Topología de medio disco

En matemáticas, y particularmente en topología general , la topología de medio disco es un ejemplo de una topología dada al conjunto${\displaystyle X}$dado por todos los puntos${\displaystyle (x,y)}$en el plano de tal manera que${\displaystyle y\geq 0}$. ^{[ 1 ]} El conjunto${\displaystyle X}$puede denominarse el semiplano superior cerrado.

Consideramos${\displaystyle X}$consistir en el semiplano superior abierto${\displaystyle P}$dado por todos los puntos${\displaystyle (x,y)}$en el plano de tal manera que${\displaystyle y>0}$y el eje x${\displaystyle L}$dado por todos los puntos${\displaystyle (x,y)}$en el plano de tal manera que${\displaystyle y=0}$. Claramente${\displaystyle X}$es otorgado por la unión${\displaystyle P\cup L}$. El semiplano superior abierto${\displaystyle P}$tiene una topología dada por la topología métrica euclidiana . ^{[ 1 ]} Extendemos la topología en${\displaystyle P}$a una topología en${\displaystyle X=P\cup L}$agregando algunos conjuntos abiertos adicionales. Estos conjuntos adicionales son de la forma${\displaystyle {(x,0)}\cup (P\cap U)}$, dónde${\displaystyle (x,0)}$es un punto en la línea${\displaystyle L}$y${\displaystyle U}$es un barrio de${\displaystyle (x,0)}$en el plano, abierto con respecto a la métrica euclidiana (que define el radio del disco). ^{[ 1 ]}

Esta topología da como resultado un espacio que satisface las siguientes propiedades.

• ${\displaystyle X}$es Hausdorff (y por lo tanto también${\displaystyle T_{0}}$y${\displaystyle T_{1}}$).

• ${\displaystyle X}$no es regular y por lo tanto no es normal .

• ${\displaystyle L}$con la topología de subespacio de${\displaystyle X}$es discreto , por lo tanto${\displaystyle X}$no es de segundo orden contable .

• ${\displaystyle X}$es separable . Un subconjunto numerablemente denso está dado por los puntos racionales.${\displaystyle X\cap \mathbb {Q} }$.

• Lista de topologías