Línea (geometría)

En el espacio tridimensional , una ecuación de primer grado en las variables x , y y z define un plano; por lo tanto, dos ecuaciones de este tipo, siempre que los planos que generan no sean paralelos, definen una recta que es la intersección de dichos planos. De forma más general, en el espacio n- dimensional , n − 1 ecuaciones de primer grado en las n variables de coordenadas definen una recta bajo ciertas condiciones.

En un espacio euclidiano más general ,${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$( y análogamente en cualquier otro espacio afín ), la línea L que pasa por dos puntos diferentes a y b es el subconjunto $${\displaystyle L=\left\{(1-t)\,a+tb\mid t\in \mathbb {R} \right\}.}$$La orientación o dirección de la línea orientada (o línea dirigida ) anterior va desde un punto de referencia a ( t = 0 ) hasta un punto objetivo b ( t = 1 ), o dicho de otro modo, en la dirección del vector relativo b − a . Una línea dirigida también se denomina eje , especialmente si desempeña un papel distintivo (por ejemplo, un eje de rotación ). ^{[ 3 ]} Al intercambiar los puntos a y b se obtiene la línea dirigida opuesta .

En geometría euclidiana, todas las rectas son congruentes , lo que significa que cualquier recta se puede obtener desplazando una recta específica. Sin embargo, las rectas pueden desempeñar funciones especiales con respecto a otros objetos geométricos y se pueden clasificar según esa relación.

Por ejemplo, con respecto a una cónica (un círculo , una elipse , una parábola o una hipérbola ), las líneas pueden ser:

• líneas tangentes , que tocan la cónica en un solo punto;
• líneas secantes , que intersecan la cónica en dos puntos y pasan por su interior; ^{[ 6 ]}
• líneas exteriores que no se encuentran con la cónica en ningún punto del plano euclidiano; o
• una directriz , cuya distancia a un punto ayuda a establecer si el punto está sobre la cónica.
• una línea de coordenadas , una dimensión de coordenadas lineales

En el contexto de la determinación del paralelismo en la geometría euclidiana, una transversal es una línea que interseca a otras dos líneas que pueden ser paralelas entre sí o no.

Para curvas algebraicas más generales , las líneas también podrían ser:

• i -secantes líneas, que encuentran la curva en i puntos contados sin multiplicidad, o
• asíntotas , a las que una curva se aproxima arbitrariamente sin tocarla. ^{[ 7 ]}

Con respecto a los triángulos tenemos:

• la línea de Euler ,
• las líneas de Simson y
• líneas centrales .

Para un cuadrilátero convexo con como máximo dos lados paralelos, la línea de Newton es la línea que conecta los puntos medios de las dos diagonales . ^{[ 8 ]}

Para un hexágono con vértices situados sobre una cónica, tenemos la línea de Pascal y, en el caso especial en que la cónica es un par de líneas, tenemos la línea de Pappus .

Las líneas paralelas son líneas que se encuentran en el mismo plano y que nunca se cruzan. Las líneas secantes comparten un único punto en común. Las líneas coincidentes se corresponden entre sí: cada punto que se encuentra en una de ellas también se encuentra en la otra.

Las líneas perpendiculares son líneas que se intersecan en ángulo recto . ^{[ 9 ]}

En el espacio tridimensional , las líneas oblicuas son líneas que no están en el mismo plano y, por lo tanto, no se intersecan entre sí.

En geometría sintética , el concepto de línea se considera a menudo una noción primitiva , ^{[ 1 ] : 95} lo que significa que no se define mediante el uso de otros conceptos, sino que se define por las propiedades, llamadas axiomas , que debe satisfacer. ^{[ 10 ]}

Sin embargo, la definición axiomática de una línea no explica la relevancia del concepto y suele ser demasiado abstracta para principiantes. Por ello, a menudo se sustituye o complementa con una imagen mental o una descripción intuitiva que permite comprender qué es una línea. Estas descripciones a veces se denominan definiciones, pero no son definiciones propiamente dichas, ya que no pueden utilizarse en demostraciones matemáticas . La «definición» de una línea en los Elementos de Euclides entra en esta categoría; ^{[ 1 ] : 95} y nunca se utiliza en demostraciones de teoremas.

