Derivado de Grünwald-Letnikov

En matemáticas , la derivada de Grünwald-Letnikov es una extensión básica de la derivada en el cálculo fraccionario que permite derivarla un número no entero de veces. Fue introducida por Anton Karl Grünwald (1838-1920) en Praga , en 1867, y por Aleksey Vasilievich Letnikov (1837-1888) en Moscú, también en 1868.

La fórmula

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

La derivada se puede aplicar recursivamente para obtener derivadas de orden superior. Por ejemplo, la derivada de segundo orden sería:

${\displaystyle {\begin{aligned}f''(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}\\&=\lim _{h_{1}\to 0}{\frac {\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{1}+h_{2})-f(x+h_{1})}{h_{2}}}-\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{2})-f(x)}{h_{2}}}}{h_{1}}}\end{aligned}}}$

Suponiendo que las h convergen sincrónicamente, esto se simplifica a:

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}}$

lo cual puede justificarse rigurosamente mediante el teorema del valor medio . En general, tenemos (véase el coeficiente binomial ):

${\displaystyle f^{(n)}(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\sum \limits _{0\leq m\leq n}(-1)^{m}{n \choose m}f(x+(nm)h)}{h^{n}}}}$

Eliminando la restricción de que n sea un entero positivo, es razonable definir:

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{q}}}\sum _{0\leq m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(qm)h).}$

Esto define la derivada de Grünwald-Letnikov.

Para simplificar la notación, establecemos:

${\displaystyle \Delta _{h}^{q}f(x)=\sum _{0\leq m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(qm)h).}$

Entonces, la derivada de Grünwald-Letnikov se puede escribir sucintamente como:

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta _{h}^{q}f(x)}{h^{q}}}.}$

• Cálculo fraccional , por Oldham, K. y Spanier, J. Tapa dura: 234 páginas. Editorial: Academic Press, 1974. ISBN 0-12-525550-0