sciences and astrogeology , 1967, p. 436; nótese el uso de "G mayúscula" frente a "g minúscula" ya en la década de 1940 del tensor de Einstein G μν frente al tensor métrico g μν , Scientific, medical, and technical books published in the United States of America: a selected list of titles in print with annotations: supplement of books published 1945–1948 , Committee on American Scientific and Technical Bibliography National Research Council, 1950, p. 26).
  2. ↑ Cavendish determinó el valor de G indirectamente, al informar un valor para la masa de la Tierra , o la densidad promedio de la Tierra, como5,448  g ⋅ cm −3 .
  3. ↑ Dependiendo de la elección de la definición del tensor de Einstein y del tensor de energía-impulso, alternativamente se puede definir como κ = ⁠ 8π G / c 2 ⁠ ≈1,866 × 10 −26  m⋅kg −1
  4. ↑ Por ejemplo, la fuerza gravitacional entre un electrón y un protón separados por 1 m es aproximadamente10 −67 N  , mientras que la fuerza electromagnética entre las mismas dos partículas es aproximadamente10 −28  N . La fuerza electromagnética en este ejemplo es del orden de 10 39 veces mayor que la fuerza de gravedad, aproximadamente la misma proporción que la masa del Sol con respecto a un microgramo.
  5. ↑ M ≈1,000 003 040 433 M ☉ , de modo que M = M ☉ se puede utilizar para precisiones de cinco o menos dígitos significativos.
Citas
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  7. 1 2 Gillies, George T. (1997). "La constante gravitacional newtoniana: mediciones recientes y estudios relacionados". Reports on Progress in Physics . 60 (2): 151– 225. Bibcode : 1997RPPh...60..151G . doi : 10.1088/0034-4885/60/2/001 . S2CID 250810284 . Una revisión extensa y detallada. Véanse, en particular, la Figura 1 y la Tabla 2.
  8. ↑ David Glick; George Darby; Anna Marmodoro (2020). Los fundamentos de la realidad: fundamentalidad, espacio y tiempo . Oxford University Press. pág. 99. ISBN  978-0-19-883150-1.Extracto de la página 99
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