Las líneas en un plano cartesiano o, más generalmente, en coordenadas afines , se caracterizan por ecuaciones lineales. Más precisamente, toda línea L (incluidas las líneas verticales) es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas ( x , y ) satisfacen una ecuación lineal; es decir, $${\displaystyle L=\{(x,y)\mid ax+by=c\},}$$ donde a , b y c son números reales fijos (llamados coeficientes ) tales que a y b no son ambos cero. Usando esta forma, las líneas verticales corresponden a ecuaciones con b = 0 .

Además, se puede suponer que c = 1 o c = 0 , dividiendo todo por c si no es cero.

Existen muchas formas variantes de escribir la ecuación de una recta, las cuales pueden transformarse entre sí mediante manipulación algebraica. La forma anterior se denomina a veces forma estándar . Si el término constante se coloca a la izquierda, la ecuación se convierte en: $${\displaystyle ax+by-c=0,}$$ A esto se le suele llamar la forma general de la ecuación. Sin embargo, esta terminología no es universalmente aceptada y muchos autores no distinguen entre estas dos formas.

Estas formas suelen denominarse según el tipo de información (datos) sobre la recta que se necesita para escribirlas. Algunos de los datos importantes de una recta son su pendiente, la intersección con el eje x , los puntos conocidos de la recta y la intersección con el eje y .

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos diferentes P ₀ ( x ₀ , y ₀ ) y P ₁ ( x ₁ , y ₁ ) se puede escribir como $${\displaystyle (y-y_{0})(x_{1}-x_{0})=(y_{1}-y_{0})(x-x_{0}).}$$ Si x ₀ ≠ x ₁ , esta ecuación se puede reescribir como $${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(x-x_{0}){\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+y_{0}\\[4pt]&=x{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {x_{1}y_{0}-x_{0}y_{1}}{x_{1}-x_{0}}}\end{aligned}}}$$ En dos dimensiones , la ecuación para líneas no verticales se suele expresar en la forma pendiente-ordenada al origen :

$${\displaystyle y=mx+b}$$ dónde

m es la pendiente o gradiente de la línea.

b es la intersección de la línea con el eje y.

x es la variable independiente de la función y = f ( x ) .

La pendiente de la recta que pasa por los puntos A ( x _a , y _a ) y B ( x _b , y _b ) , cuando x _a ≠ x _b , viene dada por $${\displaystyle m={\frac {y_{b}-y_{a}}{x_{b}-x_{a}}}}$$y la ecuación de esta línea se puede escribir $${\displaystyle y=m(x-x_{a})+y_{a}.}$$

Cabe señalar que las líneas en tres dimensiones también pueden describirse como las soluciones simultáneas de dos ecuaciones lineales.$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z-d_{1}&=0\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z-d_{2}&=0\end{aligned}}}$$ De tal manera que ( a₁ _, b₁ , c₁ ) y ( a₂ , b₂ _, c₂ ₎ no son proporcionales (las relaciones a₁ = ta₂, b₁ = tb₂ _, c₁ ₌ tc₂ implican t ₌ 0 ) . _Esto se deduce de que _{en tres dimensiones} una sola _ecuación lineal suele describir un plano , y una recta es _{lo que tienen} en común dos planos distintos que se intersecan.

Las ecuaciones paramétricas también se utilizan para especificar líneas, especialmente en aquellas de tres dimensiones o más, ya que en más de dos dimensiones las líneas no pueden describirse mediante una sola ecuación lineal.

En tres dimensiones, las líneas se describen frecuentemente mediante ecuaciones paramétricas: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+at\\y&=y_{0}+bt\\z&=z_{0}+ct\end{aligned}}}$$ dónde:

• x , y y z son todas funciones de la variable independiente t, que toma valores de los números reales.
• ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) es cualquier punto de la línea.
• a , b y c están relacionados con la pendiente de la línea, de modo que el vector de dirección ( a , b , c ) es paralelo a la línea.

