homomorfismo de grupo

En matemáticas , dados dos grupos , ( G , ∗) y ( H , ·), un homomorfismo de grupos de ( G , ∗) a ( H , ·) es una función h  : G → H tal que para todo u y v en G se cumple que

${\displaystyle h(u*v)=h(u)\cdot h(v)}$

donde la operación de grupo en el lado izquierdo de la ecuación es la de G y en el lado derecho la de H.

De esta propiedad se puede deducir que h asigna el elemento identidad e _G de G al elemento identidad e _H de H ,

${\displaystyle h(e_{G})=e_{H}}$

y también mapea inversas a inversas en el sentido de que

${\displaystyle h\left(u^{-1}\right)=h(u)^{-1}.\,}$

Por lo tanto, se puede decir que h "es compatible con la estructura del grupo".

En áreas de las matemáticas donde se consideran grupos dotados de estructura adicional, un homomorfismo a veces significa una aplicación que respeta no solo la estructura del grupo (como se mencionó anteriormente) sino también la estructura adicional. Por ejemplo, a menudo se requiere que un homomorfismo de grupos topológicos sea continuo .

Dejar${\displaystyle e_{H}}$sea ​​el elemento identidad del grupo ( H , ·) y${\displaystyle u\in G}$, entonces

${\displaystyle h(u)\cdot e_{H}=h(u)=h(u*e_{G})=h(u)\cdot h(e_{G})}$

Ahora, multiplicando por el inverso de${\displaystyle h(u)}$(o aplicando la regla de cancelación) obtenemos

${\displaystyle e_{H}=h(e_{G})}$

Similarmente,

${\displaystyle e_{H}=h(e_{G})=h(u*u^{-1})=h(u)\cdot h(u^{-1})}$

Por lo tanto, debido a la unicidad de la inversa:${\displaystyle h(u^{-1})=h(u)^{-1}}$.

Monomorfismo

Un homomorfismo de grupo que es inyectivo (o biyectivo); es decir, que preserva la distinción.

Epimorfismo

Un homomorfismo de grupo que es sobreyectivo (o, sobre); es decir, que alcanza todos los puntos del codominio.

Isomorfismo

Un homomorfismo de grupos biyectivo , es decir, inyectivo y sobreyectivo. Su inverso también es un homomorfismo de grupos. En este caso, los grupos G y H se denominan isomorfos ; difieren únicamente en la notación de sus elementos (excepto el elemento identidad) y son idénticos a efectos prácticos. Es decir, renombramos todos los elementos excepto el elemento identidad.

Endomorfismo

Un homomorfismo de grupo, h : G → G ; el dominio y el codominio son iguales. También llamado endomorfismo de G .

Automorfismo

Un endomorfismo de grupo biyectivo, y por lo tanto un isomorfismo. El conjunto de todos los automorfismos de un grupo G , con la composición funcional como operación, forma un grupo, el grupo de automorfismos de G. Se denota por Aut( G ). Como ejemplo, el grupo de automorfismos de ( Z , +) contiene solo dos elementos: la transformación identidad y la multiplicación por −1; es isomorfo a ( Z / 2Z , +).

Definimos el núcleo de h como el conjunto de elementos en G que se mapean a la identidad en H.

${\displaystyle \operatorname {ker} (h):=\left\{u\in G\colon h(u)=e_{H}\right\}.}$

y la imagen de h a ser

${\displaystyle \operatorname {im} (h):=h(G)\equiv \left\{h(u)\colon u\in G\right\}.}$

El núcleo y la imagen de un homomorfismo pueden interpretarse como medidas de qué tan cerca está de ser un isomorfismo. El primer teorema de isomorfismo establece que la imagen de un homomorfismo de grupo, h ( G ), es isomorfa al grupo cociente G /ker h .

El núcleo de h es un subgrupo normal de G. Supongamos que${\displaystyle u\in \operatorname {ker} (h)}$y mostrar${\displaystyle g^{-1}\circ u\circ g\in \operatorname {ker} (h)}$para arbitrario${\displaystyle u,g}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)&=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot e_{H}\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H},\end{aligned}}}$

La imagen de h es un subgrupo de H.

