Potencial estable de H

En mecánica estadística de sistemas continuos, un potencial para un sistema de muchos cuerpos se denomina H-estable (o simplemente estable ) si la energía potencial por partícula está acotada inferiormente por una constante independiente del número total de partículas. En muchos casos, si un potencial no es H-estable, no es posible definir una función de partición gran canónica en un volumen finito, debido a configuraciones catastróficas con un número infinito de partículas ubicadas en un espacio finito.

Consideremos un sistema de partículas en posiciones ; la interacción o potencial entre una partícula en posición y una partícula en posición es ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in R^{\nu }}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{j}}$

${\displaystyle \phi (x_{i}-x_{j})\,}$

donde es una función real, par (posiblemente no acotada). Entonces es H-estable si existe tal que, para cualquier y cualquier , ${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle B>0}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in R^{\nu }}$

${\displaystyle V_{n}(x_{1},x_{2},\ldots x_{n}):=\sum _{i<j=1}^{n}\phi (x_{i}-x_{j})\geq -Bn\,}$

• Si y, para cada y cada , se cumple${\displaystyle \phi (0)<\infty }$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots x_{n}\in R^{\nu }}$

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}\phi (x_{i}-x_{j})\geq 0}$

entonces el potencial es estable (con la constante dada por ). Esta condición se aplica, por ejemplo, a potenciales que son: a) funciones positivas; b) funciones definidas positivas .${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\frac {\phi (0)}{2}}}$

• Si el potencial es estable, entonces, para cualquier dominio acotado , cualesquiera y , la serie${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle z>0}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n!}}\int _{\Lambda ^{n}}\!dx_{1}\cdots dx_{n}\;\exp[-\beta V_{n}(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})]}$

es convergente. De hecho, para potenciales acotados y semicontinuos superiormente, la hipótesis no solo es suficiente, ¡sino también necesaria!

• La función de partición gran canónica , en volumen finito, es

${\displaystyle \Xi (\beta ,z,\Lambda ):=1+\sum _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n!}}\int _{\Lambda ^{n}}\!dx_{1}\cdots dx_{n}\;\exp[-\beta V_{n}(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})]}$

Por lo tanto, la estabilidad H es una condición suficiente para que la función de partición exista en un volumen finito .

• La estabilidad H no implica necesariamente la existencia de la presión de volumen infinito . Por ejemplo, en un sistema de Coulomb (en dimensión tres) el potencial es

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{4\pi |x|}}}$

y, si las cargas de todas las partículas son iguales, entonces la energía potencial es

${\displaystyle V_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i<j}\phi (x_{i}-x_{j})}$

y el sistema es H-estable con ; pero el límite termodinámico no existe, porque el potencial no está templado .${\displaystyle B=0}$

• Si el potencial no está acotado, la H-estabilidad no es una condición necesaria para la existencia de la función de partición gran canónica en volumen finito. Por ejemplo, en el caso de la interacción de Yukawa en dos dimensiones,

${\displaystyle \phi (x)\sim -{\frac {1}{2\pi }}\ln {m|x|}\qquad {\rm {para}}\quad x\sim 0}$

Si las partículas pueden tener cargas con diferentes signos, la energía potencial es

${\displaystyle H_{n}({\underline {q}},{\underline {x}})=\sum _{i<j}q_{i}q_{j}\phi (x_{i}-x_{j})}$

donde es la carga de la partícula . no está acotada inferiormente: por ejemplo, cuando y , el potencial de dos cuerpos tiene ínfimo ${\displaystyle q_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle H_{n}({\underline {q}},{\underline {x}})}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle q_{1}q_{2}=1}$

${\displaystyle \inf _{x_{1},x_{2}}\phi (x_{1}-x_{2})=-\infty }$

Sin embargo, Frohlich ^{[ 1 ]} demostró la existencia del límite termodinámico para .${\displaystyle \beta <4\pi }$

La noción de estabilidad H en mecánica cuántica es más sutil. Mientras que en el caso clásico la parte cinética del hamiltoniano no es importante, ya que puede ser cero independientemente de la posición de las partículas, en el caso cuántico el término cinético juega un papel importante en el límite inferior de la energía total debido al principio de incertidumbre . (De hecho, la estabilidad de la materia fue la razón histórica para introducir dicho principio en mecánica). La definición de estabilidad es:

${\displaystyle \exists B:{\frac {E_{0}}{N}}>-B,\,}$

donde E ₀ es la energía del estado fundamental .

La estabilidad H clásica implica la estabilidad H cuántica, pero lo contrario es falso.

Este criterio resulta especialmente útil en mecánica estadística , donde la estabilidad H es necesaria para la existencia de la termodinámica ; es decir, si un sistema no es estable H, el límite termodinámico no existe.

• JL Lebowitz y Elliott H. Lieb [1] (Physical Review Letters, 1969)