La función de Green

Si uno conoce la solución ${\textstyle G(x,x')}$ a una ecuación diferencial sujeta a una fuente puntual ${\textstyle {\hat {L}}(x)G(x,x')=\delta (xx')}$ y el operador diferencial ${\textstyle {\hat {L}}(x)}$ Si es lineal, entonces se pueden superponer para construir la solución. ${\textstyle u(x)=\int f(x')G(x,x')\,dx'}$ para una fuente general ${\estilo de texto {\sombrero {L}}(x)u(x)=f(x)}$ .

En matemáticas , una función de Green (o función de Green ^{[ 1 ]} ) es la respuesta impulsional de un operador diferencial lineal no homogéneo definido en un dominio con condiciones iniciales o condiciones de contorno especificadas.

Esto significa que si $L$ es un operador diferencial lineal, entonces

la función de Green $G$ es la solución de la ecuación $LG=\delta ,$ dónde $\delta$ es la función delta de Dirac ;
la solución del problema no homogéneo $Ly=f$ es la convolución , $y=(G\ast f).$

Por el principio de superposición , dada una ecuación diferencial ordinaria lineal (EDO), $Ly=f$ , uno puede resolver primero $LG=\delta _{s}$ , para cada $s$ . Si la fuente es una suma de funciones delta , entonces la solución también es una suma de funciones de Green debido a la linealidad de $L$ . Esto significa que la integral, vista como una suma continua, puede reconstruir una amplia clase de fuentes, $f$ , a través de la integral de convolución . Siempre que la integral de $f$ con $G$ converge, entonces la solución a la ecuación no homogénea, $Ly=f$ , se da por $y=G\ast f$ . ^{[ 2 ]}

Las funciones de Green reciben su nombre del matemático británico George Green , quien desarrolló el concepto por primera vez en la década de 1820. En el estudio moderno de las ecuaciones diferenciales parciales lineales , las funciones de Green se estudian principalmente desde el punto de vista de las soluciones fundamentales , que tienen en cuenta el lenguaje moderno de la teoría de distribuciones o funciones generalizadas. ^{[ 2 ]}

Partiendo del principio de superposición en la teoría de muchos cuerpos , el término también se utiliza en física e ingeniería, específicamente en teoría cuántica de campos , aerodinámica , aeroacústica , electrodinámica , sismología y teoría estadística de campos , para referirse a diversos tipos de funciones de correlación , incluso aquellas que no se ajustan a la definición matemática. En la teoría cuántica de campos, las funciones de Green desempeñan el papel de propagadores , también conocidas como funciones de dos puntos (de correlación). ^{[ 3 ]}

Definición y usos

Una función de Green, $G (x, s)$ , de un operador diferencial lineal $L = L (x)$ que actúa sobre distribuciones en un subconjunto del espacio euclidiano $\mathbb {R} ^{n}$ , en un punto $s$ , es cualquier solución de

donde $δ$ es la función delta de Dirac . Esta propiedad de una función de Green puede ser explotada para resolver ecuaciones diferenciales de la forma

Si el núcleo de $L$ no es trivial, la función de Green no es única. Sin embargo, en la práctica, alguna combinación de simetría , condiciones de contorno u otros criterios impuestos externamente dará como resultado una función de Green única. Las funciones de Green se pueden clasificar mediante un número de función de Green según el tipo de condiciones de contorno que se satisfacen. Las funciones de Green no son necesariamente funciones de una variable real, sino que generalmente se entienden en el sentido de distribuciones .

Las funciones de Green también son herramientas útiles para resolver ecuaciones de onda y ecuaciones de difusión . ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} En mecánica cuántica , la función de Green del hamiltoniano es un concepto clave con vínculos importantes con el concepto de densidad de estados .

La función de Green, tal como se usa en física, se define generalmente con el signo opuesto. Es decir, $LG(x,s)=\delta (xs)\,.$ Esta definición no altera significativamente ninguna de las propiedades de la función de Green debido a la uniformidad de la función delta de Dirac.

Si el operador es invariante a la traslación , es decir, cuando $L$ tiene coeficientes constantes con respecto a $x$ , entonces la función de Green puede tomarse como un núcleo de convolución , es decir, $G(x,s)=G(xs)\,.$ En este caso, la función de Green es la misma que la respuesta impulsional de la teoría de sistemas lineales invariantes en el tiempo .