El homomorfismo h es un monomorfismo de grupo ; es decir, h es inyectivo (uno a uno) si y solo si ker( h ) = { e _G }. La inyectividad implica directamente que existe un único elemento en el núcleo y, a la inversa, un único elemento en el núcleo implica inyectividad:

${\displaystyle {\begin{aligned}&&h(g_{1})&=h(g_{2})\\\Leftrightarrow &&h(g_{1})\cdot h(g_{2})^{-1}&=e_{H}\\\Leftrightarrow &&h\left(g_{1}\circ g_{2}^{-1}\right)&=e_{H},\ \operatorname {ker} (h)=\{e_{G}\}\\\Rightarrow &&g_{1}\circ g_{2}^{-1}&=e_{G}\\\Leftrightarrow &&g_{1}&=g_{2}\end{aligned}}}$

• Consideremos el grupo cíclico Z ₃ = ( Z /3 Z , +) = ({0, 1, 2}, +) y el grupo de los enteros ( Z , +). La aplicación h  : Z → Z /3 Z con h ( u ) = u mod 3 es un homomorfismo de grupos. Es sobreyectiva y su núcleo está formado por todos los enteros divisibles por 3.

• La aplicación exponencial produce un homomorfismo de grupos del grupo de números reales R con suma al grupo de números reales distintos de cero R * con multiplicación. El núcleo es {0} y la imagen está formada por los números reales positivos.
• La aplicación exponencial también produce un homomorfismo de grupos del grupo de números complejos C con suma al grupo de números complejos no nulos C * con multiplicación. Esta aplicación es sobreyectiva y tiene el núcleo {2π ki  : k ∈ Z }, como se puede ver en la fórmula de Euler . Los cuerpos como R y C que tienen homomorfismos de su grupo aditivo a su grupo multiplicativo se denominan, por lo tanto, cuerpos exponenciales .
• La función${\displaystyle \Phi$ :(\mathbb {Z} ,+)\rightarrow (\mathbb {R} ,+)} , definido por${\displaystyle \Phi (x)={\sqrt[{}]{2}}x}$es un homomorfismo.
• Consideremos los dos grupos${\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},*)}$y${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$, representados respectivamente por${\displaystyle G}$y${\displaystyle H}$, dónde${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$son los números reales positivos. Entonces, la función${\displaystyle f:G\rightarrow H}$Definido por la función logaritmo es un homomorfismo.

Si h  : G → H y k  : H → K son homomorfismos de grupos, entonces también lo es k ∘ h  : G → K. Esto demuestra que la clase de todos los grupos, junto con los homomorfismos de grupos como morfismos, forma una categoría (específicamente la categoría de grupos ).

Si G y H son grupos abelianos (es decir, conmutativos), entonces el conjunto Hom( G , H ) de todos los homomorfismos de grupos de G a H es en sí mismo un grupo abeliano: la suma h + k de dos homomorfismos se define por

( h + k )( u ) = h ( u ) + k ( u ) para todo u en G .   

La conmutatividad de H es necesaria para demostrar que h + k es nuevamente un homomorfismo de grupos.

La suma de homomorfismos es compatible con la composición de homomorfismos en el siguiente sentido: si f está en Hom( K , G ) , h , k son elementos de Hom( G , H ) , y g está en Hom( H , L ) , entonces

( h + k ) ∘ f = ( h ∘ f ) + ( k ∘ f ) y g ∘ ( h + k ) = ( g ∘ h ) + ( g ∘ k ) .    

Dado que la composición es asociativa , esto demuestra que el conjunto End( G ) de todos los endomorfismos de un grupo abeliano forma un anillo , el anillo de endomorfismos de G. Por ejemplo, el anillo de endomorfismos del grupo abeliano que consiste en la suma directa de m copias de Z / n Z es isomorfo al anillo de matrices m × m con entradas en Z / n Z. La compatibilidad anterior también muestra que la categoría de todos los grupos abelianos con homomorfismos de grupo forma una categoría preaditiva ; la existencia de sumas directas y núcleos bien comportados hace de esta categoría el ejemplo prototípico de una categoría abeliana .

• Homomorfismo
• Teorema fundamental sobre homomorfismos
• Cuasimorfismo
• homomorfismo de anillos

• Dummit, DS; Foote, R. (2004). Álgebra abstracta (3.ª  ed.). Wiley. pp. 71–72 . ISBN  978-0-471-43334-7.
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  211 (tercera edición revisada  ), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0984.00001  

• Rowland, Todd y Weisstein, Eric W. "Homomorfismo de grupos" . MathWorld .