Conjetura de la curvatura p de Grothendieck-Katz

En matemáticas , la conjetura de la p- curvatura de Grothendieck-Katz es un principio local-global para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales , relacionado con la teoría de Galois diferencial y, en cierto modo, análogo al resultado del teorema de densidad de Chebotarev considerado en el caso polinomial . Se trata de una conjetura de Alexander Grothendieck de finales de la década de 1960, que, al parecer, no fue publicada por él.

El caso general sigue sin resolverse, a pesar de los avances recientes; se ha relacionado con investigaciones geométricas que involucran foliaciones algebraicas .

En una formulación lo más sencilla posible, la conjetura puede enunciarse en sus aspectos esenciales para un sistema vectorial escrito como

${\displaystyle dv/dz=A(z)v}$

para un vector v de tamaño n y una matriz A de n × n de funciones algebraicas con coeficientes numéricos algebraicos . La pregunta es dar un criterio para determinar cuándo existe un conjunto completo de soluciones de funciones algebraicas, es decir, una matriz fundamental (es decir, n soluciones vectoriales colocadas en una matriz de bloques ). Por ejemplo, una pregunta clásica era para la ecuación hipergeométrica : ¿cuándo tiene un par de soluciones algebraicas, en términos de sus parámetros? La respuesta se conoce clásicamente como la lista de Schwarz . En términos de monodromía , la pregunta es identificar los casos de un grupo de monodromía finito.

Al reformular el sistema y pasar a un sistema más amplio, el caso esencial corresponde a funciones racionales en A con coeficientes racionales. Entonces, una condición necesaria es que, para casi todos los números primos p , el sistema definido por reducción módulo p también debe tener un conjunto completo de soluciones algebraicas sobre el cuerpo finito con p elementos.

La conjetura de Grothendieck es que estas condiciones necesarias, para casi todo p , deberían ser suficientes. La conexión con la p -curvatura es que la condición módulo p enunciada es lo mismo que decir que la p -curvatura, formada por una operación de recurrencia en A , ^{[ 1 ]} es cero; por lo tanto, otra forma de decirlo es que una p -curvatura de 0 para casi todo p implica suficientes soluciones algebraicas de la ecuación original.

Nicholas Katz ha aplicado técnicas de categorías de Tannakian para demostrar que esta conjetura es esencialmente lo mismo que decir que el grupo de Galois diferencial G (o, estrictamente hablando, el álgebra de Lie g del grupo algebraico G , que en este caso es la clausura de Zariski del grupo de monodromía) puede determinarse mediante información módulo p , para una cierta clase amplia de ecuaciones diferenciales. ^{[ 2 ]}

Benson Farb y Mark Kisin demostraron una amplia clase de casos ; ^{[ 3 ]} estas ecuaciones se encuentran en una variedad localmente simétrica X sujeta a ciertas condiciones de teoría de grupos. Este trabajo se basa en los resultados previos de Katz para las ecuaciones de Picard-Fuchs (en el sentido contemporáneo de la conexión de Gauss-Manin ), tal como André los amplificó en la dirección de Tannak. También aplica una versión de superrigidez particular a los grupos aritméticos . Otros avances se han logrado mediante métodos aritméticos. ^{[ 4 ]}

Nicholas Katz relacionó algunos casos con la teoría de la deformación en 1972, en un artículo donde se publicó la conjetura. ^{[ 5 ]} Desde entonces, se han publicado reformulaciones. Se ha propuesto un análogo q para ecuaciones en diferencias . ^{[ 6 ]}

En respuesta a la charla de Kisin sobre este trabajo en el Coloquio Grothendieck de 2009, ^{[ 7 ]} Katz ofreció un breve relato, basado en su conocimiento personal, sobre la génesis de la conjetura. Grothendieck la planteó en un debate público en la primavera de 1969, pero no escribió nada al respecto. La idea surgió de intuiciones fundamentales en el campo de la cohomología cristalina , que en aquel entonces estaba desarrollando su alumno Pierre Berthelot . De alguna manera, deseando equiparar la noción de "nilpotencia" en la teoría de las conexiones con la técnica de la estructura de poder dividido , que se convirtió en estándar en la teoría cristalina, Grothendieck produjo la conjetura como un subproducto.

• Nicholas M. Katz, Sistemas locales rígidos , Capítulo 9.

• Jean-Benoît Bost, Hojas algebraicas de foliaciones algebraicas sobre campos numéricos , Publicaciones Mathématiques de L'IHÉS, Volumen 93, Número 1, septiembre de 2001
• Yves André, Sur la conjecture des p-courbures de Grothendieck–Katz et un problème de Dwork , en Aspectos geométricos de la teoría de Dwork (2004), editores Alan Adolphson, Francesco Baldassarri, Pierre Berthelot, Nicholas Katz, François Loeser
• Anand Pillay (2006), Álgebra diferencial y generalizaciones de la conjetura de Grothendieck sobre la aritmética de ecuaciones diferenciales lineales