Teorema de Greenwald-Stiglitz

Dejar${\displaystyle X}$y${\displaystyle q=(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{M})}$sean, respectivamente, el vector de bienes y el vector asociado de precios al consumidor.${\displaystyle p^{H}}$es la probabilidad de accidente para el caso en que el nivel de cuidado es alto, y${\displaystyle p^{L}}$baja atención. Además, los parámetros relativos al contrato${\displaystyle \lbrace \alpha ,\beta \rbrace }$se dan, que consisten en el beneficio neto${\displaystyle \alpha }$en caso de accidente y la prima${\displaystyle \beta }$. Para un cuidado elevado, el vector de bienes es${\displaystyle X^{H}=p^{H}X^{H1}+(1-p^{H})X^{H0}}$, dónde${\displaystyle X^{H1}}$es el vector de consumo en caso de accidente y${\displaystyle X^{H0}}$No fue un accidente. Ahora, la utilidad esperada${\displaystyle V^{H}}$para una atención de alta calidad se maximiza, bajo la restricción de ingresos sociales.${\displaystyle \alpha p^{H}=\beta (1-p^{H})+(q-1)X^{H}}$y la restricción de autoselección de que la utilidad esperada para una atención baja sea menor o igual que la de una atención alta.

En cuanto al lagrangiano para el modelo,

${\displaystyle L=V^{H}+\gamma (\alpha p^{H}-\beta (1-p^{H})-(q-1)X^{H})+\lambda (V^{H}-V^{L})}$

y sus derivadas parciales se evalúan en q=1; esto corresponde a un caso en el que no hay tributación diferencial.

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}{\Big |}_{q=1}={\frac {\partial V^{H}}{\partial q_{k}}}-\gamma {\frac {\partial X^{H}}{\partial q_{k}}}+\lambda ({\frac {\partial V^{H}}{\partial q_{k}}}-{\frac {\partial V^{L}}{\partial q_{k}}})}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \alpha }}{\Big |}_{q=1}={\frac {\partial V^{H}}{\partial \alpha }}+\gamma p^{H}+\lambda ({\frac {\partial V^{H}}{\partial \alpha }}-{\frac {\partial V^{L}}{\partial \alpha }})=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \beta }}{\Big |}_{q=1}={\frac {\partial V^{H}}{\partial \beta }}-\gamma (1-p^{H})+\lambda ({\frac {\partial V^{H}}{\partial \beta }}-{\frac {\partial V^{L}}{\partial \beta }})=0}$

En lo que respecta a la utilidad marginal del ingreso${\displaystyle \mu ^{i1},\quad (\mu ^{i0})}$con nivel de cuidado i en caso de accidente (sin accidente), la identidad de Roy dice${\displaystyle {\frac {\partial V^{i}}{\partial q_{k}}}=-p^{i}\mu ^{i1}{\frac {\partial X^{i1}}{\partial q_{k}}}-(1-p^{i})\mu ^{i0}{\frac {\partial X^{i0}}{\partial q_{k}}}}$. También,${\displaystyle {\frac {\partial V^{i}}{\partial \alpha }}=p^{i}\mu ^{i1}}$y${\displaystyle {\frac {\partial V^{i}}{\partial \beta }}=-(1-p^{i})\mu ^{i0}}$.

En consecuencia, se añade${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \alpha }}{\Big |}_{q=1}{\frac {\partial X^{H1}}{\partial q_{k}}}+{\frac {\partial L}{\partial \beta }}{\Big |}_{q=1}(-{\frac {\partial X^{H0}}{\partial q_{k}}})}$a${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}{\Big |}_{q=1}}$permite que varios términos se compensen, lo que resulta en

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}{\Big |}_{q=1}=\lambda (p^{L}\mu ^{L1}(X_{k}^{L1}-X_{k}^{H1})+(1-p^{L})\mu ^{L0}(X_{k}^{L0}-X_{k}^{H0}))}$

Luego, al poner${\displaystyle {\bar {\mu }}^{L}=p^{L}\mu ^{L1}+(1-p^{L})\mu ^{L0}}$, la ecuación se convierte en

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}{\Big |}_{q=1}=\lambda {\bar {\mu }}^{L}\left({\bar {X}}_{k}^{L}-{\bar {X}}_{k}^{H}\right)}$, dónde

${\displaystyle {\bar {X}}_{k}^{i}={\frac {1}{{\bar {\mu }}^{L}}}(p^{L}\mu ^{L1}X_{k}^{i1}+(1-p^{L})\mu ^{L0}X_{k}^{i0})}$. Esta ecuación significa que la derivada parcial en el lado izquierdo de la ecuación es negativa si${\displaystyle {\bar {X}}_{k}>{\bar {X}}_{k}^{L}}$y positivo si${\displaystyle {\bar {X}}_{k}<{\bar {X}}_{k}^{L}}$Por lo tanto, resulta evidente que la tributación o el subsidio diferencial de los bienes mejora el bienestar, y este resultado se interpreta de la siguiente manera: el nivel de consumo de un bien por parte del individuo está correlacionado con su experiencia con la tributación de dicho bien. En consecuencia, si reduce su consumo al pasar de una actividad arriesgada a una segura, el impacto de gravar ese bien se mitigará si elige la opción segura. Este cambio tiene un efecto decisivo en su comportamiento, lo que lo lleva a preferir claramente la actividad segura a la arriesgada. En los casos en que su nivel de consumo aumenta al pasar de la actividad arriesgada a la segura, un subsidio sobre ese bien tendrá un mayor efecto beneficioso si realiza la actividad segura y lo llevará a preferir claramente la opción segura sobre la arriesgada.