Motivación

En términos generales, si se puede encontrar una función $G para el operador$ $L$ , entonces, si multiplicamos la ecuación 1 para la función de Green por $f (s)$ y luego integramos con respecto a $s$ , obtenemos: $\int LG(x,s)\,f(s)\,ds=\int \delta (xs)\,f(s)\,ds=f(x)\,.$ Porque el operador $L=L(x)$ es lineal y actúa solo sobre la variable $x$ (y no sobre la variable de integración $s$ ), se puede tomar el operador $L$ fuera de la integración, lo que produce $L\left(\int G(x,s)\,f(s)\,ds\right)=f(x)\,.$ Esto significa que

es una solución de la ecuación $Lu(x)=f(x)\,.$

Así, se puede obtener la función $u (x)$ a través del conocimiento de la función de Green en la ecuación 1 y el término fuente en el lado derecho en la ecuación 2 . Este proceso se basa en la linealidad del operador $L$ .

En otras palabras, la solución de la ecuación 2 , $u$ $($ $x$ $)$ , se puede determinar mediante la integración dada en la ecuación 3. Aunque se conoce $f$ $($ $x$ $)$ , esta integración no se puede realizar a menos que también se conozca $G.$ El problema ahora radica en encontrar la función de Green $G$ que satisface la ecuación 1. Por esta razón, la función de Green también se denomina a veces solución fundamental asociada al operador $L.$

No todos los operadores $L$ admite una función de Green. Una función de Green también puede considerarse como la inversa derecha de $L.$ Además de las dificultades para hallar una función de Green para un operador particular, la integral en la ecuación 3 puede ser bastante difícil de evaluar. Sin embargo, el método proporciona un resultado teóricamente exacto.

Esto puede pensarse como una expansión de $f$ según una base de funciones delta de Dirac (proyectando $f$ sobre $\delta (xs)$ y una superposición de la solución en cada proyección . Dicha ecuación integral se conoce como ecuación integral de Fredholm , cuyo estudio constituye la teoría de Fredholm .

Funciones de Green para resolver problemas de contorno no homogéneos

El uso principal de las funciones de Green en matemáticas es resolver problemas de contorno no homogéneos . En la física teórica moderna , las funciones de Green también se utilizan habitualmente como propagadores en diagramas de Feynman ; además, el término función de Green se usa a menudo para referirse a cualquier función de correlación .

Estructura

Dejar $L$ sea un operador de Sturm-Liouville , un operador diferencial lineal de la forma $L={\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)$ y dejar $\mathbf {D}$ sea el operador de condiciones de contorno con valores vectoriales $\mathbf {D} u={\begin{bmatrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(\ell )+\beta _{2}u(\ell )\end{bmatrix}}\,.$

Dejar $f(x)$ ser una función continua en $[0,\ell ]\,$ . Supongamos además que el problema ${\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}$ es regular, es decir, la única solución para $f(x)=0$ para todo $x$ es $u(x)=0$ .

Teorema

Existe una única solución. $u(x)$ que satisface ${\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}$ y es dado por $u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)\,G(x,s)\,ds\,,$ dónde $G(x,s)$ es una función de Green que satisface las siguientes condiciones:

$G(x,s)$ es continuo en $x$ y $s$ .
Para $x\neq s\,$ , $LG(x,s)=0$ .
Para $s\neq 0\,$ , $\mathbf {D} G(x,s)=\mathbf {0}$ .
Derivado "salto": $G'(s_{0+},s)-G'(s_{0-},s)=1/p(s)\,$ .
Simetría: $G(x,s)=G(s,x)\,$ .

