Retraso de grupo y retraso de fase

El análisis de Fourier revela cómo las señales en el tiempo pueden expresarse alternativamente como la suma de componentes de frecuencia sinusoidales , cada una basada en la función trigonométrica.${\displaystyle \sin(x)}$con una amplitud y fase fijas, sin principio ni fin.

Los sistemas lineales invariantes en el tiempo procesan cada componente sinusoidal de forma independiente; la propiedad de linealidad significa que satisfacen el principio de superposición .

Un sistema o dispositivo lineal invariante en el tiempo tiene una propiedad de respuesta de fase y una propiedad de retardo de fase, donde una puede calcularse exactamente a partir de la otra. El retardo de fase mide directamente el retardo de tiempo del dispositivo o sistema de los componentes de frecuencia sinusoidales individuales . Si la función de retardo de fase en cualquier frecuencia dada —dentro de un rango de frecuencia de interés— tiene la misma constante de proporcionalidad entre la fase en una frecuencia seleccionada y la frecuencia seleccionada misma, el sistema/dispositivo tendrá la propiedad ideal de retardo de fase plano, también conocida como fase lineal . ^{[ 1 ]} Dado que el retardo de fase es una función de la frecuencia que da retardo de tiempo, una desviación de la planitud de su gráfica de función puede revelar diferencias de retardo de tiempo entre los diversos componentes de frecuencia sinusoidal de la señal , en cuyo caso esas diferencias contribuirán a la distorsión de la señal, que se manifiesta como una forma de onda de la señal de salida diferente a la de la señal de entrada.

En general, la propiedad de retardo de fase no proporciona información útil si la entrada del dispositivo es una señal modulada . Para ello, debe utilizarse el retardo de grupo.

El retardo de grupo es una medida conveniente de la linealidad de la fase con respecto a la frecuencia en un sistema de modulación. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Para una señal de modulación ( señal de banda de paso ), la información que transporta la señal se encuentra exclusivamente en la envolvente de la onda . Por lo tanto, el retardo de grupo opera solo con los componentes de frecuencia derivados de la envolvente.

Sistema de modulación básico

El retardo de grupo de un dispositivo se puede calcular con exactitud a partir de su respuesta de fase, pero no al revés . El caso de uso más simple para el retardo de grupo se ilustra en la Figura 1, que muestra un sistema de modulación conceptual , el cual es en sí mismo un sistema LTI con una salida de banda base que idealmente es una copia exacta de la señal de entrada de banda base. Este sistema en su conjunto se denomina aquí sistema/dispositivo LTI externo, que contiene un sistema/dispositivo LTI interno (bloque rojo). Como suele ocurrir en un sistema de radio, el sistema LTI interno rojo de la Figura 1 puede representar dos sistemas LTI en cascada, por ejemplo, un amplificador que controla una antena transmisora ​​en el extremo emisor y otro que controla una antena y un amplificador en el extremo receptor.

Supongamos que dicho sistema es impulsado por un paquete de ondas formado por una sinusoide multiplicada por una envolvente de amplitud.${\displaystyle \displaystyle A_{\text{env}}(t)>0}$, por lo tanto la entrada${\displaystyle \displaystyle x(t)}$puede expresarse de la siguiente forma:

${\displaystyle x(t)=A_{\text{env}}(t)\cos(\omega t+\theta )\,.}$

Supongamos también que el sobre${\displaystyle \displaystyle A_{\text{env}}(t)}$está cambiando lentamente en relación con la frecuencia sinusoidal${\displaystyle \displaystyle \omega}$Esta condición puede expresarse matemáticamente como:

${\displaystyle \left|{\frac {d}{dt}}\log {\big (}A_{\text{env}}(t){\big )}\right|\ll \omega \ .}$

Aplicando la ecuación de convolución anterior se revelaría que la salida de dicho sistema LTI se aproxima muy bien como:

${\displaystyle y(t)={\big |}H(i\omega ){\big |}\ A_{\text{env}}(t-\tau _{g})\cos {\big (}\omega (t-\tau _{\phi })+\theta {\big )}\;.}$

Aquí${\displaystyle \displaystyle \tau _ {g}}$es el retraso del grupo y${\displaystyle \displaystyle \tau _ {\phi}}$es el retardo de fase, y están dados por las expresiones siguientes (y potencialmente son funciones de la frecuencia angular).${\displaystyle \displaystyle \omega}$). La fase de la sinusoide, según lo indicado por las posiciones de los cruces por cero, se retrasa en el tiempo por una cantidad igual al retardo de fase,${\displaystyle \displaystyle \tau _ {\phi}}$. La envolvente de la sinusoide se retrasa en el tiempo debido al retardo de grupo,${\displaystyle \displaystyle \tau _ {g}}$.

