Estructura de Haefliger

En matemáticas, una estructura de Haefliger en un espacio topológico es una generalización de una foliación de una variedad , introducida por André Haefliger en 1970. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Cualquier foliación en una variedad induce un tipo especial de estructura de Haefliger, que determina de manera única la foliación.

Definición

Una codimensión- $q$ Estructura de Haefliger en un espacio topológico $X$ Consta de los siguientes datos:

una portada de $X$ por conjuntos abiertos $U_{\alpha }$ ;
una colección de mapas continuos $f_{\alpha }:X\to \mathbb {R} ^{q}$ ;
por cada $x\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ , un difeomorfismo $\psi _{\alpha \beta }^{x}$ entre barrios abiertos de $f_{\alpha }(x)$ y $f_{\beta }(x)$ con $\Psi _{\alpha \beta }^{x}\circ f_{\alpha }=f_{\beta }$ ;

de tal manera que los mapas continuos $\Psi _{\alpha \beta }:x\mapsto \mathrm {germ} _{x}(\psi _{\alpha \beta }^{x})$ de $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ al haz de gérmenes de difeomorfismos locales de $\mathbb {R} ^{q}$ satisfacer la condición de 1-cociclo

\displaystyle \Psi _{\gamma \alpha }(u)=\Psi _{\gamma \beta }(u)\Psi _{\beta \alpha }(u)

para

u\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }.

El cociclo $\Psi _{\alpha \beta }$ También se le llama cociclo de Haefliger .

En términos más generales, ${\mathcal {C}}^{r}$ Las estructuras de Haefliger lineales por partes , analíticas y continuas se definen reemplazando los haces de gérmenes de difeomorfismos suaves por los haces apropiados .

Ejemplos y construcciones

Retrocesos

Una ventaja de las estructuras de Haefliger sobre las foliaciones es que se cierran bajo retrocesos . Más precisamente, dada una estructura de Haefliger en $X$ , definido por un cociclo de Haefliger $\Psi _{\alpha \beta }$ y un mapa continuo $f:Y\to X$ , la estructura de retroceso de Haefliger en $Y$ se define por la cubierta abierta $f^{-1}(U_{\alpha })$ y el cociclo $\Psi _{\alpha \beta }\circ f$ Como casos particulares obtenemos las siguientes construcciones:

Dada una estructura de Haefliger en $X$ y un subespacio $Y\subseteq X$ , la restricción de la estructura de Haefliger a $Y$ es la estructura de retroceso de Haefliger con respecto a la inclusión $Y\hookrightarrow X$
Dada una estructura de Haefliger en $X$ y otro espacio $Y$ , el producto de la estructura de Haefliger con $Y$ es la estructura de retroceso de Haefliger con respecto a la proyección $X\times Y\to X$

Follaje

Recordemos que una codimensión- $q$ La foliación en un colector liso se puede especificar mediante un revestimiento de $X$ por conjuntos abiertos $U_{\alpha }$ , junto con una inmersión $\phi _{\alpha }$ de cada conjunto abierto $U_{\alpha }$ a $\mathbb {R} ^{q}$ , de tal manera que para cada $\alpha ,\beta$ Hay un mapa $\Phi _{\alpha \beta }$ de $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ a difeomorfismos locales con

\phi _{\alpha }(v)=\Phi _{\alpha ,\beta }(u)(\phi _{\beta }(v))

cuando sea $v$ está lo suficientemente cerca de $u$ El cociclo de Haefliger se define por

\Psi _{\alpha ,\beta }(u)=

germen de

\Phi _{\alpha ,\beta }(u)

en u .

Como se anticipó, las foliaciones no están cerradas en general bajo retrocesos, pero las estructuras de Haefliger sí lo están. De hecho, dado un mapa continuo $f:X\to Y$ , se pueden tomar retracciones de las foliaciones en $Y$ siempre que $f$ es transversal a la foliación, pero si $f$ no es transversal el retroceso puede ser una estructura de Haefliger que no es una foliación.

Espacio de clasificación

Dos estructuras Haefliger en $X$ se denominan concordantes si son las restricciones de las estructuras de Haefliger en $X\times [0,1]$ a $X\times 0$ y $X\times 1$ .

Hay un espacio de clasificación $B\Gamma _{q}$ para codimensión- $q$ Estructuras de Haefliger que tienen una estructura de Haefliger universal en el siguiente sentido. Para cualquier espacio topológico $X$ y mapa continuo de $X$ a $B\Gamma _{q}$ El retroceso de la estructura universal de Haefliger es una estructura de Haefliger en $X$ . Para espacios topológicos bien comportados $X$ Esto induce una correspondencia 1:1 entre las clases de homotopía de mapas de $X$ a $B\Gamma _{q}$ y clases de concordancia de estructuras de Haefliger.

Referencias

Anosov, DV (2001) [1994], "Estructura de Haefliger" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

^ Haefliger, André (1970). "Feuilletages sur les variétés ouvertes". Topología . 9 (2): 183– 194. doi : 10.1016/0040-9383(70)90040-6 . ISSN 0040-9383 . SEÑOR 0263104 .
↑ Haefliger, André (1971). «Homotopía e integrabilidad». Variedades—Ámsterdam 1970 (Actas de la Escuela de Verano Nuffic) . Lecture Notes in Mathematics, Vol. 197. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . págs. 133–163 . doi : 10.1007/BFb0068615 . ISBN 978-3-540-05467-2MR 0285027 .

[1] Haefliger, André (1970). "Feuilletages sur les variétés ouvertes". Topología . 9 (2): 183– 194. doi : 10.1016/0040-9383(70)90040-6 . ISSN 0040-9383 . SEÑOR 0263104 .

[2] Haefliger, André (1971). «Homotopía e integrabilidad». Variedades—Ámsterdam 1970 (Actas de la Escuela de Verano Nuffic) . Lecture Notes in Mathematics, Vol. 197. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . págs. 133–163 . doi : 10.1007/BFb0068615 . ISBN 978-3-540-05467-2MR 0285027 .

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