Funciones avanzadas y retardadas de Green

La función de Green no es necesariamente única, ya que la suma de cualquier solución de la ecuación homogénea a una función de Green da como resultado otra función de Green. Por lo tanto, si la ecuación homogénea tiene soluciones no triviales, existen múltiples funciones de Green. Ciertos problemas de valores iniciales o de contorno implican encontrar una función de Green que no se anule solo para $s\leq x$ ; en este caso, la solución a veces se denomina función de Green retardada. ^{[ 6 ]} De manera similar, una función de Green que no se anula solo para $s\geq x$ se denomina función de Green avanzada. ^{[ 7 ]} En tales casos, cualquier combinación lineal de las dos funciones de Green también es una función de Green válida. Tanto las funciones de Green avanzadas como las retardadas se denominan unilaterales, mientras que una función de Green que no se anula para todos $x$ En el dominio de la definición se denomina bilateral. ^{[ 8 ]}

La terminología avanzada y retardada resulta especialmente útil cuando la variable x corresponde al tiempo. En tales casos, la solución proporcionada por el uso de la función de Green retardada depende únicamente de las fuentes pasadas y es causal , mientras que la solución proporcionada por el uso de la función de Green avanzada depende únicamente de las fuentes futuras y es acausal. En estos problemas, a menudo la solución causal es la físicamente relevante. Sin embargo, la función de Green avanzada es útil para encontrar soluciones a ciertos problemas inversos donde las fuentes deben obtenerse a partir de datos de contorno. El uso de la función de Green avanzada y retardada es particularmente común para el análisis de soluciones de la ecuación de onda electromagnética no homogénea . ^{[ 9 ]}

Encontrar las funciones de Green

Desarrollos en valores propios

Si un operador diferencial $L$ admite un conjunto de autovectores $Ψ n (x)$ (es decir, un conjunto de funciones $Ψ n$ y escalares $λ n$ tales que $L Ψ n = λ n Ψ n$ ) que es completo, entonces es posible construir una función de Green a partir de estos autovectores y autovalores .

"Completo" significa que el conjunto de funciones ${Ψ n}$ satisface la siguiente relación de completitud : $\delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}^{\dagger }(x')\Psi _{n}(x).$

Entonces se cumple lo siguiente:

$G(x,x')=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Psi _{n}^{\dagger }(x')\Psi _{n}(x)}{\lambda _{n}}},$

dónde $\dagger$ representa la conjugación compleja.

Al aplicar el operador $L$ a cada lado de esta ecuación, se obtiene la relación de completitud que se había asumido.

El estudio general de la función de Green escrita en la forma anterior, y su relación con los espacios de funciones formados por los autovectores, se conoce como teoría de Fredholm .

Existen otros métodos para encontrar las funciones de Green, incluyendo el método de imágenes , la separación de variables y las transformadas de Laplace . ^{[ 10 ]}

Representaciones en términos del Wronskiano

Dejar $L$ sea el operador diferencial lineal general de segundo orden definido en $[a,b]\in \mathbb {R}$ . Nosotros escribimos

$Lu(x)=\alpha (x){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}u(x)+\beta (x){\frac {d}{dx}}u(x)+\gamma (x)u(x)=f(x).$

Supongamos que $u_{1}$ y $u_{2}$ En conjunto forman una base de soluciones linealmente independientes para el problema homogéneo. $Lu=0.$ Dadas condiciones de contorno homogéneas para la función de Green $G(a,s)=G(b,s)=0$ , podemos construir $G(x,s)$ al exigir $u_{1}(a)=0$ y $u_{2}(b)=0.$ La función de Green que satisface estas condiciones, junto con la continuidad de $G$ y su derivado "salto", se puede escribir como

$G(x,s)={\begin{cases}{\dfrac {u_{1}(x)u_{2}(s)}{\alpha (s){\mathcal {W(s)}}}},&a\leq x<s\\{\dfrac {u_{2}(x)u_{1}(s)}{\alpha (s){\mathcal {W}}(s)}},&s<x\leq b\end{cases}}$

dónde ${\mathcal {W}}(x)=u_{1}(x)u'_{2}(x)-u_{1}'(x)u_{2}(x)$ se conoce como el determinante wronskiano de $u_{1}$ y $u_{2}$ Aunque se trata de un caso algo limitado, el Wronskiano aparece con frecuencia en otros conjuntos de problemas de valores en la frontera que también requieren una función de Green unilateral (avanzada/retardada), incluidos aquellos con condiciones sobre derivadas en la frontera ( condiciones de Neumann ) o un par de condiciones sobre una función y su derivada normal en una sola frontera ( condiciones de Cauchy ).

