functor de grupo

En matemáticas, un functor de grupo es un functor con valores de grupo en la categoría de anillos conmutativos. Si bien se suele considerar una generalización de un esquema de grupo , la noción en sí misma no implica teoría de esquemas . Debido a esta característica, algunos autores, en particular Waterhouse y Milne (quienes siguieron a Waterhouse), ^{[ 1 ]} desarrollan la teoría de esquemas de grupo basándose en la noción de functor de grupo en lugar de la teoría de esquemas.

Un grupo formal se define generalmente como un tipo particular de functor de grupo.

Un esquema puede considerarse como un functor contravariante de la categoría de esquemas S a la categoría de conjuntos que satisfacen el axioma de pegado ; la perspectiva conocida como functor de puntos . Bajo esta perspectiva, un esquema de grupo es un functor contravariante de a la categoría de grupos que es un haz de Zariski (es decir, que satisface el axioma de pegado para la topología de Zariski). ${\displaystyle {\mathsf {Sch}}_{S}}$${\displaystyle {\mathsf {Sch}}_{S}}$

Por ejemplo, si Γ es un grupo finito, entonces consideremos el functor que envía Spec( R ) al conjunto de funciones localmente constantes en él. Por ejemplo, el esquema de grupo

${\displaystyle SL_{2}=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}}\right)}$

puede describirse como el functor

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\textbf {CRing}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}},-\right)}$

Si tomamos un anillo, por ejemplo, , entonces ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}SL_{2}(\mathbb {C} )&=\operatorname {Hom} _{\textbf {CRing}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}},\mathbb {C} \right)\\&\cong \left\{{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {C} ):ad-bc=1\right\}\end{aligned}}}$

Resulta útil considerar un funtor de grupo que respete la topología (si la hay) de la categoría subyacente; es decir, uno que sea un haz, y un funtor de grupo que sea un haz se denomina haz de grupo. Esta noción aparece particularmente en la discusión sobre un torsor (donde la elección de la topología es un aspecto importante).

Por ejemplo, un grupo p -divisible es un ejemplo de un haz de grupos fppf (un haz de grupos con respecto a la topología fppf). ^{[ 2 ]}

• functor de grupo de automorfismos

• Waterhouse, William (1979), Introducción a los esquemas de grupos afines , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 66, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-6217-6 , ISBN 978-0-387-90421-4, MR  0547117