El retraso del grupo ,${\displaystyle \displaystyle \tau _ {g}}$y retardo de fase ,${\displaystyle \displaystyle \tau _ {\phi}}$, son (potencialmente) dependientes de la frecuencia ^{[ 5 ]} y pueden calcularse a partir del desplazamiento de fase desenrollado${\displaystyle \displaystyle \phi (\omega)}$El retardo de fase en cada frecuencia es igual al negativo del desplazamiento de fase en esa frecuencia dividido por el valor de esa frecuencia:

${\displaystyle \tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}\,.}$

El retardo de grupo en cada frecuencia es igual al negativo de la pendiente (es decir, la derivada con respecto a la frecuencia) de la fase en esa frecuencia: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\,.}$

En un sistema de fase lineal (con ganancia no inversora), ambos${\displaystyle \displaystyle \tau _ {g}}$y${\displaystyle \displaystyle \tau _ {\phi}}$son constantes (es decir, independientes de${\displaystyle \displaystyle \omega}$) y son iguales, y su valor común es igual al retardo total del sistema; y el desplazamiento de fase desenrollado del sistema (es decir,${\displaystyle \displaystyle -\omega \tau _{\phi }}$) es negativo, con una magnitud que aumenta linealmente con la frecuencia${\displaystyle \displaystyle \omega}$.

De forma más general, se puede demostrar que para un sistema LTI con función de transferencia${\displaystyle \displaystyle H(s)}$impulsada por una sinusoide compleja de amplitud unitaria,

${\displaystyle x(t)=e^{i\omega t}\ }$

El resultado es

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=H(i\omega )\ e^{i\omega t}\ \\&=\left({\big |}H(i\omega ){\big |}e^{i\phi (\omega )}\right)\ e^{i\omega t}\ \\&={\big |}H(i\omega ){\big |}\ e^{i\left(\omega t+\phi (\omega )\right)}\ \\\end{aligned}}\ }$

donde el cambio de fase${\displaystyle \displaystyle \phi }$es

${\displaystyle \phi (\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \arg \left\{H(i\omega )\right\}\;.}$

La fase de un filtro paso bajo de primer orden formado por un circuito RC con frecuencia de corte${\displaystyle \omega _{o}{=}{\frac {1}{RC}}}$es: ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle \phi (\omega )=-\arctan \left({\frac {\omega }{\omega _{o}}}\right)\,.}$$

De manera similar, la fase para un filtro paso alto RC de primer orden es:

$${\displaystyle \phi (\omega )={\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {\omega }{\omega _{o}}}\right)\,.}$$

Tomando la derivada negativa con respecto a${\displaystyle \omega }$ya sea este filtro de paso bajo o de paso alto produce el mismo retardo de grupo de: ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{g}(\omega )&={\frac {\omega _{o}}{\omega ^{2}+\omega _{o}^{2}}}\,.\\\end{aligned}}}$$

Para frecuencias significativamente inferiores a la frecuencia de corte, la respuesta de fase es aproximadamente lineal (la función arcotangente para entradas pequeñas se puede aproximar como una línea), por lo que el retardo de grupo se simplifica a un valor constante de:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{g}(\omega \ll \omega _{o})&\approx {\frac {1}{\omega _{o}}}=RC\,.\\\end{aligned}}}$$

De manera similar, justo en la frecuencia de corte,${\displaystyle \tau _{g}(\omega {=}\omega _{o})={\frac {1}{2\omega _{o}}}={\frac {RC}{2}}\,.}$

A medida que las frecuencias aumentan, el retardo de grupo disminuye con el inverso del cuadrado de la frecuencia y se aproxima a cero a medida que la frecuencia tiende al infinito.