Combinando las funciones de Green

Si el operador diferencial $L$ puede ser factorizado como $L=L_{1}L_{2}$ entonces la función de Green de $L$ se puede construir a partir de las funciones de Green para $L_{1}$ y $L_{2}$ : $G(x,s)=\int G_{2}(x,s_{1})\,G_{1}(s_{1},s)\,ds_{1}.$ La identidad anterior se deduce inmediatamente de tomar $G(x,s)$ ser la representación del operador inverso derecho de $L$ , análogo a cómo para el operador lineal invertible $C$ , definido por $C=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ , está representado por sus elementos de matriz $C_{i,j}$ .

Se obtiene una identidad adicional para operadores diferenciales que son polinomios escalares de la derivada, $L=P_{N}(\partial _{x})$ . El teorema fundamental del álgebra , combinado con el hecho de que $\partial _{x}$ conmuta consigo mismo , garantiza que el polinomio se puede factorizar, poniendo $L$ en el formato: $L=\prod _{i=1}^{N}\left(\partial _{x}-z_{i}\right),$ dónde $z_{i}$ son los ceros de $P_{N}(z)$ . Tomando la transformada de Fourier de $LG(x,s)=\delta (x-s)$ con respecto a ambos $x$ y $s$ da: ${\widehat {G}}(k_{x},k_{s})={\frac {\delta (k_{x}-k_{s})}{\prod _{i=1}^{N}(ik_{x}-z_{i})}}.$ La fracción se puede dividir entonces en una suma utilizando una descomposición en fracciones parciales antes de aplicar la transformada de Fourier de nuevo a $x$ y $s$ espacio. Este proceso produce identidades que relacionan integrales de las funciones de Green y sumas de las mismas. Por ejemplo, si $L=\left(\partial _{x}+\gamma \right)\left(\partial _{x}+\alpha \right)^{2}$ Entonces, una forma para su función de Green es: ${\begin{aligned}G(x,s)&={\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\gamma (x-s)}-{\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\alpha (x-s)}+{\frac {1}{\gamma -\alpha }}\Theta (x-s)\left(x-s\right)e^{-\alpha (x-s)}\\[1ex]&=\int \Theta (x-s_{1})\left(x-s_{1}\right)e^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)e^{-\gamma (s_{1}-s)}\,ds_{1}.\end{aligned}}$ Si bien el ejemplo presentado es manejable analíticamente, ilustra un proceso que funciona cuando la integral no es trivial (por ejemplo, cuando $\nabla ^{2}$ es el operador en el polinomio).

Tabla de funciones de Green

La siguiente tabla ofrece una visión general de las funciones de Green de operadores diferenciales que aparecen con frecuencia, donde ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ , ${\textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ , ${\textstyle \Theta (t)}$ es la función escalón de Heaviside , ${\textstyle J_{\nu }(z)}$ es una función de Bessel , ${\textstyle I_{\nu }(z)}$ es una función de Bessel modificada de primer tipo y ${\textstyle K_{\nu }(z)}$ es una función de Bessel modificada de segundo tipo . ^{[ 11 ]} Donde aparece tiempo ( $t$ ) en la primera columna, se muestra la función de Green retardada (causal).

Funciones de Green para el laplaciano

Las funciones de Green para operadores diferenciales lineales que involucran al laplaciano se pueden utilizar fácilmente mediante la segunda de las identidades de Green .

Para derivar el teorema de Green, comience con el teorema de la divergencia (también conocido como teorema de Gauss ), $\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV=\int _{S}\mathbf {A} \cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\,.$

Dejar $\mathbf {A} =\varphi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \varphi$ y sustituir en la ley de Gauss.

Calcular $\nabla \cdot \mathbf {A}$ y aplicar la regla del producto para el operador ∇, ${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {A} &=\nabla \cdot \left(\varphi \,\nabla \psi \;-\;\psi \,\nabla \varphi \right)\\&=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;+\;\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;-\;\psi \nabla ^{2}\varphi \\&=\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;\psi \,\nabla ^{2}\varphi .\end{aligned}}$

Sustituyendo esto en el teorema de la divergencia se obtiene el teorema de Green , $\int _{V}\left(\varphi \,\nabla ^{2}\psi -\psi \,\nabla ^{2}\varphi \right)dV=\int _{S}\left(\varphi \,\nabla \psi -\psi \nabla \,\varphi \right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}.$

