Modelo de reflexión terrestre de dos rayos

El modelo de reflexión terrestre de dos rayos es un modelo de propagación de radio multitrayecto que predice las pérdidas de trayectoria entre una antena transmisora ​​y una receptora cuando se encuentran en línea de visión (LOS) . Generalmente, ambas antenas tienen alturas diferentes. La señal recibida presenta dos componentes distintas: la componente LOS y la componente de reflexión, formada predominantemente por una única onda reflejada en el suelo.

• El modelo de reflexión terrestre de dos rayos es un modelo de propagación simplificado que se utiliza para estimar la pérdida de trayectoria entre un transmisor y un receptor en sistemas de comunicación inalámbrica, con el fin de estimar las trayectorias de comunicación reales utilizadas. Este modelo asume que la señal se propaga a través de dos trayectorias:

1) Trayectoria directa: Trayectoria directa en línea de visión entre las antenas transmisora ​​y receptora. 2) Trayectoria reflejada: Trayectoria por la que la señal se refleja en el suelo antes de llegar al receptor.

Fuentes: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

A partir de la figura, el componente de línea de visión recibida se puede escribir como

${\displaystyle r_{los}(t)=Re\left\{{\frac {\lambda {\sqrt {G_{los}}}}{4\pi }}\times {\frac {s(t)e^{-j2\pi l/\lambda }}{l}}\right\}}$

y el componente reflejado del suelo se puede escribir como

${\displaystyle r_{gr}(t)=Re\left\{{\frac {\lambda \Gamma (\theta ){\sqrt {G_{gr}}}}{4\pi }}\times {\frac {s(t-\tau )e^{-j2\pi (x+x')/\lambda }}{x+x'}}\right\}}$

dónde${\displaystyle s(t)}$es la señal transmitida,${\displaystyle l}$es la longitud del rayo de línea de visión directa (LOS),${\displaystyle x+x'}$es la longitud del rayo reflejado en el suelo,${\displaystyle G_{los}}$es la ganancia combinada de la antena a lo largo de la trayectoria LOS,${\displaystyle G_{gr}}$es la ganancia combinada de la antena a lo largo de la trayectoria reflejada por el suelo,${\displaystyle \lambda }$es la longitud de onda de la transmisión (${\displaystyle \lambda ={\frac {c}{f}}}$, dónde${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz y${\displaystyle f}$es la frecuencia de transmisión),${\displaystyle \Gamma (\theta )}$es el coeficiente de reflexión del suelo y${\displaystyle \tau }$es la dispersión de retardo del modelo que es igual a${\displaystyle (x+x'-l)/c}$. El coeficiente de reflexión del suelo es ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \Gamma (\theta )={\frac {\sin \theta -X}{\sin \theta +X}}}$

dónde${\displaystyle X=X_{h}}$o${\displaystyle X=X_{v}}$dependiendo de si la señal está polarizada horizontal o verticalmente, respectivamente.${\displaystyle X}$se calcula de la siguiente manera.

${\displaystyle X_{h}={\sqrt {\varepsilon _{g}-{\cos }^{2}\theta }},\ X_{v}={\frac {\sqrt {\varepsilon _{g}-{\cos }^{2}\theta }}{\varepsilon _{g}}}={\frac {X_{h}}{\varepsilon _{g}}}}$

La constante${\displaystyle \varepsilon _ {g}}$es la permitividad relativa del suelo (o en términos generales, del material donde se refleja la señal),${\displaystyle \theta }$es el ángulo entre el suelo y el rayo reflejado, como se muestra en la figura anterior.

A partir de la geometría de la figura, se obtiene:

${\displaystyle x+x'={\sqrt {(h_{t}+h_{r})^{2}+d^{2}}}}$

y

${\displaystyle l={\sqrt {(h_{t}-h_{r})^{2}+d^{2}}}}$,

Por lo tanto, la diferencia de longitud de camino entre ellos es

${\displaystyle \Delta d=x+x'-l={\sqrt {(h_{t}+h_{r})^{2}+d^{2}}}-{\sqrt {(h_{t}-h_{r})^{2}+d^{2}}}}$

y la diferencia de fase entre las ondas es

${\displaystyle \Delta \phi ={\frac {2\pi \Delta d}{\lambda }}}$

La potencia de la señal recibida es

${\displaystyle P_{r}=E\{|r_{los}(t)+r_{gr}(t)|^{2}\}}$

dónde${\displaystyle E\{\cdot \}}$denota el valor promedio (a lo largo del tiempo).