• Figura 2: Circuito de filtro de retardo de grupo negativo
• 
  Circuito con retardo de grupo negativo de${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$= −RC = −1 ms para frecuencias mucho menores que 1 ⁄ RC = 1 kHz .
• 
  Simulación de CA de LTspice${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$desde 1 Hz (${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$≅ −1 ms ) a 10 kHz (${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$≅ 0 ms ).
• 
  Simulación transitoria de una onda de entrada (verde) cuya salida (roja) está adelantada en 1 ms , pero con inestabilidad cuando la entrada se activa y desactiva.

Los filtros tendrán retardo de grupo negativo en los rangos de frecuencia donde su respuesta de fase tenga pendiente positiva. Si una señal está limitada en banda dentro de una frecuencia máxima B, entonces es predecible en un grado pequeño (dentro de períodos de tiempo menores que 1 / B ). Un filtro cuyo retardo de grupo es negativo en todo el rango de frecuencia de esa señal puede usar la predictibilidad de la señal para proporcionar la ilusión de un avance temporal no causal. Sin embargo, si la señal contiene un evento impredecible (como un cambio abrupto que hace que el espectro de la señal exceda su límite de banda), entonces la ilusión se rompe. ^{[ 9 ]} Los circuitos con retardo de grupo negativo (por ejemplo, Figura 2) son posibles, aunque la causalidad no se viola. ^{[ 10 ]}

Los filtros de retardo de grupo negativo pueden fabricarse tanto en el dominio digital como en el analógico. Entre sus aplicaciones se incluye la compensación del retardo inherente de los filtros de paso bajo, para crear filtros de fase cero , que pueden utilizarse para detectar rápidamente cambios en las tendencias de los datos de los sensores o de los precios de las acciones. ^{[ 11 ]}

Muchos componentes de una cadena de reproducción de audio, especialmente los altavoces y las redes de cruce de altavoces multicanal , introducen retardo de grupo en la señal de audio . ^{[ 2 ] [ 13 ]} Por lo tanto, es importante conocer el umbral de audibilidad del retardo de grupo con respecto a la frecuencia, ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]} sobre todo si se espera que la cadena de audio proporcione una reproducción de alta fidelidad . Blauert y Laws proporcionaron la mejor tabla de umbrales de audibilidad. ^{[ 17 ]}

Flanagan, Moore y Stone concluyen que a 1, 2 y 4 kHz , un retardo de grupo de aproximadamente 1,6 ms es audible con auriculares en condiciones sin reverberación. ^{[ 18 ]} Otros resultados experimentales sugieren que cuando el retardo de grupo en el rango de frecuencia de 300 Hz a 1 kHz es inferior a 1,0 ms, es inaudible. ^{[ 15 ]}     

Es posible utilizar técnicas de procesamiento de señales digitales para corregir la distorsión de retardo de grupo que surge debido al uso de redes de cruce en sistemas de altavoces multicanal. ^{[ 19 ]} Esto implica un modelado computacional considerable de sistemas de altavoces para aplicar con éxito la ecualización de retardo, ^{[ 20 ]} utilizando el algoritmo de diseño de filtro FIR equirriple de Parks-McClellan . ^{[ 1 ] [ 4 ] [ 21 ] [ 22 ]}

Como criterio para calcular los anchos de banda de los amplificadores para una linealidad de fase especificada, Leach ^{[ 23 ]} introdujo el concepto de distorsión de retardo de tiempo diferencial , definida como:

