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Articulo de referencia

La fórmula de Hadjicostas

En matemáticas , la fórmula de Hadjicostas relaciona una determinada integral doble con los valores de la función gamma y la función zeta de Riemann . Recibe su nombre de Petros...

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En matemáticas , la fórmula de Hadjicostas relaciona una determinada integral doble con los valores de la función gamma y la función zeta de Riemann . Recibe su nombre de Petros Hadjicostas.

Declaración

Sea s un número complejo con s ≠ -1 y Re( s ) > − 2. Entonces  

∫01∫011−incógnita1−incógnitay(−registro⁡(incógnitay))sdincógnitady=Γ(s+2)(ζ(s+2)−1s+1).{\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{1-xy}}(-\log(xy))^{s}\,dx\,dy=\Gamma (s+2)\left(\zeta (s+2)-{\frac {1}{s+1}}\right).}

Aquí Γ es la función Gamma y ζ es la función zeta de Riemann .

Fondo

La primera instancia de la fórmula fue demostrada y utilizada por Frits Beukers en su artículo de 1978 que proporcionaba una demostración alternativa del teorema de Apéry . [ 1 ] Demostró la fórmula cuando s  =  0, y demostró una formulación equivalente para el caso s  =  1. Esto llevó a Petros Hadjicostas a conjeturar la fórmula anterior en 2004, [ 2 ] y en una semana fue demostrada por Robin Chapman. [ 3 ] Demostró que la fórmula se cumple cuando Re( s ) > − 1, y luego extendió el resultado mediante continuación analítica para obtener el resultado completo.  

Casos especiales

Además de los dos casos utilizados por Beukers para obtener expresiones alternativas para ζ(2) y ζ(3), la fórmula puede utilizarse para expresar la constante de Euler-Mascheroni como una integral doble haciendo que s tienda a − 1:

γ=∫01∫011−incógnita(1−incógnitay)(−registro⁡(incógnitay))dincógnitady.{\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{(1-xy)(-\log(xy))}}\,dx\,dy.}

Esta última fórmula fue descubierta por primera vez por Jonathan Sondow [ 4 ] y es a la que se hace referencia en el título del artículo de Hadjicostas.

Notas

  1. ↑ Beukers, F. (1979). "Una nota sobre la irracionalidad de ζ(2) y ζ(3)". Bull. London Math. Soc . 11 (3): 268– 272. doi : 10.1112/blms/11.3.268 .
  2. ↑ Hadjicostas, P. (2004). "Una conjetura-generalización de la fórmula de Sondow". arXiv : math.NT/0405423 .
  3. ↑ Chapman, R. (2004). "Una demostración de la conjetura de Hadjicostas". arXiv : math/0405478 .
  4. ↑ Sondow, J. (2003). "Criterios de irracionalidad de la constante de Euler" . Proc. Amer. Math. Soc . 131 (11): 3335– 3344. doi : 10.1090/S0002-9939-03-07081-3 .

Véase también

  • Hessami Pilehrood, Kh.; Hessami Pilehrood, T. (2008). "Series de tipo Vacca para valores de la función constante de Euler generalizada y su derivada". arXiv : 0808.0410 [ math.NT ].
  • Sondow, J (2005). "Integrales dobles para la constante de Euler y ln 4/π y un análogo de la fórmula de Hadjicostas". American Mathematical Monthly . 112 : 61–65 . arXiv : math.CA/0211148 . doi : 10.2307/30037385 . JSTOR 30037385 . 
  • Sondow, Jonathan; Hadjicostas, Petros (2008). "La función constante de Euler generalizada γ(z) y una generalización de la constante de recurrencia cuadrática de Somos". Journal of Mathematical Analysis and Applications . 332 : 292–314 . arXiv : math/0610499 . doi : 10.1016/j.jmaa.2006.09.081 .