Las ecuaciones paramétricas para líneas en dimensiones superiores son similares en el sentido de que se basan en la especificación de un punto en la línea y un vector de dirección.

La forma normal (también llamada forma normal de Hesse , ^{[ 11 ]} en honor al matemático alemán Ludwig Otto Hesse ) se basa en el segmento normal de una recta dada, que se define como el segmento trazado desde el origen perpendicular a la recta. Este segmento une el origen con el punto más cercano de la recta al origen. La forma normal de la ecuación de una recta en el plano viene dada por: $${\displaystyle x\cos \varphi +y\sin \varphi -p=0,}$$ donde φ es el ángulo de inclinación del segmento normal (el ángulo orientado desde el vector unitario del eje x a este segmento), y p es la longitud (positiva) del segmento normal. La forma normal se puede derivar de la forma estándar.${\displaystyle ax+by=c}$dividiendo todos los coeficientes por $${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$$ y también multiplicando por – 1 si c < 0 .

A diferencia de las formas pendiente-ordenada al origen e ordenada al origen, esta forma puede representar cualquier línea, pero también requiere que se especifiquen solo dos parámetros finitos, φ y p . Si p > 0 , entonces φ está definido de forma única módulo 2π . Por otro lado, si la línea pasa por el origen ( c = p = 0 ), se omite el término c / | c | para calcular sen φ y cos φ , y se deduce que φ solo está definido módulo π .

La ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A y B viene dada por${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {OA} +\lambda \,\mathbf {AB} }$(donde λ es un escalar ).

Si a es el vector OA y b es el vector OB , entonces la ecuación de la recta se puede escribir como: $${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda (\mathbf {b} -\mathbf {a} )}$$

Un rayo que parte del punto A se describe limitando λ . Se obtiene un rayo si λ ≥ 0 , y el rayo opuesto proviene de λ ≤ 0 .

En un plano cartesiano , las coordenadas polares ( r , θ ) están relacionadas con las coordenadas cartesianas mediante las ecuaciones paramétricas: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta .}$$

En coordenadas polares, la ecuación de una recta que no pasa por el origen —el punto con coordenadas (0, 0) — se puede escribir $${\displaystyle r={\frac {p}{\cos(\theta -\varphi )}},}$$ con r > 0 y${\displaystyle \varphi -\pi /2<\theta <\varphi +\pi /2.}$Aquí, p es la longitud (positiva) del segmento de línea perpendicular a la línea y delimitado por el origen y la línea, y φ es el ángulo (orientado) desde el eje x a este segmento.

Puede resultar útil expresar la ecuación en términos del ángulo.${\displaystyle \alpha =\varphi +\pi /2}$entre el eje x y la línea. En este caso, la ecuación se convierte en $${\displaystyle r={\frac {p}{\sin(\theta -\alpha )}},}$$ con r > 0 y 0 < θ < α + π .

Estas ecuaciones se pueden derivar de la forma normal de la ecuación de la recta estableciendo $${\displaystyle x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta ,}$$ y luego aplicando la identidad de diferencia de ángulos para seno o coseno.

Estas ecuaciones también se pueden demostrar geométricamente aplicando las definiciones de seno y coseno del triángulo rectángulo al triángulo rectángulo que tiene como vértices un punto de la recta y el origen, y como lados la recta y su perpendicular que pasa por el origen.

