Espacio Grothendieck

En matemáticas , un espacio de Grothendieck , llamado así por Alexander Grothendieck , es un espacio de Banach en el que cada secuencia en su espacio dual continuo que converge en la topología débil-* (también conocida como la topología de convergencia puntual ) también convergerá cuando está dotada de que es la topología débil inducida en por su bidual . Dicho de otra manera, un espacio de Grothendieck es un espacio de Banach para el cual una secuencia en su espacio dual converge débil-* si y solo si converge débilmente. ${\estilo de visualización X}$ ${\displaystyle X^{\prime}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X^{\prime \prime }\right),}$${\displaystyle X^{\prime}}$

Sea un espacio de Banach. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: ${\estilo de visualización X}$

1. ${\estilo de visualización X}$es un espacio de Grothendieck,
2. para cada espacio de Banach separable , cada operador lineal acotado de a es débilmente compacto , es decir, la imagen de un subconjunto acotado de es un subconjunto débilmente compacto de${\estilo de visualización Y,}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle Y.}$
3. para cada espacio de Banach generado débilmente de forma compacta, cada operador lineal acotado de a es débilmente compacto .${\estilo de visualización Y,}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$
4. Toda función débil*-continua en el dual es débilmente integrable según Riemann.${\displaystyle X^{\prime}}$

• Todo espacio de Banach reflexivo es un espacio de Grothendieck. A la inversa, es una consecuencia del teorema de Eberlein-Šmulian que un espacio de Grothendieck separable debe ser reflexivo, ya que la identidad de es débilmente compacta en este caso.${\estilo de visualización X}$${\displaystyle X\a X}$
• Los espacios de Grothendieck que no son reflexivos incluyen el espacio de todas las funciones continuas en un espacio compacto de Stone y el espacio para una medida positiva (un espacio compacto de Stone es un espacio compacto de Hausdorff en el que el cierre de cada conjunto abierto es abierto).${\estilo de visualización C(K)}$${\estilo de visualización K,}$${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\estilo de visualización \mu}$
• Jean Bourgain demostró que el espacio de funciones holomorfas acotadas en el disco es un espacio de Grothendieck. ^[1]${\displaystyle H^{\infty}}$

• Propiedad de Dunford-Pettis

• J. Diestel, Geometría de los espacios de Banach , Temas seleccionados, Springer, 1975.
• J. Diestel, JJ Uhl: Medidas vectoriales . Providence, RI: American Mathematical Society, 1977. ISBN  978-0-8218-1515-1 .
• Shaw, S.-Y. (2001) [1994], "Espacio de Grothendieck", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Khurana, Surjit Singh (1991). "Espacios de Grothendieck, II". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 159 (1). Elsevier BV: 202–207. doi : 10.1016/0022-247x(91)90230-w . ISSN  0022-247X.
• Nisar A. Lone, sobre la integrabilidad débil de Riemann de funciones débiles*-continuas. Revista mediterránea de matemáticas, 2017.