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Grossone

Un grossone (símbolo ① ) es un numeral destinado a permitir la realización de cálculos numéricos con infinitos e infinitesimales. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] En el marco del grossone, ① s...

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Un grossone (símbolo ① ) es un numeral destinado a permitir la realización de cálculos numéricos con infinitos e infinitesimales. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] En el marco del grossone, ① se introduce como un número natural al que se le asignan las propiedades que poseería un último elemento del conjunto de los números naturales , [ 4 ] como se vería, por ejemplo, con la cantidad a la que se aproxima con un límite que aumenta al infinito en grados finitos : siempre será finito, pero visto como un todo completo el valor que produce es ① . [ 5 ] ① ocupa un espacio cuasi-infinito, cuasi-finito. [ 6 ]

① se ha comparado con i , [ 7 ] que sirve como símbolo para la raíz cuadrada de menos uno: aunque ningún número real es la raíz cuadrada de un número negativo, para algunos cálculos es útil introducir un número imaginario donde se puede realizar aritmética sobre un número con dicha propiedad.

Si bien es similar a los números estrictamente infinitos, a ① se le asigna un valor diferente tanto del número aleph de Cantor ℵ 0 como del número ordinal ω , y también difiere del símbolo general de infinito ∞ al estar definido de manera más específica. [ 8 ]

El grossone se ha estudiado en lógica matemática, análisis numérico, optimización, autómatas celulares, probabilidad y filosofía de las matemáticas, aunque algunos matemáticos lo critican por estar insuficientemente definido o ser trivial. [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]

Fondo

Desarrollado originalmente por el matemático Yaroslav D. Sergeyev, Sergeyev presentó el enfoque grossone en el libro Aritmética del Infinito y en trabajos posteriores sobre computación numérica con cantidades infinitas e infinitesimales. [ 12 ] [ 2 ] Un principio central del enfoque es que "la parte es menor que el todo", aplicado no solo a conjuntos finitos y cantidades finitas sino también a conjuntos infinitos y procesos. [ 8 ] Esto contrasta con la teoría de conjuntos cantoriana estándar , en la que el conjunto de números naturales y el conjunto de números naturales pares tienen el mismo tamaño , es decir, ℵ 0 , porque pueden colocarse en biyección . En el marco grossone, por el contrario, a los números naturales se les asignan ① elementos: como ① funciones con las propiedades de un número natural, a los números naturales pares e impares se les asignan cada uno ①/2 elementos. [ 8 ] [ 11 ]

Definición y notación

Grossone se denota con el numeral encerrado en un círculo ① . Sergeyev lo introduce a través del Axioma de la Unidad Infinita, que generalmente se resume en tres partes: [ 8 ] [ 11 ]

  • Infinito : todo número natural finito n es menor que grossone, es decir, n < ① .
  • Identidad : ① satisface identidades tales como 0·① = 0 , ① − ① = 0 , ①/① = 1 , ① 0 = 1 , 1 ① = 1 y 0 ① = 0 .
  • Divisibilidad : para cada entero positivo finito n , las progresiones aritméticas N k , n = { k , k + n , k + 2 n , … } , donde 1 ≤ k ≤ n , se tratan como n partes iguales de ℕ , cada una conteniendo ①/ n elementos.

En este marco, ① se considera mayor que cualquier número natural finito y a menudo se representa como el último elemento de la secuencia de números naturales:

1, 2, 3, …, ① − 2, ① − 1, ①.

Esto difiere del tratamiento habitual de ℕ en la teoría de conjuntos estándar, donde los números naturales no tienen un elemento máximo.

Interpretaciones

Interpretación de unidades infinitas

En la presentación original de Sergeyev, grossone se introduce como una unidad de medida infinita, concretamente el número de elementos del conjunto ℕ de números naturales. Sergeyev afirma que ① no es el número cardinal de Cantor ℵ 0 ni el número ordinal ω , sino un nuevo numeral con características tanto cardinales como ordinales análogas a las de los números naturales finitos. [ 3 ]

En esta interpretación, los números naturales se pueden escribir de la forma

ℕ = { 1, 2, 3, …, ① }

donde ① se considera el elemento más grande de ℕ en el sistema de numeración grossone. [ 3 ] Sergeyev también distingue ℕ de un conjunto extendido de números naturales que contiene expresiones como ① + 1 , ① 2 , y numerales grossone superiores. [ 3 ] Por lo tanto, en el sistema de Sergeyev, ① no es el número más grande absoluto en toda la aritmética grossone, sino el número grossone de elementos de los números naturales ordinarios tal como se representan en ese sistema.