${\displaystyle \Delta \tau =\tau _{\phi }-\tau _{g}}$,

que es la diferencia entre el retardo de fase y el retardo de grupo, donde el retardo de fase se refiere al retardo de tiempo de una sola sinusoide de frecuencia relativamente alta, y el retardo de grupo se refiere a las frecuencias mucho más bajas derivadas de la envolvente de la modulación de amplitud aplicada a esa sinusoide, lo que resulta en lo que es perceptualmente una nota musical de banda estrecha . Sin embargo, exhibir una distorsión de retardo de tiempo diferencial nula o insignificante es una propiedad necesaria pero no suficiente de un sistema ideal que debe tener un retardo de fase plano. Esto se debe a que cuando dos notas moduladas en amplitud de banda estrecha, una mucho más arriba en el rango de audio humano que la otra, de modo que sus espectros de frecuencia no se superponen, los resultados que se presentan por separado son perceptualmente ideales, porque no es probable que un humano pueda detectar que el tiempo de inicio de una nota tomó más tiempo desde la entrada del dispositivo hasta la salida del dispositivo que el de la otra nota. Sin embargo, en el mismo sistema, si ambas notas se presentan simultáneamente en la entrada del dispositivo, entonces, en la salida del dispositivo, una nota tardará más en comenzar que la otra, y puede alterar la percepción de la nota combinada resultante si los tiempos de inicio en la salida están demasiado separados en el tiempo.

Una razón polinómica de la forma${\displaystyle P2(S)=P_{num}(S)/P_{den}(S)}$, como la que se encuentra típicamente en la definición de diseños de filtros , puede tener el retardo de grupo determinado aprovechando la relación de fase,${\displaystyle \phi (P1/P2)=\phi (P1)-\phi (P2)}$.

${\displaystyle {\text{Group Delay}}=gd(P2)=gd(P2_{num})-gd(P2_{den})sec}$

A continuación se muestra la función de transferencia de un filtro Legendre de cuatro polos, utilizada en el ejemplo del filtro Legendre .

${\displaystyle T_{4}(j\omega )={\frac {1}{2.4494897(j\omega )^{4}+3.8282201(j\omega )^{3}+4.6244874(j\omega )^{2}+3.0412127(j\omega )+1}}}$

El retardo del grupo del numerador por inspección es cero, por lo que solo es necesario determinar el retardo del grupo del denominador.

${\displaystyle {\begin{aligned}&Pe_{den}=2.4494897\omega ^{4}-4.6244874\omega ^{2}+1\\&Po_{den}=-3.8282201\omega ^{3}+3.0412127\omega \\&De_{den}=4(2.4494897)\omega ^{3}-2(4.6244874)\omega \\&Do_{den}=3(-3.8282201)\omega ^{2}+3.0412127\end{aligned}}}$

Evaluando en${\displaystyle \omega }$= 1 rad/seg:

${\displaystyle {\begin{aligned}&Pe_{den}=-1.1749977\\&Po_{den}=-0.7870074\\&De_{den}=-0.548984\\&Do_{den}=-8.4434476\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Group Delay}}=gd(T_{4}(j\omega ))=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\\&={\bigg [}0--{\frac {((-0.7870074*-0.548984)+(-1.1749977*-8.4434476))}{((-1.1749977)^{2}+(-0.7870074)^{2})}}{\bigg ]}\\&=5.1765430{\text{ sec}}\\&{\text{at }}\omega =1{\text{ rad/sec}}\end{aligned}}}$

El procedimiento y los resultados del cálculo del retardo de grupo pueden confirmarse como correctos comparándolos con los resultados derivados de la derivada digital del ángulo de fase,${\displaystyle \phi (\omega )}$, utilizando un pequeño delta${\displaystyle \Delta \omega }$de +/-1.e-04 rad/seg.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Group Delay}}=gd(T_{4}(j\omega ))=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\\&=-(\phi (1+1e-04)-\phi (1.-1e04))/2e-04\\&=5.1765432{\text{ sec}}\\&{\text{at }}\omega =1{\text{ rad/sec}}\end{aligned}}}$

Dado que el retardo de grupo calculado mediante la derivada digital utilizando un pequeño delta se encuentra dentro de las 7 cifras significativas de precisión en comparación con el cálculo analítico preciso, se confirma que el procedimiento y los resultados del cálculo del retardo de grupo son correctos.

Una ventaja de medir o calcular${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$medir o calcular en exceso el retraso del grupo,${\displaystyle gd(\omega )}$, es${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$siempre converge a 0 a medida que la fase se vuelve lineal, mientras que${\displaystyle gd(\omega )}$converge en una cantidad finita que puede no conocerse de antemano. Dado esto, una función de optimización de fase lineal puede ejecutarse más fácilmente con una${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega ){=}0}$objetivo que con un${\displaystyle gd(\omega ){=}constant}$objetivo cuando el valor para${\displaystyle constant}$No es necesariamente algo que ya se sepa.