Group action

If ${\displaystyle G}$ is a group with identity element${\displaystyle e}$, and ${\displaystyle X}$es un conjunto, luego una acción de grupo ( izquierda )${\displaystyle \alpha }$de${\displaystyle G}$en${\displaystyle X}$es una función

${\displaystyle \alpha :G\times X\to X}$

que satisface los dos axiomas siguientes : ^{[ 1 ]}

a pesar de${\displaystyle g}$y${\displaystyle h}$en${\displaystyle G}$y todo${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$.

El grupo${\displaystyle G}$Se dice entonces que actúa sobre${\displaystyle X}$(desde la izquierda). Un conjunto${\displaystyle X}$junto con una acción de${\displaystyle G}$se llama ( izquierda )${\displaystyle G}$- colocar .

Puede ser conveniente desde el punto de vista de la notación currificar la acción.${\displaystyle \alpha }$, de modo que, en cambio, se tiene una colección de transformaciones${\displaystyle \alpha _{g}:X\rightarrow X}$, con una transformación${\displaystyle \alpha _{g}}$para cada elemento del grupo${\displaystyle g\in G}$Las relaciones de identidad y compatibilidad se leen a continuación. $${\displaystyle \alpha _{e}(x)=x}$$ y $${\displaystyle \alpha _{g}(\alpha _{h}(x))=(\alpha _{g}\circ \alpha _{h})(x)=\alpha _{gh}(x)}$$ El segundo axioma establece que la composición de funciones es compatible con la multiplicación de grupos; forman un diagrama conmutativo . Este axioma puede abreviarse aún más y escribirse como${\displaystyle \alpha _{g}\circ \alpha _{h}=\alpha _{gh}}$.

Con lo anterior en mente, es muy común evitar escribir${\displaystyle \alpha }$completamente, y reemplazarlo con un punto, o con nada en absoluto. Por lo tanto,${\displaystyle \alpha (g,x)}$se puede abreviar a${\displaystyle g\cdot x}$o${\displaystyle gx}$, especialmente cuando la acción es clara por el contexto. Los axiomas son entonces $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&e\cdot x=x\\&g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x\end{aligned}}\right.}$$

De estos dos axiomas se deduce que para cualquier fijo${\displaystyle g}$en${\displaystyle G}$, la función de${\displaystyle X}$a sí mismo que mapea${\displaystyle x}$a${\displaystyle g\cdot x}$es una biyección , con biyección inversa el mapa correspondiente para${\displaystyle g^{-1}}$Por lo tanto, se puede definir de manera equivalente una acción grupal de${\displaystyle G}$en${\displaystyle X}$como un homomorfismo de grupo de${\displaystyle G}$en el grupo simétrico${\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}$de todas las biyecciones desde${\displaystyle X}$a sí mismo. ^{[ 2 ]}

Asimismo, una acción de grupo correcta de${\displaystyle G}$en${\displaystyle X}$es una función

${\displaystyle \alpha :X\times G\to X,}$

que satisface los axiomas análogos: ^{[ 3 ]}

(con${\displaystyle \alpha (x,g)}$a menudo abreviado a${\displaystyle xg}$o${\displaystyle x\cdot g}$cuando la acción que se está considerando queda clara por el contexto)

a pesar de${\displaystyle g}$y${\displaystyle h}$en${\displaystyle G}$y todo${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$.

La diferencia entre las acciones izquierda y derecha radica en el orden en que un producto${\displaystyle gh}$actúa en${\displaystyle x}$. Para una acción izquierda,${\displaystyle h}$primero actúa, seguido de${\displaystyle g}$segundo. Por una acción correcta,${\displaystyle g}$primero actúa, seguido de${\displaystyle h}$segundo. Debido a la fórmula${\displaystyle (gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}}$, una acción izquierda se puede construir a partir de una acción derecha mediante la composición con la operación inversa del grupo. Además, una acción derecha de un grupo${\displaystyle G}$en${\displaystyle X}$puede considerarse como una acción izquierda de su grupo opuesto${\displaystyle G^{\text{op}}}$en${\displaystyle X}$. Por lo tanto, para establecer propiedades generales de una sola acción de grupo, basta con considerar solo las acciones de la izquierda.

The action of ${\displaystyle G}$ on ${\displaystyle X}$ is called transitive if for any two points ${\displaystyle x,y\in X}$ there exists a ${\displaystyle g\in G}$ so that ${\displaystyle g\cdot x=y}$.