Aproximación

Si la señal es de banda estrecha en relación con la dispersión de retardo inversa${\displaystyle 1/\tau }$, de modo que${\displaystyle s(t)\approx s(t-\tau )}$, la ecuación de potencia puede simplificarse a

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{r}=E\{|s(t)|^{2}\}\left({\frac {\lambda }{4\pi }}\right)^{2}\times \left|{\frac {{\sqrt {G_{los}}}\times e^{-j2\pi l/\lambda }}{l}}+\Gamma (\theta ){\sqrt {G_{gr}}}{\frac {e^{-j2\pi (x+x')/\lambda }}{x+x'}}\right|^{2}&=P_{t}\left({\frac {\lambda }{4\pi }}\right)^{2}\times \left|{\frac {\sqrt {G_{los}}}{l}}+\Gamma (\theta ){\sqrt {G_{gr}}}{\frac {e^{-j\Delta \phi }}{x+x'}}\right|^{2}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle P_{t}=E\{|s(t)|^{2}\}}$es la potencia transmitida.

Cuando la distancia entre las antenas${\displaystyle d}$es muy grande en relación con la altura de la antena que podemos expandir${\displaystyle \Delta d=x+x'-l}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta d=x+x'-l=d{\Bigg (}{\sqrt {{\frac {(h_{t}+h_{r})^{2}}{d^{2}}}+1}}-{\sqrt {{\frac {(h_{t}-h_{r})^{2}}{d^{2}}}+1}}{\Bigg )}\end{aligned}}}$

utilizando la serie de Taylor de${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$:

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+\dots ,}$

y tomando solo los dos primeros términos,

${\displaystyle x+x'-l\approx {\frac {d}{2}}\times \left({\frac {(h_{t}+h_{r})^{2}}{d^{2}}}-{\frac {(h_{t}-h_{r})^{2}}{d^{2}}}\right)={\frac {2h_{t}h_{r}}{d}}}$

La diferencia de fase se puede aproximar entonces como

${\displaystyle \Delta \phi \approx {\frac {4\pi h_{t}h_{r}}{\lambda d}}}$

Cuando${\displaystyle d}$es grande,${\displaystyle d\gg (h_{t}+h_{r})}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}d&\approx l\approx x+x',\ \Gamma (\theta )\approx -1,\ G_{los}\approx G_{gr}=G\end{aligned}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle P_{r}\approx P_{t}\left({\frac {\lambda {\sqrt {G}}}{4\pi d}}\right)^{2}\times |1-e^{-j\Delta \phi }|^{2}}$

En expansión${\displaystyle e^{-j\Delta \phi }}$utilizando la serie de Taylor

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots }$

y conservando solo los dos primeros términos

${\displaystyle e^{-j\Delta \phi }\approx 1+({-j\Delta \phi })+\cdots =1-j\Delta \phi }$

resulta que

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{r}&\approx P_{t}\left({\frac {\lambda {\sqrt {G}}}{4\pi d}}\right)^{2}\times |1-(1-j\Delta \phi )|^{2}\\&=P_{t}\left({\frac {\lambda {\sqrt {G}}}{4\pi d}}\right)^{2}\times \Delta \phi ^{2}\\&=P_{t}\left({\frac {\lambda {\sqrt {G}}}{4\pi d}}\right)^{2}\times \left({\frac {4\pi h_{t}h_{r}}{\lambda d}}\right)^{2}\\&=P_{t}{\frac {Gh_{t}^{2}h_{r}^{2}}{d^{4}}}\end{aligned}}}$

de modo que

${\displaystyle P_{r}\approx P_{t}{\frac {Gh_{t}^{2}h_{r}^{2}}{d^{4}}}}$

y la pérdida de trayectoria es

${\displaystyle PL={\frac {P_{t}}{P_{r}}}={\frac {d^{4}}{Gh_{t}^{2}h_{r}^{2}}}}$

lo cual es preciso en la región de campo lejano, es decir cuando${\displaystyle \Delta \phi \ll 1}$(los ángulos se miden aquí en radianes, no en grados) o, equivalentemente,

