Gran icosidodecaedro truncado

En geometría , el gran icosidodecaedro truncado es un poliedro uniforme no convexo , indexado como U _57. Tiene 92 caras (80 triángulos y 12 pentagramas ), 150 aristas y 60 vértices. ^{[ 1 ]} Puede representarse mediante un símbolo de Schläfli sr { 5 ⁄ 2 ,3} y un diagrama de Coxeter-Dynkin .

Este poliedro es el miembro achatado de una familia que incluye el gran icosaedro , el gran dodecaedro estrellado y el gran icosidodecaedro .

En el libro Polyhedron Models de Magnus Wenninger , el poliedro se denomina erróneamente gran icosidodecaedro truncado invertido , y viceversa.

Dejar${\displaystyle \xi \approx 0.3990206456527105}$sea ​​la raíz positiva del polinomio${\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\phi ^{-2}}$, dónde${\displaystyle \phi }$es la proporción áurea . Sea el punto${\displaystyle p}$ser dado por

${\displaystyle p={\begin{pmatrix}\xi \\\phi ^{-2}-\phi ^{-2}\xi \\-\phi ^{-3}+\phi ^{-1}\xi +2\phi ^{-1}\xi ^{2}\end{pmatrix}}}$.

Sea la matriz${\displaystyle M}$ser dado por

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1/2&-\phi /2&1/(2\phi )\\\phi /2&1/(2\phi )&-1/2\\1/(2\phi )&1/2&\phi /2\end{pmatrix}}}$.

${\displaystyle M}$es la rotación alrededor del eje${\displaystyle (1,0,\phi )}$ por un ángulo de${\displaystyle 2\pi /5}$, en sentido antihorario. Sean las transformaciones lineales${\displaystyle T_{0},\ldots ,T_{11}}$ sean las transformaciones que envían un punto${\displaystyle (x,y,z)}$a las permutaciones pares de${\displaystyle (\pm x,\pm y,\pm z)}$ con un número par de signos menos. Las transformaciones${\displaystyle T_{i}}$constituyen el grupo de simetrías rotacionales de un tetraedro regular . Las transformaciones${\displaystyle T_{i}M^{j}}$${\displaystyle (i=0,\ldots ,11}$,${\displaystyle j=0,\ldots ,4)}$constituyen el grupo de simetrías rotacionales de un icosaedro regular . Entonces los 60 puntos${\displaystyle T_{i}M^{j}p}$ son los vértices de un gran icosaedro truncado. La longitud de la arista es igual a${\displaystyle 2\xi {\sqrt {1-\xi }}}$, el radio circunscrito es igual a${\displaystyle \xi {\sqrt {2-\xi }}}$y el radio medio es igual a${\displaystyle \xi }$.

Para un gran icosidodecaedro truncado cuya longitud de arista es 1, el radio de la circunferencia circunscrita es

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-\xi }{1-\xi }}}\approx 0.8160806747999234}$

Su radio medio es

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 0.6449710596467862}$

Las cuatro raíces reales positivas del sexto en R ² , $${\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}$$ son, en orden, los radios de las circunferencias del gran icosidodecaedro retrosnub (U ₇₄ ), el gran icosidodecaedro snub (U ₅₇ ), el gran icosidodecaedro snub invertido (U ₆₉ ) y el dodecaedro snub (U ₂₉ ).

Denotemos la proporción áurea por${\displaystyle \phi }$. Dejar${\displaystyle \xi \approx -0.199\,510\,322\,83}$sea ​​el cero negativo del polinomio${\displaystyle P=8x^{3}-8x^{2}+\phi ^{-2}}$. Entonces cada cara pentagonal tiene cuatro ángulos iguales de${\displaystyle \arccos(\xi )\approx 101.508\,325\,512\,64^{\circ }}$y un ángulo de${\displaystyle \arccos(-\phi ^{-1}+\phi ^{-2}\xi )\approx 133.966\,697\,949\,42^{\circ }}$Cada cara tiene tres aristas largas y dos cortas. La proporción${\displaystyle l}$La relación entre las longitudes de los lados largo y corto viene dada por

${\displaystyle l={\frac {2-4\xi ^{2}}{1-2\xi }}\aprox 1.315\,765\,089\,00}$.

El ángulo diedro es igual a${\displaystyle \arccos(\xi /(\xi +1))\approx 104.432\,268\,611\,86^{\circ }}$. Parte de cada cara se encuentra dentro del sólido, por lo tanto es invisible en los modelos sólidos. Los otros dos ceros del polinomio${\displaystyle P}$desempeñan un papel similar en la descripción del gran hexecontaedro pentagonal invertido y del gran hexecontaedro pentagramático .

• Lista de poliedros uniformes
• Gran icosidodecaedro truncado invertido
• Gran icosidodecaedro retrosnub

• Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 

• Weisstein, Eric W. "Gran hexecontaedro pentagonal" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Gran icosidodecaedro snub" . MathWorld .