The action is simply transitive (or sharply transitive, or regular) if it is both transitive and free. This means that given ${\displaystyle x,y\in X}$ there is exactly one ${\displaystyle g\in G}$ such that ${\displaystyle g\cdot x=y}$. If ${\displaystyle X}$ is acted upon simply transitively by a group ${\displaystyle G}$ then it is called a principal homogeneous space for ${\displaystyle G}$ or a ${\displaystyle G}$-torsor.

For an integer ${\displaystyle n\geq 1}$, the action is ${\displaystyle n}$-transitive if ${\displaystyle X}$ has at least ${\displaystyle n}$ elements, and for any pair of ${\displaystyle n}$-tuples ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in X^{n}}$ with pairwise distinct entries (that is ${\displaystyle x_{i}\neq x_{j}}$, ${\displaystyle y_{i}\neq y_{j}}$ when ${\displaystyle i\neq j}$) there exists a ${\displaystyle g\in G}$ such that ${\displaystyle g\cdot x_{i}=y_{i}}$ for ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$. In other words, the action on the subset of ${\displaystyle X^{n}}$ of tuples without repeated entries is transitive. For ${\displaystyle n=2,3}$ this is often called double, respectively triple, transitivity. The class of 2-transitive groups (that is, subgroups of a finite symmetric group whose action is 2-transitive) and more generally multiply transitive groups is well-studied in finite group theory.

An action is sharply ${\displaystyle n}$-transitive when the action on tuples without repeated entries in ${\displaystyle X^{n}}$ is sharply transitive.

Para un número entero${\displaystyle n\geq 1}$, la acción de${\displaystyle G}$en${\displaystyle X}$se llama${\displaystyle n}$-homogéneo si${\displaystyle X}$tiene al menos${\displaystyle n}$elementos, y para cualquier par de${\displaystyle n}$-subconjuntos${\displaystyle S,T\subseteq X}$existe un${\displaystyle g\in G}$de tal manera que${\displaystyle gS=T}$. En otras palabras, la acción en el conjunto de${\displaystyle n}$-subconjuntos de${\displaystyle X}$es transitivo. ^{[ 4 ]}

Una acción esbruscamente${\displaystyle n}$-homogéneo cuando la acción sobre${\displaystyle n}$-subconjuntos de${\displaystyle X}$es marcadamente transitivo.

Un${\displaystyle n}$-la acción transitiva también lo es${\displaystyle n}$-homogéneo. Como los 1-subconjuntos, las 1-tuplas y los puntos son equivalentes, los conceptos de 1-homogeneidad, 1-transitividad y transitividad coinciden.

Un grupo que actúa${\displaystyle n}$-homogéneamente en un conjunto${\displaystyle X}$de${\displaystyle m}$Los elementos también actúan ${\displaystyle (m-n)}$-homogéneamente, como${\displaystyle gS=T}$implica${\displaystyle g\left(X\setminus S\right)=X\setminus T}$.

La acción de${\displaystyle G}$en${\displaystyle X}$se llama primitivo si no hay partición de${\displaystyle X}$preservado por todos los elementos de${\displaystyle G}$aparte de las particiones triviales (la partición en una sola pieza y su dual , la partición en singletons ).

Supongamos que${\displaystyle X}$es un espacio topológico y la acción de${\displaystyle G}$es por homeomorfismos .

La acción es errante si cada${\displaystyle x\in X}$tiene un vecindario${\displaystyle U}$de tal manera que solo hay un número finito de ellos.${\displaystyle g\in G}$con${\displaystyle (g\cdot U)\cap U\neq \emptyset }$. ^{[ 5 ]}

En términos más generales, un punto${\displaystyle x\in X}$se denomina punto de discontinuidad para la acción de${\displaystyle G}$si hay un subconjunto abierto${\displaystyle U\ni x}$de tal manera que solo hay un número finito de ellos.${\displaystyle g\in G}$con${\displaystyle (g\cdot U)\cap U\neq \emptyset }$El dominio de discontinuidad de la acción es el conjunto de todos los puntos de discontinuidad. Equivalentemente, es el mayor${\displaystyle G}$-subconjunto abierto estable${\displaystyle \Omega \subset X}$de tal manera que la acción de${\displaystyle G}$en${\displaystyle \Omega }$está vagando. ^{[ 6 ]} En un contexto dinámico, esto también se denomina conjunto errante .