Interpretación finita genérica

Louis Kauffman propuso una interpretación diferente de la notación grossone en términos del finito genérico. En esta interpretación, ① no se trata como un número natural infinito completo, sino como un punto final simbólico de un segmento inicial finito arbitrario. [ 13 ] Kauffman escribe que

N = { 1, 2, 3, …, ① − 2, ① − 1, ① }

no es un conjunto infinito, sino una estructura simbólica que representa un conjunto finito genérico. [ 13 ]

Según la interpretación de Kauffman, ① no es en sí mismo un número natural particular, pero puede tratarse como un número natural genérico en fórmulas finitas. Para cualquier realización finita de ①, el símbolo ① representa el elemento más alto de dicha realización; en este sentido, puede considerarse mayor que cualquier entero particular nombrado de antemano. [ 13 ] Kauffman describe esto como una relajación del enfoque original de Sergeyev, ya que la interpretación genérica-finita no requiere que ① tenga todas las propiedades de divisibilidad postuladas en la teoría de Sergeyev, como ser divisible por todo entero positivo finito. [ 13 ]

Kauffman formula un principio de transferencia para esta interpretación: una afirmación P (①) que involucra a ① se toma como verdadera cuando hay un número natural N tal que P ( n ) es verdadera para todos los números naturales finitos n > N . [ 13 ] Esto permite que la notación grossone se utilice como una forma de escribir fórmulas finitas con un punto final simbólico indefinidamente grande, sin interpretar el objeto subyacente como un conjunto infinito completo cantoriano.

La interpretación genérica finita es, por lo tanto, distinta tanto de la teoría de conjuntos cantoriana ordinaria como de la interpretación original de Sergeyev de unidad infinita. Trata la notación grossone como un dispositivo formal para razonar sobre estructuras finitas arbitrarias y su comportamiento límite, en lugar de como un compromiso con conjuntos infinitos completos. [ 13 ]

Relación con otras teorías del infinito

Grossone se distingue del cardinal estándar ℵ 0 y del ordinal ω utilizados en la teoría de conjuntos. Sergeyev argumenta que estos símbolos pertenecen a lenguajes matemáticos diferentes y no deben confundirse con ①. [ 8 ]

La relación entre grossone y el análisis no estándar ha sido objeto de controversia. Gutman y Kutateladze argumentaron que la teoría informal de grossone de Sergeyev admite una formalización dentro del análisis no estándar clásico, modelando grossone mediante ν!, donde ν es un número natural no estándar infinitamente grande. [ 10 ] Sergeyev rechazó esta interpretación y argumentó que la metodología grossone es independiente del análisis no estándar. [ 14 ]

Gabriele Lolli dio un tratamiento axiomático de grossone en 2015, utilizando un lenguaje de segundo orden y lógica predicativa de segundo orden. La formalización de Lolli no era finitamente axiomatizable y se demostró que era una extensión conservadora de la aritmética de Peano. [ 9 ] Franco Montagna, Giulia Simi y Andrea Sorbi estudiaron sistemas formales relacionados inspirados en grossone, incluyendo universos acotados de números naturales finitos e infinitos. [ 15 ]

Aplicaciones

Se han propuesto métodos basados ​​en Grossone para diversas áreas de las matemáticas aplicadas y la computación. El estudio de Sergeyev de 2017 analizó las aplicaciones propuestas a conjuntos infinitos, series divergentes, probabilidad, fractales, diferenciación numérica, ecuaciones diferenciales ordinarias y optimización. [ 8 ]

En programación matemática e investigación operativa, Sonia De Cosmis y Renato De Leone propusieron usos de grossone en procedimientos anticíclicos para el método simplex y en funciones de penalización diferenciables exactas para programación no lineal. [ 16 ] Louis D'Alotto aplicó el Axioma de Unidad Infinita y grossone a la clasificación de autómatas celulares unidimensionales. [ 17 ]

En optimización, Marco Cococcioni, Massimo Pappalardo y Sergeyev propusieron un método basado en grossone para la programación lineal multiobjetivo lexicográfica. [ 18 ] Trabajos posteriores de Cococcioni y colaboradores propusieron un método de planos de corte para la programación lineal entera multiobjetivo lexicográfica utilizando la metodología grossone. [ 19 ] Cristian S. Calude y Monica Dumitrescu utilizaron un formalismo inspirado en grossone para estudiar probabilidades infinitesimales en conjuntos infinitos de enteros positivos. [ 20 ]

Infinito potencial y límites

Grossone se ha analizado en relación con la distinción tradicional entre infinito potencial e infinito real , especialmente en lo que respecta al uso de límites. Sergeyev contrasta la metodología basada en ① con el tratamiento ordinario del infinito basado en límites: en su planteamiento, el concepto de límite de d'Alembert-Cauchy sustituyó las cantidades infinitas e infinitesimales reales por cantidades potenciales, mientras que la notación grossone pretende permitir la evaluación de expresiones en puntos infinitos o infinitesimales específicos. [ 8 ]