${\displaystyle d\gg {\frac {4\pi h_{t}h_{r}}{\lambda }}}$

y donde la ganancia combinada de la antena es el producto de las ganancias de la antena transmisora ​​y receptora,${\displaystyle G=G_{t}G_{r}}$Esta fórmula fue obtenida por primera vez por BA Vvedenskij. ^{[ 3 ]}

Nótese que la potencia disminuye con la cuarta potencia inversa de la distancia en el campo lejano, lo cual se explica por la combinación destructiva de las trayectorias directa y reflejada, que son aproximadamente de la misma magnitud y están desfasadas 180 grados.${\displaystyle G_{t}P_{t}}$Se denomina "potencia radiada isotrópica efectiva" (PIRE), que es la potencia de transmisión necesaria para producir la misma potencia recibida si la antena transmisora ​​fuera isotrópica.

En unidades logarítmicas  :${\displaystyle P_{r_{\text{dBm}}}=P_{t_{\text{dBm}}}+10\log _{10}(Gh_{t}^{2}h_{r}^{2})-40\log _{10}(d)}$

Pérdida de trayectoria  :${\displaystyle PL\;=P_{t_{\text{dBm}}}-P_{r_{\text{dBm}}}\;=40\log _{10}(d)-10\log _{10}(Gh_{t}^{2}h_{r}^{2})}$

Cuando la distancia${\displaystyle d}$Cuando la distancia entre antenas es menor que la altura de la antena transmisora, se suman dos ondas de forma constructiva para producir mayor potencia. A medida que aumenta la distancia, estas ondas se suman de forma constructiva y destructiva, generando regiones de desvanecimiento ascendente y descendente. A medida que la distancia aumenta más allá de la distancia crítica${\displaystyle dc}$o primera zona de Fresnel , la potencia disminuye proporcionalmente a la inversa de la cuarta potencia de${\displaystyle d}$. Se puede obtener una aproximación a la distancia crítica estableciendo Δφ igual a π como la distancia crítica a un máximo local.

Las aproximaciones anteriores son válidas siempre que${\displaystyle d\gg (h_{t}+h_{r})}$, lo cual puede no ser el caso en muchos escenarios, por ejemplo, cuando las alturas de las antenas no son mucho menores en comparación con la distancia, o cuando el suelo no se puede modelar como un plano ideal. En este caso, no se puede utilizar${\displaystyle \Gamma \approx -1}$y se requiere un análisis más refinado, véase por ejemplo ^{[ 4 ] [ 5 ]}

La gran extensión de altura de antena mencionada anteriormente se puede utilizar para modelar un canal de propagación tierra-aire, como en el caso de un nodo de comunicación aéreo, por ejemplo, un UAV, un dron o una plataforma de gran altitud. Cuando la altitud del nodo aéreo es media o alta, la relación${\displaystyle d\gg (h_{t}+h_{r})}$ya no se sostiene, el ángulo de holgura no es pequeño y, en consecuencia, ${\displaystyle \Gamma \approx -1}$ Tampoco se cumple. Esto tiene un profundo impacto en la pérdida de trayectoria de propagación y la profundidad de desvanecimiento típica, así como en el margen de desvanecimiento requerido para una comunicación confiable (baja probabilidad de interrupción). ^{[ 4 ] [ 5 ]}

La expresión estándar del modelo de pérdida de trayectoria de distancia logarítmica en [dB] es

${\displaystyle PL\;=P_{T_{dBm}}-P_{R_{dBm}}\;=\;PL_{0}\;+\;10\nu \;\log _{10}{\frac {d}{d_{0}}}\;+\;X_{g},}$

dónde ${\displaystyle X_{g}}$ es el desvanecimiento a gran escala (log-normal), ${\displaystyle d_{0}}$es una distancia de referencia en la que la pérdida de trayectoria es ${\displaystyle PL_{0}}$,${\displaystyle \nu }$es el exponente de pérdida de trayectoria; típicamente ${\displaystyle \nu =2...4}$. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Este modelo es particularmente adecuado para mediciones, mediante las cuales${\displaystyle PL_{0}}$y${\displaystyle \nu }$ se determinan experimentalmente;${\displaystyle d_{0}}$Se selecciona por su facilidad de medición y para tener una línea de visión clara. Este modelo también es uno de los principales candidatos para sistemas 5G y 6G ^{[ 6 ] [ 7 ]} y también se utiliza para comunicaciones en interiores, véase, por ejemplo, ^{[ 8 ]} y las referencias allí citadas.

