Representación del grupo

En el campo matemático de la teoría de la representación , las representaciones de grupos describen grupos abstractos en términos de transformaciones lineales biyectivas de un espacio vectorial sobre sí mismo (es decir, automorfismos de espacios vectoriales ); en particular, se pueden utilizar para representar elementos de grupo como matrices invertibles de modo que la operación de grupo se pueda representar mediante la multiplicación de matrices .

En química, una representación de grupo puede relacionar los elementos matemáticos de un grupo con rotaciones y reflexiones simétricas de las moléculas.

Las representaciones de grupos permiten reducir muchos problemas de teoría de grupos a problemas de álgebra lineal . En física , describen cómo el grupo de simetría de un sistema físico afecta las soluciones de las ecuaciones que describen dicho sistema.

El término «representación de un grupo» también se utiliza en un sentido más general para referirse a cualquier «descripción» de un grupo como un conjunto de transformaciones de algún objeto matemático. Formalmente, una «representación» es un homomorfismo del grupo al grupo de automorfismos de un objeto. Si el objeto es un espacio vectorial, tenemos una representación lineal . Algunos autores utilizan el término «realización» para la noción general y reservan el término «representación» para el caso particular de las representaciones lineales. La mayor parte de este artículo describe la teoría de la representación lineal; consulte la última sección para ver generalizaciones.

La teoría de la representación de grupos se divide en subteorías según el tipo de grupo que se represente. Las distintas teorías difieren bastante en los detalles, aunque algunas definiciones y conceptos básicos son similares. Las divisiones más importantes son:

• Grupos finitos — Las representaciones de grupos son una herramienta muy importante en el estudio de los grupos finitos. También surgen en las aplicaciones de la teoría de grupos finitos a la cristalografía y la geometría. Si el cuerpo de escalares del espacio vectorial tiene característica p , y si p divide el orden del grupo, entonces se habla de teoría de representaciones modulares ; este caso particular tiene propiedades muy diferentes. Véase Teoría de representaciones de grupos finitos .
• Grupos compactos o grupos localmente compactos : muchos de los resultados de la teoría de representación de grupos finitos se demuestran promediando sobre el grupo. Estas demostraciones pueden extenderse a grupos infinitos reemplazando el promedio por una integral, siempre que se pueda definir una noción aceptable de integral. Esto se puede hacer para grupos localmente compactos, utilizando la medida de Haar . La teoría resultante es una parte central del análisis armónico . La dualidad de Pontryagin describe la teoría para grupos conmutativos, como una transformada de Fourier generalizada . Véase también: teorema de Peter-Weyl .
• Grupos de Lie : Muchos grupos de Lie importantes son compactos, por lo que los resultados de la teoría de representaciones compactas se aplican a ellos. También se utilizan otras técnicas específicas para grupos de Lie. La mayoría de los grupos importantes en física y química son grupos de Lie, y su teoría de representaciones es crucial para la aplicación de la teoría de grupos en esos campos. Véase Representaciones de grupos de Lie y Representaciones de álgebras de Lie .
• Grupos algebraicos lineales (o, más generalmente, esquemas de grupos afines ) : son análogos a los grupos de Lie, pero sobre cuerpos más generales que R o C. Si bien los grupos algebraicos lineales tienen una clasificación muy similar a la de los grupos de Lie y dan lugar a las mismas familias de álgebras de Lie, sus representaciones son bastante diferentes (y mucho menos comprendidas). Las técnicas analíticas utilizadas para estudiar los grupos de Lie deben reemplazarse por técnicas de la geometría algebraica , donde la topología de Zariski, relativamente débilgenera numerosas complicaciones técnicas.
• Grupos topológicos no compactos : La clase de grupos no compactos es demasiado amplia para construir una teoría de representación general, pero se han estudiado casos especiales específicos, a veces utilizando técnicas ad hoc. Los grupos de Lie semisimples poseen una teoría profunda, basada en el caso compacto. Los grupos de Lie resolubles complementarios no pueden clasificarse de la misma manera. La teoría general para grupos de Lie trata productos semidirectos de ambos tipos, mediante resultados generales denominados teoría de Mackey , que es una generalización de los métodos de clasificación de Wigner .

La teoría de la representación también depende en gran medida del tipo de espacio vectorial sobre el que actúa el grupo. Se distingue entre representaciones de dimensión finita y de dimensión infinita. En el caso de dimensión infinita, son importantes otras estructuras (por ejemplo, si el espacio es un espacio de Hilbert , un espacio de Banach , etc.).

También se debe considerar el tipo de campo sobre el cual se define el espacio vectorial. El caso más importante es el campo de los números complejos . Otros casos importantes son el campo de los números reales , los campos finitos y los campos de los números p-ádicos . En general, los campos algebraicamente cerrados son más fáciles de manejar que los no algebraicamente cerrados. La característica del campo también es significativa; muchos teoremas para grupos finitos dependen de que la característica del campo no divida el orden del grupo .

Una representación de un grupo G en un espacio vectorial V sobre un cuerpo K es un homomorfismo de grupos de G a GL( V ), el grupo lineal general en V. Es decir, una representación es una aplicación.