La interpretación genérica-finita de Kauffman establece una conexión diferente con el infinito no completo. Kauffman parte de la premisa de que no existen conjuntos infinitos completos e interpreta ① como un extremo simbólico de un segmento inicial finito arbitrario, en lugar de como un conjunto infinito completo cantoriano. [ 13 ] Según esta interpretación, una fórmula que contiene ① puede entenderse como una fórmula finita con una cota superior grande no especificada. Kauffman afirma que las expresiones que involucran ① pueden leerse como fórmulas finitas genéricas y, en casos apropiados, como indicativas del comportamiento de un límite o suma infinita correspondiente. [ 13 ]

Un uso relacionado aparece en trabajos sobre series infinitas. Zhigljavsky propuso axiomas para usar grossone en sumatorias, incluyendo un principio de "transición a un límite" según el cual, si una sucesión tiende a cero cuando n tiende a infinito, el término indexado por ① es infinitesimal. Describe estos axiomas como elementos que hacen que la sustitución de ∞ por ① tenga sentido al traducir problemas de sumatorias clásicas a la notación grossone. [ 5 ]

Estas interpretaciones no deben confundirse. En la metodología original de Sergeyev, ① se trata como una unidad de medida infinita real. En la interpretación genérica-finita de Kauffman, por el contrario, ① es un recurso simbólico para razonar sobre estructuras finitas arbitrarias y su comportamiento límite sin asumir conjuntos infinitos completos. [ 13 ]

Crítica

La noción del grossone ha sido objeto tanto de estudio formal como de crítica. Lolli describió el enfoque de Sergeyev como una combinación de elementos de realismo, formalismo y finitismo, al tiempo que identificaba puntos que requerían aclaración o mayor desarrollo. [ 21 ] Paul Ernest caracterizó el grossone como una controversia contemporánea sobre el infinito en la práctica matemática, destacando tanto la amplitud de las publicaciones de Sergeyev como la fuerza de las críticas dirigidas a la teoría. [ 11 ]

Gutman y Kutateladze argumentaron que grossone podría formalizarse dentro del análisis no estándar y criticaron la presentación de Sergeyev por considerarla innecesaria o imprecisa. [ 10 ] Posteriormente, Gutman, Katz, Kudryk y Kutateladze compararon grossone con los campos de Levi-Civita y los marcos hiperreales, y argumentaron que cualquier subsistema consistente del sistema de Sergeyev quedaría subsumido por los métodos no estándar existentes. [ 22 ] Sergeyev respondió a tales afirmaciones en un artículo de 2019 defendiendo la independencia de la metodología grossone respecto del análisis no estándar. [ 14 ]

