Prueba de Hadamard

En computación cuántica , la prueba de Hadamard es un método utilizado para crear una variable aleatoria cuyo valor esperado es la parte real esperada.${\displaystyle \mathrm {Re} \langle \psi |U|\psi \rangle }$, dónde${\displaystyle |\psi \rangle }$es un estado cuántico y${\displaystyle U}$es una puerta unitaria que actúa sobre el espacio de${\displaystyle |\psi \rangle }$. ^{[ 1 ]} La prueba de Hadamard produce una variable aleatoria cuya imagen está en${\displaystyle \{\pm 1\}}$y cuyo valor esperado es exactamente${\displaystyle \mathrm {Re} \langle \psi |U|\psi \rangle }$. Es posible modificar el circuito para producir una variable aleatoria cuyo valor esperado es${\displaystyle \mathrm {Estoy} \langle \psi |U|\psi \rangle }$aplicando un${\displaystyle S^{\dagger }}$puerta después de la primera puerta de Hadamard. ^{[ 1 ]}

Para realizar la prueba de Hadamard primero calculamos el estado${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle \right)\otimes \left|\psi \right\rangle }$Luego aplicamos el operador unitario sobre${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$condicionado al primer cúbit para obtener el estado${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle \otimes \left|\psi \right\rangle +\left|1\right\rangle \otimes U\left|\psi \right\rangle \right)}$Luego aplicamos la puerta de Hadamard al primer cúbit, obteniendo${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\left|0\right\rangle \otimes (I+U)\left|\psi \right\rangle +\left|1\right\rangle \otimes (IU)\left|\psi \right\rangle \right)}$.

Al medir el primer cúbit, el resultado es${\displaystyle \left|0\right\rangle }$con probabilidad${\displaystyle {\frac {1}{4}}\langle \psi |(I+U^{\dagger })(I+U)|\psi \rangle }$, en cuyo caso generamos una salida${\displaystyle 1}$El resultado es${\displaystyle \left|1\right\rangle }$con probabilidad${\displaystyle {\frac {1}{4}}\langle \psi |(IU^{\dagger })(IU)|\psi \rangle }$, en cuyo caso generamos una salida${\displaystyle -1}$. El valor esperado de la salida será entonces la diferencia entre las dos probabilidades, que es${\displaystyle {\frac {1}{2}}\langle \psi |(U^{\dagger }+U)|\psi \rangle =\mathrm {Re} \langle \psi |U|\psi \rangle }$

Para obtener una variable aleatoria cuya esperanza sea${\displaystyle \mathrm {Estoy} \langle \psi |U|\psi \rangle }$siga exactamente el mismo procedimiento pero comience con${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle -i\left|1\right\rangle \right)\otimes \left|\psi \right\rangle }$. ^{[ 2 ]}

La prueba de Hadamard tiene muchas aplicaciones en algoritmos cuánticos como el algoritmo de Aharonov-Jones-Landau . Mediante una modificación muy simple, se puede utilizar para calcular el producto interno entre dos estados.${\displaystyle |\phi _{1}\rangle }$y${\displaystyle |\phi _{2}\rangle }$: ^{[ 3 ]} en lugar de comenzar desde un estado${\displaystyle |\psi \rangle }$Basta con partir del estado inicial.${\displaystyle |0\rangle }$y realizar dos operaciones controladas en el cúbit auxiliar. Controladas en el registro auxiliar siendo${\displaystyle |0\rangle }$, aplicamos la unitaria que produce${\displaystyle |\phi _{1}\rangle }$en el segundo registro, y controlado en el registro auxiliar estando en el estado${\displaystyle |1\rangle }$creamos${\displaystyle |\phi _{2}\rangle }$en el segundo registro. El valor esperado de las mediciones de los cúbits auxiliares conduce a una estimación de${\displaystyle \langle \phi _{1}|\phi _{2}\rangle }$El número de muestras necesarias para estimar el valor esperado con error absoluto.${\displaystyle \epsilon }$es${\displaystyle O\left({\frac {1}{\epsilon ^{2}}}\right)}$, debido a una cota de Chernoff . Este valor puede mejorarse a${\displaystyle O\left({\frac {1}{\epsilon }}\right)}$utilizando técnicas de estimación de amplitud . ^{[ 3 ]}

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