En matemáticas , la H -derivada es una noción de derivada en el estudio de los espacios abstractos de Wiener y el cálculo de Malliavin . [1]
Definición Sea un espacio abstracto de Wiener y supongamos que es diferenciable . Entonces la derivada de Fréchet es una función
i
:
H
→
E
{\displaystyle i:H\to E}
F
:
E
→
R
{\displaystyle F:E\to \mathbb {R} }
D
F
:
E
→
L
i
n
(
E
;
R
)
{\displaystyle \mathrm {D} F:E\to \mathrm {Lin} (E;\mathbb {R} )}
; es decir, para , es un elemento de , el espacio dual a .
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
D
F
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {D} F(x)}
E
∗
{\displaystyle E^{*}}
E
{\displaystyle E}
Por lo tanto, defina la derivada en por
H
{\displaystyle H}
D
H
F
{\displaystyle \mathrm {D} _{H}F}
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
D
H
F
(
x
)
:=
D
F
(
x
)
∘
i
:
H
→
R
{\displaystyle \mathrm {D} _{H}F(x):=\mathrm {D} F(x)\circ i:H\to \mathbb {R} }
, un mapa lineal continuo en .
H
{\displaystyle H}
Defina el -gradiente por
H
{\displaystyle H}
∇
H
F
:
E
→
H
{\displaystyle \nabla _{H}F:E\to H}
⟨
∇
H
F
(
x
)
,
h
⟩
H
=
(
D
H
F
)
(
x
)
(
h
)
=
lim
t
→
0
F
(
x
+
t
i
(
h
)
)
−
F
(
x
)
t
{\displaystyle \langle \nabla _{H}F(x),h\rangle _{H}=\left(\mathrm {D} _{H}F\right)(x)(h)=\lim _{t\to 0}{\frac {F(x+ti(h))-F(x)}{t}}}
. Es decir, si denota el adjunto de , tenemos .
j
:
E
∗
→
H
{\displaystyle j:E^{*}\to H}
i
:
H
→
E
{\displaystyle i:H\to E}
∇
H
F
(
x
)
:=
j
(
D
F
(
x
)
)
{\displaystyle \nabla _{H}F(x):=j\left(\mathrm {D} F(x)\right)}
Véase también
Referencias
^ Victor Kac; Pokman Cheung (2002). Cálculo cuántico. Nueva York: Springer. págs. 80-84. doi :10.1007/978-1-4613-0071-7. ISBN 978-1-4613-0071-7 .
Hispanopedia Wiki