La acción es propiamente discontinua si para cada subconjunto compacto${\displaystyle K\subset X}$solo hay un número finito de ellos${\displaystyle g\in G}$de tal manera que${\displaystyle (g\cdot K)\cap K\neq \emptyset }$. Esto es estrictamente más fuerte que vagar; por ejemplo, la acción de${\displaystyle \mathbb {Z} }$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\backslash \{(0,0)\}}$dado por${\displaystyle n\cdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)}$es errante y libre, pero no propiamente discontinuo. ^{[ 7 ]}

La acción mediante transformaciones de cubierta del grupo fundamental de un espacio localmente simplemente conexo en una cubierta universal es errante y libre. Tales acciones pueden caracterizarse por la siguiente propiedad: cada${\displaystyle x\in X}$tiene un vecindario${\displaystyle U}$de tal manera que${\displaystyle (g\cdot U)\cap U=\emptyset }$por cada${\displaystyle g\in G\backslash \{e_{G}\}}$. ^{[ 8 ]} Las acciones con esta propiedad a veces se denominan libremente discontinuas , y el subconjunto más grande en el que la acción es libremente discontinua se denomina entonces conjunto libre regular . ^{[ 9 ]}

Una acción de un grupo${\displaystyle G}$en un espacio localmente compacto${\displaystyle X}$Se denomina cocompacto si existe un subconjunto compacto.${\displaystyle A\subset X}$de tal manera que${\displaystyle X=G\cdot A}$Para una acción propiamente discontinua, la cocompacticidad es equivalente a la compacidad del espacio cociente.${\displaystyle X/G}$.

Ahora supongamos que${\displaystyle G}$es un grupo topológico y${\displaystyle X}$un espacio topológico sobre el cual actúa mediante homeomorfismos. Se dice que la acción es continua si el mapa${\displaystyle G\times X\rightarrow X}$es continuo para la topología del producto .

Se dice que la acción esadecuado si el mapa${\displaystyle G\times X\rightarrow X\times X}$definido por${\displaystyle (g,x)\mapsto (x,g\cdot x)}$es apropiado . ^{[ 10 ]} Esto significa que dados los conjuntos compactos${\displaystyle K,K'}$el conjunto de${\displaystyle g\in G}$de tal manera que${\displaystyle (g\cdot K)\cap K'\neq \varnothing }$es compacto. En particular, esto es equivalente a una discontinuidad propia si${\displaystyle G}$es un grupo discreto .

Se dice que es localmente gratuito si existe un vecindario.${\displaystyle U}$de${\displaystyle e_{G}}$de tal manera que${\displaystyle g\cdot x\neq x}$a pesar de${\displaystyle x\in X}$y${\displaystyle g\in U\setminus \{e_{G}\}}$.

Se dice que la acción es fuertemente continua si el mapa orbital${\displaystyle g\mapsto g\cdot x}$es continuo para cada${\displaystyle x\in X}$Contrariamente a lo que sugiere su nombre, esta es una propiedad más débil que la continuidad de la acción.

Si${\displaystyle G}$es un grupo mentiroso y${\displaystyle X}$una variedad diferenciable , entonces el subespacio de puntos suaves para la acción es el conjunto de puntos${\displaystyle x\in X}$de tal manera que el mapa${\displaystyle g\mapsto g\cdot x}$es suave . Existe una teoría bien desarrollada de las acciones de grupos de Lie , es decir, acciones que son suaves en todo el espacio.

Si g actúa mediante transformaciones lineales sobre un módulo de un anillo conmutativo , se dice que la acción es irreducible si no existen submódulos propios no nulos g -invariantes. Se dice que es semisimple si se descompone como una suma directa de acciones irreducibles.

Si${\displaystyle Y}$es un subconjunto de${\displaystyle X}$, entonces${\displaystyle G\cdot Y}$denota el conjunto${\displaystyle \{g\cdot y\mid g\in G,y\in Y\}}$. El subconjunto${\displaystyle Y}$Se dice que es invariante bajo${\displaystyle G}$si${\displaystyle G\cdot Y=Y}$(que es equivalente)${\displaystyle G\cdot Y\subseteq Y}$). En ese caso,${\displaystyle G}$también funciona en${\displaystyle Y}$restringiendo la acción a${\displaystyle Y}$. El subconjunto${\displaystyle Y}$se llama fijo en${\displaystyle G}$si${\displaystyle g\cdot y=y}$a pesar de${\displaystyle g}$en${\displaystyle G}$y todo${\displaystyle y}$en${\displaystyle Y}$. Cada subconjunto que está fijo bajo${\displaystyle G}$también es invariante bajo${\displaystyle G}$, pero no al revés.