Supongamos que el operador diferencial lineal $L$ es el laplaciano , ∇ ² , y que existe una función de Green $G$ para el laplaciano. La propiedad definitoria de la función de Green sigue siendo válida, $LG(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ').$

Dejar $\psi =G$ En la segunda identidad de Green, véase Identidades de Green . Luego, $\int _{V}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}^{2}\,\varphi (\mathbf {x} ')\right]d^{3}\mathbf {x} '=\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,{\nabla '}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.$

Utilizando esta expresión, es posible resolver $la$ ecuación de Laplace $\nabla²φ$ $( x) = 0$ o la ecuación de Poisson $\nabla²φ (x) = -ρ (x),$ sujetas a condiciones de contorno $de$ Neumann o Dirichlet . En otras palabras, podemos calcular $φ (x)$ en cualquier punto dentro de un volumen donde (1) el valor de $φ (x)$ se especifica en la superficie límite del volumen (condiciones de contorno de Dirichlet), o (2) la derivada normal de $φ (x)$ se especifica en la superficie límite (condiciones de contorno de Neumann).

Supongamos que el problema consiste en calcular $φ (x)$ dentro de la región. Entonces la integral $\int _{V}\varphi (\mathbf {x} ')\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '$ se reduce simplemente a $φ (x)$ debido a la propiedad definitoria de la función delta de Dirac y tenemos $\varphi (\mathbf {x} )=-\int _{V}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\rho (\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '+\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\nabla '\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.$

Esta forma expresa la conocida propiedad de las funciones armónicas , que si se conoce el valor o la derivada normal en una superficie límite, entonces se conoce el valor de la función dentro del volumen en todas partes .

En electrostática , $φ (x)$ se interpreta como el potencial eléctrico , $ρ (x)$ como la densidad de carga eléctrica y la derivada normal. $\nabla \varphi (\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'$ como el componente normal del campo eléctrico.

Si el problema consiste en resolver un problema de contorno de Dirichlet, la función de Green debe elegirse de manera que $G (x, x')$ se anule cuando $x$ o $x'$ se encuentren en la superficie límite. Por lo tanto, solo queda uno de los dos términos de la integral de superficie . Si el problema consiste en resolver un problema de contorno de Neumann, podría parecer lógico elegir la función de Green de manera que su derivada normal se anule en la superficie límite. Sin embargo, la aplicación del teorema de Gauss a la ecuación diferencial que define la función de Green produce $\int _{S}\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\int _{V}\nabla '^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=\int _{V}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=1\,,$ lo que significa que la derivada normal de G ( x , x ′ ) no puede anularse en la superficie, porque debe integrarse a 1 en la superficie. ^{[ 14 ]}

La forma más simple que puede tomar la derivada normal es la de una constante, a saber, $1/ S$ , donde $S$ es el área de la superficie. El término de superficie en la solución se convierte en $\int _{S}\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\langle \varphi \rangle _{S}$ dónde $\langle \varphi \rangle _{S}$ es el valor promedio del potencial en la superficie. Este valor no se conoce generalmente, pero suele ser irrelevante, ya que el objetivo suele ser obtener el campo eléctrico dado por el gradiente del potencial, en lugar del potencial en sí.

Sin condiciones de contorno, la función de Green para el laplaciano ( función de Green para la ecuación de Laplace de tres variables ) es $G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}.$

Suponiendo que la superficie límite se extiende hasta el infinito y sustituyendo esta expresión para la función de Green, finalmente se obtiene la expresión estándar para el potencial eléctrico en términos de densidad de carga eléctrica como

$\varphi (\mathbf {x} )=\int _{V}{\dfrac {\rho (\mathbf {x} ')}{4\pi \varepsilon \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}\,d^{3}\mathbf {x} '\,.$

Ejemplo

Encuentra la función de Green para el siguiente problema, cuyo número de función de Green es X11: ${\begin{aligned}Lu&=u''+k^{2}u=f(x)\\u(0)&=0,\quad u{\left({\tfrac {\pi }{2k}}\right)}=0.\end{aligned}}$

Primer paso: La función de Green para el operador lineal en cuestión se define como la solución de

Si $x\neq s$ , entonces la función delta da cero, y la solución general es $G(x,s)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx.$

Para $x<s$ , la condición de contorno en $x=0$ implica $G(0,s)=c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0$ si $x<s$ y $s\neq {\tfrac {\pi }{2k}}$ .