Ernest concluyó en 2023 que el valor del enfoque grossone seguía sin estar claro y que aún no se había resuelto ningún problema decisivo con él que no pudiera resolverse con los métodos existentes. [ 11 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Sergeyev, Yaroslav D. (2014). «Ejemplos del uso de infinitos e infinitesimales en cálculos numéricos». Avances en vida artificial y computación evolutiva . Comunicaciones en informática y ciencias de la información. Vol.  445. pp. 190–200 . doi : 10.1007/978-3-319-12745-3_15 . ISBN  978-3-319-12744-6.
  2. 1 2 Sergeyev, Yaroslav D. (2008). "Un nuevo enfoque aplicado para ejecutar cálculos con cantidades infinitas e infinitesimales". Informatica . 19 (4): 567– 596. doi : 10.15388/Informatica.2008.231 .
  3. 1 2 3 4 Sergeyev, Yaroslav D. (2009). "Cálculos numéricos y modelado matemático con números infinitos e infinitesimales". Journal of Applied Mathematics and Computing . 29 ( 1– 2): 177– 195. doi : 10.1007/s12190-008-0123-7 .
  4. ↑ Montagna, Franco; Simi, Giulia; Sorbi, Andrea (2015). "Tomando en serio a los Pirahã". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation . 21 ( 1– 3): 52– 69. Bibcode : 2015CNSNS..21...52M . doi : 10.1016/j.cnsns.2014.06.052 .
  5. 1 2 Zhigljavsky, Anatoly (2012). "Cálculo de sumas de series condicionalmente convergentes y divergentes utilizando el concepto de grossone". Matemáticas Aplicadas y Computación . 218 (16): 8064– 8076. doi : 10.1016/j.amc.2011.12.034 .
  6. ↑ INSTICC (25-10-2012). El ordenador infinito y los cálculos numéricos con infinitos e infinitesimales (...) " Dr. Yaroslav D. Sergeyev (IJCCI 2012) . Recuperado el 02-05-2026 – vía Vimeo.
  7. ↑ Rizza, Davide; Iannone, Paola; Thoma, Athina (julio de 2018). «Investigación de las epistemologías de estudiantes de secundaria a través de una actividad en clase sobre el infinito» . Actas de la 42.ª Conferencia del Grupo Internacional para la Psicología de la Educación Matemática . Vol. 3. pp. 131–138 . hdl : 2134/34064 .  
  8. 1 2 3 4 5 6 7 Sergeyev, Yaroslav D. (2017). "Infinitos numéricos e infinitesimales: Metodología, aplicaciones y repercusiones en dos problemas de Hilbert". EMS Surveys in Mathematical Sciences . 4 (2): 219– 320. doi : 10.4171/EMSS/4-2-3 .(Este documento actualmente tiene una expresión de preocupación ,  véase doi : 10.4171/EMSS/4-2-3 )
  9. 1 2 Lolli, Gabriele (2015). "Investigaciones metamatemáticas sobre la teoría de Grossone". Matemáticas Aplicadas y Computación . 255 : 3–14 . doi : 10.1016/j.amc.2014.03.140 .
  10. 1 2 3 Gutman, AE; Kutateladze, SS (2008). "Sobre la teoría del grossone". Siberian Mathematical Journal . 49 (5): 835– 841. arXiv : 0808.1164 . Bibcode : 2008SibMJ..49..835G . doi : 10.1007/s11202-008-0082-0 .
  11. 1 2 3 4 5 Ernest, Paul (2023). "Rechazo, desacuerdo, controversia y aceptación en la práctica matemática: episodios en la construcción social del infinito" . Filosofía global . 33 15. doi : 10.1007/s10516-023-09652-8 .
  12. ^ Sergeyev, Yaroslav D. (2013). Aritmética del infinito (2ª ed.). Cosenza: Edizioni Orizzonti Meridionali. ASIN B00G7RB1FS .  
  13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Kauffman, Louis H. (2015). "Cálculos infinitos y lo finito genérico". Matemáticas Aplicadas y Computación . 255 : 25–35 . arXiv : 1401.7545 . doi : 10.1016/j.amc.2014.06.054 .
  14. 1 2 Sergeyev, Yaroslav D. (2019). "Independencia de la metodología del infinito basada en Grossone del análisis no estándar y comentarios sobre falacias lógicas en algunos textos que afirman lo contrario". Fundamentos de la ciencia . 24 (1): 153– 170. arXiv : 1802.01408 . doi : 10.1007/s10699-018-9566-y .
  15. ↑ Montagna, Franco; Simi, Giulia; Sorbi, Andrea (2015). "Tomando en serio a los Pirahã". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation . 21 ( 1– 3): 52– 69. Bibcode : 2015CNSNS..21...52M . doi : 10.1016/j.cnsns.2014.06.052 .
  16. ↑ De Cosmis, Sonia; De Leone, Renato (2012). "El uso de grossone en programación matemática e investigación operativa". Matemáticas Aplicadas y Computación . 218 (16): 8029– 8038. arXiv : 1107.5681 . doi : 10.1016/j.amc.2011.07.042 .
  17. ↑ D'Alotto, Louis (2015). "Una clasificación de autómatas celulares unidimensionales mediante cálculos infinitos". Matemáticas Aplicadas y Computación . 255 : 15–24 . doi : 10.1016/j.amc.2014.06.087 .
  18. ↑ Cococcioni, Marco; Pappalardo, Massimo; Sergeyev, Yaroslav D. (2018). "Programación lineal multiobjetivo lexicográfica utilizando la metodología grossone: Teoría y algoritmo". Matemáticas Aplicadas y Computación . 318 : 298–311 . doi : 10.1016/j.amc.2017.05.058 . hdl : 11568/877746 .
  19. ↑ Cococcioni, Marco; Cudazzo, Alessandro; Fiaschi, Lorenzo; Pappalardo, Massimo; Sergeyev, Yaroslav D. (2024). "Un nuevo método de planos de corte para la programación lineal entera multiobjetivo lexicográfica". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation . 129 107674. Bibcode : 2024CNSNS.12907674C . doi : 10.1016/j.cnsns.2023.107674 . hdl : 11568/1217533 .
  20. ↑ Calude, Cristian S.; Dumitrescu, Mónica (2020). "Probabilidades infinitesimales basadas en Grossone". SN Informática . 1 36.doi : 10.1007/ s42979-019-0042-8 .
  21. ↑ Lolli, Gabriele (2025). "Números infinitos, computación infinita: la filosofía de grossone". Soft Computing . 29 (8): 4287– 4299. doi : 10.1007/s00500-025-10573-4 .
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