Cada órbita es un subconjunto invariante de${\displaystyle X}$en el cual${\displaystyle G}$actúa transitivamente . Por el contrario, cualquier subconjunto invariante de${\displaystyle X}$es una unión de órbitas. La acción de${\displaystyle G}$en${\displaystyle X}$es transitiva si y solo si todos los elementos son equivalentes, lo que significa que solo hay una órbita.

A${\displaystyle G}$-elemento invariante de${\displaystyle X}$es${\displaystyle x\in X}$de tal manera que${\displaystyle g\cdot x=x}$a pesar de${\displaystyle g\in G}$. El conjunto de todos tales${\displaystyle x}$se denota${\displaystyle X^{G}}$y llamó el${\displaystyle G}$-invariantes de${\displaystyle X}$. Cuando${\displaystyle X}$es un${\displaystyle G}$-módulo ,${\displaystyle X^{G}}$es el grupo de cohomología cero de${\displaystyle G}$con coeficientes en${\displaystyle X}$y los grupos de cohomología superiores son los functores derivados del functor de${\displaystyle G}$-invariantes.

Dado${\displaystyle g}$en${\displaystyle G}$y${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$con${\displaystyle g\cdot x=x}$, se dice que "${\displaystyle x}$es un punto fijo de${\displaystyle g}$" o eso "${\displaystyle g}$correcciones${\displaystyle x}$". Por cada${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$, elsubgrupo estabilizador de${\displaystyle G}$con respecto a${\displaystyle x}$(también llamado grupo de isotropía o grupo pequeño ^{[ 11 ]} ) es el conjunto de todos los elementos en${\displaystyle G}$esa solución${\displaystyle x}$: $${\displaystyle G_{x}=\{g\in G:g{\cdot }x=x\}.}$$ Este es un subgrupo de${\displaystyle G}$, aunque normalmente no es uno normal. La acción de${\displaystyle G}$en${\displaystyle X}$es libre si y solo si todos los estabilizadores son triviales. El núcleo${\displaystyle N}$del homomorfismo con el grupo simétrico,${\displaystyle G\rightarrow \operatorname {Sym} (X)}$, viene dado por la intersección de los estabilizadores${\displaystyle G_{x}}$a pesar de${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$. Si${\displaystyle N}$Si es trivial, se dice que la acción es fiel (o efectiva).

Dejar${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$ser dos elementos en${\displaystyle X}$y dejar${\displaystyle g}$ser un elemento de grupo tal que${\displaystyle y=g\cdot x}$Luego, los dos grupos estabilizadores${\displaystyle G_{x}}$y${\displaystyle G_{y}}$están relacionados por${\displaystyle G_{y}=gG_{x}g^{-1}}$.

Prueba: por definición,${\displaystyle h\in G_{y}}$si y solo si${\displaystyle h\cdot (g\cdot x)=g\cdot x}$. Aplicar${\displaystyle g^{-1}}$a ambos lados de esta igualdad se produce${\displaystyle (g^{-1}hg)\cdot x=x}$; eso es,${\displaystyle g^{-1}hg\in G_{x}}$.

Una inclusión opuesta se sigue de manera similar tomando${\displaystyle h\in G_{x}}$y${\displaystyle x=g^{-1}\cdot y}$.

Lo anterior indica que los estabilizadores de elementos en la misma órbita son conjugados entre sí. Por lo tanto, a cada órbita podemos asociar una clase de conjugación de un subgrupo de${\displaystyle G}$(es decir, el conjunto de todos los conjugados del subgrupo). Sea${\displaystyle (H)}$denota la clase de conjugación de${\displaystyle H}$. Luego la órbita${\displaystyle O}$tiene tipo${\displaystyle (H)}$si el estabilizador${\displaystyle G_{x}}$de algunos/algunos${\displaystyle x}$en${\displaystyle O}$pertenece a${\displaystyle (H)}$. Un tipo de órbita máxima a menudo se denomina tipo de órbita principal .