La pérdida de trayectoria [dB] del modelo de 2 rayos es formalmente un caso especial con ${\displaystyle \nu =4}$:

${\displaystyle PL\;=P_{t_{dBm}}-P_{r_{dBm}}\;=40\log _{10}(d)-10\log _{10}(Gh_{t}^{2}h_{r}^{2})}$

dónde ${\displaystyle d_{0}=1}$,${\displaystyle X_{g}=0}$, y

${\displaystyle PL_{0}=-10\log _{10}(Gh_{t}^{2}h_{r}^{2})}$,

lo cual es válido para el campo lejano,${\displaystyle d>d_{c}=4\pi h_{r}h_{t}/\lambda }$= la distancia crítica.

El modelo de reflexión en el suelo de dos rayos puede considerarse como un caso de modelo de pendiente múltiple con un punto de ruptura en la distancia crítica con una pendiente de 20  dB/década antes de la distancia crítica y una pendiente de 40  dB/década después de la distancia crítica. Utilizando el modelo de espacio libre y de dos rayos anterior, la pérdida de trayectoria de propagación se puede expresar como

${\displaystyle L=\max\{G,L_{min},L_{FS},L_{2-ray}\}}$

dónde${\displaystyle L_{FS}=(4\pi d/\lambda )^{2}}$ y${\displaystyle L_{2-ray}=d^{4}/(h_{t}h_{r})^{2}}$son las pérdidas de trayectoria en el espacio libre y de 2 rayos;${\displaystyle L_{min}}$es una pérdida de trayectoria mínima (a la distancia más pequeña), generalmente en la práctica;${\displaystyle L_{min}\approx 20}$dB aproximadamente. Tenga en cuenta que${\displaystyle L\geq G}$ y también${\displaystyle L\geq 1}$ deducen de la ley de conservación de la energía (ya que la potencia de Rx no puede exceder la potencia de Tx) de modo que ambos${\displaystyle L_{FS}=(4\pi d/\lambda )^{2}}$ y${\displaystyle L_{2-ray}=d^{4}/(h_{t}h_{r})^{2}}$fallar cuando${\displaystyle d}$es suficientemente pequeño. Esto debe tenerse en cuenta al usar estas aproximaciones a distancias pequeñas (ignorar esta limitación a veces produce resultados absurdos).

• pérdida de trayectoria
• Modelo de propagación de radio
• Pérdida de trayectoria en el espacio libre
• ecuación de transmisión de Friis
• UIT-R P.525
• Vincular presupuesto
• Trazado de rayos (física)
• Reflexión (física)
• Reflexión especular
• Modelo de seis rayos
• Modelo de diez rayos

• S. Salous, Medición de la propagación de radio y modelado de canales, Wiley, 2013.
• JS Seybold, Introducción a la propagación de radiofrecuencia, Wiley, 2005.
• K. Siwiak, Propagación de ondas de radio y antenas para comunicaciones personales, Artech House, 1998.
• MP Doluhanov, Propagación de ondas de radio, Moscú: Sviaz, 1972.
• VV Nikolskij, TI Nikolskaja, Electrodinámica y propagación de ondas de radio, Moscú: Nauka, 1989.
• 3GPP TR 38.901, Estudio sobre el modelo de canal para frecuencias de 0,5 a 100  GHz (Versión 16), Sophia Antipolis, Francia, 2019
• Recomendación ITU-R P.1238-8: Datos de propagación y métodos de predicción para la planificación de sistemas de radiocomunicación en interiores y redes de área local de radio en el rango de frecuencias de 300  MHz a 100  GHz.
• S. Loyka, ELG4179: Fundamentos de la comunicación inalámbrica, Apuntes de clase (Clases 2-4), Universidad de Ottawa, Canadá, 2021