Para $x>s$ , la condición de contorno en $x={\tfrac {\pi }{2k}}$ implica $G{\left({\tfrac {\pi }{2k}},s\right)}=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0$

La ecuación de $G(0,s)=0$ Se omite por razones similares.

Para resumir los resultados hasta el momento: $G(x,s)={\begin{cases}c_{2}\sin kx,&{\text{for }}x<s,\\[0.4ex]c_{3}\cos kx,&{\text{for }}s<x.\end{cases}}$

Segundo paso: La siguiente tarea es determinar $c_{2}$ y $c_{3}$ .

Garantizar la continuidad en la función de los Verdes en $x=s$ implica $c_{2}\sin ks=c_{3}\cos ks$

Se puede asegurar una discontinuidad adecuada en la primera derivada integrando la ecuación diferencial definitoria (es decir, la ecuación * ) desde $x=s-\varepsilon$ a $x=s+\varepsilon$ y tomando el límite como $\varepsilon$ tiende a cero. Nótese que solo integramos la segunda derivada, ya que el término restante será continuo por construcción. $c_{3}\cdot (-k\sin ks)-c_{2}\cdot (k\cos ks)=1$

Las dos ecuaciones de (dis)continuidad se pueden resolver para $c_{2}$ y $c_{3}$ para obtener ${\displaystyle c_{2}=-{\frac {\cos ks}{k}}\quad$

Por lo tanto, la función de Green para este problema es: $G(x,s)={\begin{cases}-{\frac {\cos ks}{k}}\sin kx,&x<s,\\-{\frac {\sin ks}{k}}\cos kx,&s<x.\end{cases}}$

Otros ejemplos

Sea $n = 1$ y sea el subconjunto todo $R.$ Sea $L$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ . Entonces, la función escalón de Heaviside $Θ(x - x 0)$ es una función de Green de $L$ en $x 0$ .
Sea $n = 2$ y sea el subconjunto el cuarto de plano ${(x, y) : x, y \geq 0}$ y $L$ el laplaciano . Además, supongamos que se impone una condición de contorno de Dirichlet en $x = 0$ y una condición de contorno de Neumann en $y = 0.$ Entonces, la función de Green X10Y20 es ${\begin{aligned}G(x,y,x_{0},y_{0})={\dfrac {1}{2\pi }}&\left[\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}\,\right].\end{aligned}}$
Dejar $a<x<b$ y los tres son elementos de los números reales. Entonces, para cualquier función $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ con un $n$ -ésima derivada que es integrable sobre el intervalo $[a,b]$ : $f(x)=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(x-a)^{m}}{m!}}\left[{\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}\right]_{x=a}+\int _{a}^{b}\left[{\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)\right]\left[{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right]_{x=s}ds\,.$ La función de Green en la ecuación anterior, $G(x,s)={\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)$ , no es único. ¿Cómo se modifica la ecuación si $g(x-s)$ se agrega a $G(x,s)$ , dónde $g(x)$ Satisface ${\textstyle {\frac {d^{n}g}{dx^{n}}}=0}$ a pesar de $x\in [a,b]$ (Por ejemplo, $g(x)=-x/2$ con $n=2$ )? Además, compare la ecuación anterior con la forma de una serie de Taylor centrada en $x=a$ .

Véase también

Potencial de Bessel
Funciones de Green discretas : definidas en gráficos y cuadrículas.
Respuesta impulsional : el análogo de la función de Green en el procesamiento de señales.
Función de transferencia
Solución fundamental
La función de Green en la teoría de muchos cuerpos
Función de correlación
Propagador
Las identidades de Green
Parametrix
ecuación integral de Volterra
Formalismo resolvente
formalismo de Keldysh
Teoría espectral
Función de Multiscale Green

Notas a pie de página

Referencias

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Obras citadas

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Enlaces externos

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Introducción a la técnica de la función de Green de no equilibrio de Keldysh por AP Jauho
Biblioteca de funciones de Green
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Videoconferencia del MIT sobre la función de Green
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