${\displaystyle \rho \colon G\to \mathrm {GL} \left(V\right)}$

de tal manera que

${\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2}),\qquad {\text{para todo }}g_{1},g_{2}\in G.}$

Aquí, V se denomina espacio de representación y su dimensión se denomina dimensión o grado de la representación . Es práctica común referirse a V mismo como la representación cuando el homomorfismo resulta evidente por el contexto.

En el caso en que V es de dimensión finita n, es común elegir una base para V e identificar GL( V ) con GL( n , K ) , el grupo de${\displaystyle n\times n}$matrices invertibles en el campo K .

• Si G es un grupo topológico y V es un espacio vectorial topológico , una representación continua de G en V es una representación ρ tal que la aplicación Φ  : G × V → V definida por Φ( g , v ) = ρ ( g )( v ) es continua .
• El núcleo de una representación ρ de un grupo G se define como el subgrupo normal de G cuya imagen bajo ρ es la transformación identidad:

${\displaystyle \ker \rho =\left\{g\in G\mid \rho (g)=\mathrm {id} \right\}.}$

Una representación fiel es aquella en la que el homomorfismo G → GL( V ) es inyectivo ; en otras palabras, aquella cuyo núcleo es el subgrupo trivial { e } que consiste únicamente en el elemento identidad del grupo.

• Dados dos espacios vectoriales K V y W , una aplicación de dos representaciones ρ  : G → GL( V ) y π  : G → GL( W ) (también llamada aplicación equivariante ) es una aplicación lineal α  : V → W tal que

  ${\displaystyle \alpha \circ \rho (g)=\pi (g)\circ \alpha .}$

Si α tiene una aplicación equivariante inversa, dicha aplicación se denomina isomorfismo de representaciones y se dice que las representaciones son equivalentes o isomorfas . También basta con que α sea una aplicación equivariante que sea un isomorfismo de espacios vectoriales.

Consideremos el número complejo${\displaystyle u=e^{2\pi i/3}}$que tiene la propiedad${\displaystyle u^{3}=1}$. El conjunto${\displaystyle C_{3}=\{1,u,u^{2}\}}$forma un grupo cíclico bajo la multiplicación. Este grupo tiene una representación${\displaystyle \rho }$en${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$dado por:

${\displaystyle \rho \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{bmatrix}}.}$

Esta representación es fiel porque${\displaystyle \rho }$es un mapa uno a uno .

Otra representación para${\displaystyle C_{3}}$en${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, isomorfo al anterior, es${\displaystyle \sigma }$dado por:

${\displaystyle \sigma \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u\right)={\begin{bmatrix}u&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}u^{2}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}.}$

El grupo${\displaystyle C_{3}}$También puede estar fielmente representado en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$por${\displaystyle \tau }$dado por:

${\displaystyle \tau \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u\right)={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\\\end{bmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle a={\text{Re}}(u)=-{\tfrac {1}{2}},\qquad b={\text{Im}}(u)={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.}$

Una posible representación en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$viene dado por el conjunto de matrices de permutación cíclicas${\displaystyle v}$:

${\displaystyle \upsilon \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \upsilon \left(u\right)={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}\qquad \upsilon \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}.}$

Otro ejemplo:

Dejar${\displaystyle V}$Sea el espacio de polinomios homogéneos de grado 3 sobre los números complejos en variables${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}.}$

Entonces${\displaystyle S_{3}}$actúa en${\displaystyle V}$mediante permutación de las tres variables.

Por ejemplo,${\displaystyle (12)}$envía${\displaystyle x_{1}^{3}}$a${\displaystyle x_{2}^{3}}$.

Un subespacio W de V que es invariante bajo la acción del grupo se llama subrepresentación . Si V tiene exactamente dos subrepresentaciones, a saber, el subespacio de dimensión cero y V mismo, entonces se dice que la representación es irreducible ; si tiene una subrepresentación propia de dimensión no cero, se dice que la representación es reducible . La representación de dimensión cero se considera que no es ni reducible ni irreducible, ^{[ 1 ]} así como el número 1 se considera que no es ni compuesto ni primo .

Bajo el supuesto de que la característica del cuerpo K no divide el tamaño del grupo, las representaciones de grupos finitos pueden descomponerse en una suma directa de subrepresentaciones irreducibles (véase el teorema de Maschke ). Esto se cumple en particular para cualquier representación de un grupo finito sobre los números complejos , ya que la característica de los números complejos es cero, lo que nunca divide el tamaño de un grupo.

En el ejemplo anterior, las dos primeras representaciones dadas (ρ y σ) son ambas descomponibles en dos subrepresentaciones unidimensionales (dadas por span{(1,0)} y span{(0,1)}), mientras que la tercera representación (τ) es irreducible.

• Representaciones irreducibles
• Tabla de personajes
• Teoría de los personajes
• Simetría molecular
• Lista de temas de análisis armónico
• Lista de temas de teoría de la representación
• Teoría de la representación de grupos finitos
• Representación semisimple

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol.  129. Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249 . OCLC 246650103 .  Introducción a la teoría de la representación con énfasis en los grupos de Lie .
• Yurii I. Lyubich. Introducción a la teoría de las representaciones de Banach de grupos . Traducido de la edición en ruso de 1985 (Járkov, Ucrania). Birkhäuser Verlag. 1988.