3 categorías

En matemáticas, especialmente en teoría de categorías , una 3-categoría es una 2-categoría junto con 3-morfismos. Se presenta en al menos tres variantes.

• una estricta 3 categorías ,
• una categoría semiestricta de 3 categorías también llamada categoría gris ,
• una débil categoría 3 .

El teorema de coherencia de Gordon–Power–Street afirma que una 3-categoría débil es equivalente (en cierto sentido) a una categoría Gray. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Una 3-categoría estricta se define como una categoría enriquecida sobre 2Cat , la categoría monoidal de 2-categorías estrictas (pequeñas). Una 3-categoría débil se define entonces aproximadamente reemplazando las igualdades en los axiomas por isomorfismos coherentes .

Introducido por Gray, ^{[ 3 ]} un producto tensorial de Gray es un reemplazo de un producto de 2-categorías que es más conveniente para la teoría de categorías superiores. Precisamente, dado un morfismo${\displaystyle f:x\to y}$en una estricta categoría 2 C y${\displaystyle g:a\to b}$En D , el producto usual se da como${\displaystyle f\times g:(x,a)\to (y,b)}$que factores como${\displaystyle u=(\operatorname {id} ,g)\circ (f,\operatorname {id} )}$y${\displaystyle v=(f,\operatorname {id} )\circ (\operatorname {id} ,g)}$El producto tensorial de Gray${\displaystyle f\otimes g}$debilita esto de modo que simplemente tenemos un 2-morfismo de${\displaystyle u}$a${\displaystyle v}$. ^{[ 4 ]} Algunos autores requieren que este 2-morfismo sea un isomorfismo, lo que equivale a reemplazar lax con pseudo en la teoría.

Sea Gray la categoría monoidal de 2-categorías estrictas y 2-functores estrictos con el producto tensorial de Gray. Entonces, una categoría de Gray es una categoría enriquecida sobre Gray.

Las tetracategorías son la noción correspondiente en la dimensión cuatro. Las dimensiones más allá de tres se consideran cada vez más importantes para la relación entre la teoría de nudos y la física .

• Todd Trimble, Notas sobre tetracategorías, octubre de 2006,
• "Categoría gris en nLab" . ncatlab.org .
• "Categoría estricta de 3 categorías en nLab" . ncatlab.org .
• Buhné, Lukas (2015). Temas de la teoría del descenso tridimensional (Tesis). Staats- und Universitätsbibliothek Hamburgo Carl von Ossietzky.- Teorema 2.12 (El lema de Yoneda para tricategorías).
• http://pantodon.jp/index.rb?body=Gray-tensor_product en japonés