Tensor de giro

En física , el tensor de giro es un tensor que describe los segundos momentos de posición de un conjunto de partículas.

${\displaystyle S_{mn}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}r_{m}^{(i)}r_{n}^{(i)}}$

dónde${\displaystyle r_{m}^{(i)}}$es el${\displaystyle \mathrm {m^{th}} }$Coordenada cartesiana del vector de posición${\displaystyle \mathbf {r} ^{(i)}}$del ${\displaystyle \mathrm {i^{th}} }$partícula. El origen del sistema de coordenadas se ha elegido de tal manera que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\mathbf {r} ^{(i)}=0}$

es decir, en el sistema del centro de masa${\displaystyle r_{CM}}$. Dónde

${\displaystyle r_{CM}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\mathbf {r} ^{(i)}}$

Otra definición, que es matemáticamente idéntica pero que ofrece un método de cálculo alternativo, es:

${\displaystyle S_{mn}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}(r_{m}^{(i)}-r_{m}^{(j)})(r_{n}^{(i)}-r_{n}^{(j)})}$

Por lo tanto, la componente xy del tensor de giro para partículas en coordenadas cartesianas sería:

${\displaystyle S_{xy}={\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})}$

En el límite continuo ,

${\displaystyle S_{mn}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\dfrac {\int d\mathbf {r} \ \rho (\mathbf {r} )\ r_{m}r_{n}}{\int d\mathbf {r} \ \rho (\mathbf {r} )}}}$

dónde${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$representa la densidad numérica de partículas en la posición${\displaystyle \mathbf {r} }$.

Aunque tienen unidades diferentes, el tensor de giro está relacionado con el tensor de inercia . La diferencia clave radica en que, en el tensor de inercia, las posiciones de las partículas se ponderan según su masa , mientras que el tensor de giro depende únicamente de dichas posiciones; la masa no influye en su definición.

Dado que el tensor de giro es una matriz simétrica de 3x3 , se puede encontrar un sistema de coordenadas cartesianas en el que sea diagonal.

${\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}\lambda _{x}^{2}&0&0\\0&\lambda _{y}^{2}&0\\0&0&\lambda _{z}^{2}\end{bmatrix}}}$

donde los ejes se eligen de tal manera que los elementos diagonales estén ordenados${\displaystyle \lambda _{x}^{2}\leq \lambda _{y}^{2}\leq \lambda _{z}^{2}}$Estos elementos diagonales se denominan momentos principales del tensor de giro.

Los momentos principales se pueden combinar para obtener varios parámetros que describen la distribución de partículas. El radio de giro al cuadrado es la suma de los momentos principales:

${\displaystyle R_{g}^{2}=(\lambda _{x}^{2}+\lambda _{y}^{2}+\lambda _{z}^{2})}$

La asfericidad${\displaystyle b}$se define por

${\displaystyle b\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \lambda _{z}^{2}-{\frac {1}{2}}\left(\lambda _{x}^{2}+\lambda _{y}^{2}\right)={\frac {3}{2}}\lambda _{z}^{2}-{\frac {R_{g}^{2}}{2}}}$

que siempre es no negativo y cero solo cuando los tres momentos principales son iguales, λ _x = λ _y = λ _z . Esta condición cero se cumple cuando la distribución de partículas es esféricamente simétrica (de ahí el nombre de asfericidad ) pero también siempre que la distribución de partículas sea simétrica con respecto a los tres ejes de coordenadas, por ejemplo, cuando las partículas están distribuidas uniformemente en un cubo , tetraedro u otro sólido platónico .

De manera similar, la acilindricidad${\displaystyle c}$se define por

${\displaystyle c\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \lambda _ {y}^{2}-\lambda _ {x}^{2}}$

que siempre es no negativo y cero solo cuando los dos momentos principales son iguales, λ _x = λ _y . Esta condición cero se cumple cuando la distribución de partículas es cilíndricamente simétrica (de ahí el nombre, acilindricidad ), pero también siempre que la distribución de partículas sea simétrica con respecto a los dos ejes de coordenadas, por ejemplo, cuando las partículas están distribuidas uniformemente en un prisma regular .

Finalmente, la anisotropía de forma relativa${\displaystyle \kappa ^{2}}$se define

${\displaystyle \kappa ^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {b^{2}+(3/4)c^{2}}{R_{g}^{4}}}={\frac {3}{2}}{\frac {\lambda _{x}^{4}+\lambda _{y}^{4}+\lambda _{z}^{4}}{(\lambda _{x}^{2}+\lambda _{y}^{2}+\lambda _{z}^{2})^{2}}}-{\frac {1}{2}}}$

que está acotado entre cero y uno.${\displaystyle \kappa ^{2}}$= 0 solo ocurre si todos los puntos son esféricamente simétricos y${\displaystyle \kappa ^{2}}$= 1 solo ocurre si todos los puntos se encuentran en una línea.

• Mattice, WL; Suter, UW (1994). Teoría conformacional de moléculas grandes . Wiley Interscience. ISBN 0-471-84338-5.
• Theodorou, DN; Suter, UW (1985). "Forma de polímeros lineales no perturbados: polipropileno". Macromolecules . 18 (6): 1206– 1214. Bibcode : 1985MaMol..18.1206T . doi : 10.1021/ma00148a028 .