Las órbitas y los estabilizadores están estrechamente relacionados. Para un x fijo en X , consideremos la aplicación f  : G → X dada por g ↦ g ⋅ x . Por definición, la imagen f ( G ) de esta aplicación es la órbita G ⋅ x . La condición para que dos elementos tengan la misma imagen es $${\displaystyle f(g)=f(h)\iff g{\cdot }x=h{\cdot }x\iff g^{-1}h{\cdot }x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}.}$$ En otras palabras, f ( g ) = f ( h ) si y solo si g y h están en la misma clase lateral para el subgrupo estabilizador G _x . Por lo tanto, la fibra f ⁻¹ ({ y }) de f sobre cualquier y en G ⋅ x está contenida en dicha clase lateral, y cada una de estas clases laterales también aparece como una fibra. Por consiguiente, f induce una biyección entre el conjunto G / G _x de clases laterales para el subgrupo estabilizador y la órbita G ⋅ x , que envía gG _x ↦ g ⋅ x . ^{[ 12 ]} Este resultado se conoce como el teorema órbita-estabilizador .

Si G es finito, entonces el teorema de la órbita-estabilizador, junto con el teorema de Lagrange , da $${\displaystyle |G\cdot x|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|.}$$ En otras palabras, la longitud de la órbita de x veces el orden de su estabilizador es el orden del grupo . En particular, esto implica que la longitud de la órbita es un divisor del orden del grupo.

Ejemplo

Sea G un grupo de orden primo p que actúa sobre un conjunto X con k elementos. Dado que cada órbita tiene 1 o p elementos, existen al menos k mod p órbitas de longitud 1 que son elementos G -invariantes. Más específicamente, k y el número de elementos G -invariantes son congruentes módulo p . ^{[ 13 ]}

Este resultado es especialmente útil, ya que puede emplearse para contar argumentos (normalmente en situaciones donde X también es finito).

Ejemplo

Podemos usar el teorema de la órbita-estabilizador para contar los automorfismos de un grafo . Consideremos el grafo cúbico como se muestra en la imagen, y sea G su grupo de automorfismos . Entonces G actúa sobre el conjunto de vértices {1, 2, ..., 8} , y esta acción es transitiva como se puede ver componiendo rotaciones alrededor del centro del cubo. Por lo tanto, por el teorema de la órbita-estabilizador, | G | = | G ⋅ 1 | | G ₁ | = 8 | G ₁ | . Aplicando ahora el teorema al estabilizador G ₁ , podemos obtener | G ₁ | = | ( G ₁ ) ⋅ 2 | | ( G ₁ ) ₂ | . Cualquier elemento de G que fija 1 debe enviar 2 a 2, 4 o 5. Como ejemplo de tales automorfismos, consideremos la rotación alrededor del eje diagonal que pasa por 1 y 7 por 2 π /3 , que permuta 2, 4, 5 y 3, 6, 8, y fija 1 y 7. Por lo tanto, | ( G ₁ ) ⋅ 2 | = 3 . Aplicando el teorema una tercera vez se obtiene | ( G ₁ ) ₂ | = | (( G ₁ ) ₂ ) ⋅ 3 | | (( G ₁ ) ₂ ) ₃ | . Cualquier elemento de G que fija 1 y 2 debe enviar 3 a 3 o 6. Reflejar el cubo en el plano que pasa por 1, 2, 7 y 8 es un automorfismo que envía 3 a 6, por lo tanto | (( G ₁ ) ₂ ) ⋅ 3 | = 2. También se observa que (( G ₁ ) ₂ ) ₃ consiste únicamente en el automorfismo identidad, ya que cualquier elemento de G que fije 1, 2 y 3 también debe fijar todos los demás vértices, puesto que están determinados por su adyacencia a 1, 2 y 3. Combinando los cálculos anteriores, ahora podemos obtener | G | = 8 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 48.

Un resultado estrechamente relacionado con el teorema de la órbita-estabilizador es el lema de Burnside : $${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,}$$ donde X ^g es el conjunto de puntos fijos por g . Este resultado es principalmente útil cuando G y X son finitos, cuando se puede interpretar de la siguiente manera: el número de órbitas es igual al número promedio de puntos fijos por elemento del grupo.

Al fijar un grupo G , el conjunto de diferencias formales de conjuntos G finitos forma un anillo llamado anillo de Burnside de G , donde la suma corresponde a la unión disjunta y la multiplicación al producto cartesiano .