El modelo se construye con tres partes principales: hogares, empresas y gobierno.${\displaystyle x^{h}=(x_{1}^{h},{\bar {x}}^{h})}$sea ​​un vector de consumo N-dimensional del hogar h;${\displaystyle x_{1}^{h}}$es consumo para el bien numerario y${\displaystyle {\bar {x}}^{h}}$es para los bienes no numerarios N-1. Asimismo${\displaystyle y^{f}=(y_{1}^{f},{\bar {y}}^{f})}$es una función de producción N-dimensional de la empresa f.

Servicios domésticos${\displaystyle u^{h}}$se maximizan, imponiendo restricciones financieras al gasto.${\displaystyle E^{h}}$

${\displaystyle x_{1}^{h}+q\cdot {\bar {x}}^{h}\leq I^{h}+\sum _{F}a^{hf}\cdots \pi ^{f}}$

dónde${\displaystyle q}$es un vector (N-1) dimensional que representa los precios de N-1 bienes no numerados, y${\displaystyle \pi ^{f}}$son las ganancias de la empresa f. Además,${\displaystyle I^{h}}$es una transferencia de suma global del gobierno al hogar h. Entonces, la demanda compensada de bienes${\displaystyle k}$acuerdo${\displaystyle z^{h},u^{h}}$sin cambios es${\displaystyle {\hat {x}}_{k}^{h}\equiv {\frac {\partial E^{h}}{\partial q}}{\Big |}_{z^{h},u^{h}}}$.

Bajo la condición de que la producción del bien numerario${\displaystyle y_{1}^{f}}$es igual o menor que la función de producción${\displaystyle G^{f}}$La maximización de beneficios para las empresas se realiza de la siguiente manera:

${\displaystyle \pi ^{f}=y_{1}^{f}+p\cdot {\bar {y}}^{f}}$

dónde${\displaystyle p}$es un vector (N-1) dimensional que representa los precios de los productores para los N-1 bienes no numerarios. Esto implica que${\displaystyle {\frac {\partial \pi _{*}^{f}}{\partial p_{k}}}{\Big |}_{z^{f}}=y_{k}^{f},\quad (k=1,2,\ldots ,N)}$para la función de beneficio máximo de la empresa${\displaystyle \pi _{*}^{f}}$.

Para el gobierno, su ingreso neto es la diferencia entre los ingresos y los gastos:

${\displaystyle R\equiv t\cdot {\bar {x}}-\sum _{H}I^{h}}$

dónde${\displaystyle t=q-p}$y${\displaystyle {\bar {x}}=\sum _{H}{\bar {x}}^{h}}$.

Si el equilibrio original es óptimo de Pareto, existe una solución que aumentaría el ingreso neto del gobierno sin afectar los servicios públicos de los hogares. Esto significa que la función objetivo${\displaystyle R}$se maximiza en${\displaystyle t=0}$bajo la restricción para el gobierno:${\displaystyle I^{h}+\sum a^{hf}\pi ^{f}=E^{h}}$.

Luego, considerando la derivada toral de la restricción, junto con el hecho de que${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=I_{N-1}+{\frac {dp}{dt}}}$, produce

${\displaystyle {\frac {\partial E^{h}}{\partial q}}+({\frac {\partial E^{h}}{\partial q}}-\sum _{f}a^{hf}{\frac {\partial \pi ^{f}}{\partial p}}){\frac {dp}{dt}}={\frac {dI^{h}}{dt}}+(\sum _{F}a^{hf}{\frac {\partial \pi ^{f}}{\partial z}}{\frac {dz^{f}}{dt}}-{\frac {\partial E^{h}}{\partial z}}{\frac {dz^{h}}{dt}})}$

Dado que${\displaystyle \sum _{h}a^{hf}=1}$La primera derivada de la restricción se suma sobre todos los hogares.

${\displaystyle {\bar {x}}+({\bar {x}}-{\bar {y}}){\frac {dp}{dt}}=\sum _{H}{\frac {dI^{h}}{dt}}+(\Pi -B)}$

con externalidades tecnológicas${\displaystyle \Pi =\sum _{F}{\frac {\partial \pi _{*}^{f}}{\partial z^{f}}}{\frac {dz^{f}}{dt}}}$y${\displaystyle B=\sum _{H}{\frac {\partial E^{h}}{\partial z^{h}}}{\frac {dz^{h}}{dt}}}$Además, el término entre paréntesis se vuelve cero cuando${\displaystyle {\bar {x}}={\bar {y}}}$en cualquier equilibrio de mercado, y se presenta como

${\displaystyle \sum _{H}{\frac {dI^{h}}{dt}}={\bar {x}}-(\Pi -B)}$

Entonces, la primera derivada de la función objetivo es

${\displaystyle {\frac {dR}{dt}}={\frac {d{\bar {x}}}{dt}}\cdot t+\Pi -B}$

La condición necesaria para que el sistema sea óptimo en el equilibrio inicial es:

${\displaystyle {\frac {dR}{dt}}=\Pi -B=0}$

Por lo tanto, es evidente que el equilibrio inicial se mejora en el sentido de Pareto mediante medidas fiscales que mejoran el bienestar, a menos que existan externalidades.${\displaystyle \Pi }$y${\displaystyle B}$son completamente compensatorios.