Las formas anteriores no se aplican a una línea que pasa por el origen, pero se puede escribir una fórmula más simple: las coordenadas polares ( r , θ ) de los puntos de una línea que pasa por el origen y forma un ángulo de${\displaystyle \alpha }$con el eje x , son los pares${\displaystyle (r,\theta )}$de tal manera que $${\displaystyle r\geq 0,\qquad {\text{and}}\quad \theta =\alpha \quad {\text{or}}\quad \theta =\alpha +\pi .}$$

En muchos modelos de geometría proyectiva , la representación de una línea rara vez se ajusta a la noción de "curva recta" tal como se visualiza en la geometría euclidiana. En la geometría elíptica vemos un ejemplo típico de esto. ^{[ 1 ] : 108} En la representación esférica de la geometría elíptica, las líneas se representan mediante círculos máximos de una esfera con puntos diametralmente opuestos identificados. En un modelo diferente de geometría elíptica, las líneas se representan mediante planos euclidianos que pasan por el origen. Aunque estas representaciones son visualmente distintas, satisfacen todas las propiedades (como que dos puntos determinen una línea única) que las hacen representaciones adecuadas para líneas en esta geometría.

La "cortitud" y la "rectitud" de una línea, interpretadas como la propiedad de que la distancia a lo largo de la línea entre dos cualesquiera de sus puntos se minimiza (véase la desigualdad triangular ), pueden generalizarse y conducen al concepto de geodésicas en espacios métricos .

Dada una línea y cualquier punto A sobre ella, podemos considerar que A descompone esta línea en dos partes. Cada una de estas partes se llama rayo (o semirrecta ) y el punto A se llama su punto inicial . A veces se le llama semieje si desempeña un papel distinto, por ejemplo, los semiejes positivo y negativo de un sistema de coordenadas . Es un semiespacio unidimensional . El punto A se considera un miembro del rayo. ^{[ a ]} Intuitivamente, un rayo consiste en aquellos puntos de una línea que pasa por A y se extiende indefinidamente, partiendo de A , en una sola dirección a lo largo de la línea. Sin embargo, para utilizar este concepto de rayo en demostraciones se requiere una definición más precisa.

Dados dos puntos distintos A y B , estos determinan un único rayo con punto inicial A. Como dos puntos definen una única línea, este rayo consta de todos los puntos entre A y B (incluidos A y B ) y todos los puntos C en la línea que pasa por A y B, de modo que B está entre A y C. ^{[ 13 ]} Esto, a veces, también se expresa como el conjunto de todos los puntos C en la línea determinada por A y B, ^de modo que A no está entre B y C. ^{[ 14} ] Un punto D , en la línea determinada por A y B pero que no está en el rayo con punto inicial A determinado por B , determinará otro rayo con punto inicial A. Con respecto al rayo AB , el rayo AD se llama rayo opuesto .

Así pues, diríamos que dos puntos distintos, A y B , definen una línea y una descomposición de esta línea en la unión disjunta de un segmento abierto ( A , B ) y dos rayos, BC y AD (el punto D no se muestra en el diagrama, pero se encuentra a la izquierda de A sobre la línea AB ). Estos no son rayos opuestos, puesto que tienen puntos de partida diferentes.

En geometría euclidiana, dos rayos con un punto final común forman un ángulo . ^{[ 15 ]}

La definición de rayo depende de la noción de intermediación entre puntos en una línea. Por consiguiente, los rayos existen únicamente en geometrías que poseen esta noción, típicamente la geometría euclidiana o la geometría afín sobre un cuerpo ordenado . Por otro lado, los rayos no existen en la geometría proyectiva ni en geometrías sobre cuerpos no ordenados, como los números complejos o cualquier cuerpo finito .

Un segmento de línea es una parte de una línea delimitada por dos puntos extremos distintos y que contiene todos los puntos de la línea entre dichos puntos. Dependiendo de cómo se defina el segmento, cualquiera de los dos puntos extremos puede o no formar parte del mismo. Dos o más segmentos de línea pueden tener algunas de las mismas relaciones que las líneas, como ser paralelos, intersecantes o oblicuos, pero a diferencia de las líneas, pueden no presentar ninguna de estas características si son coplanares y no se intersecan o son colineales .

Un punto en la recta numérica corresponde a un número real y viceversa. ^{[ 16 ]} Por lo general, los números enteros se distribuyen uniformemente en la recta, con los números positivos a la derecha y los negativos a la izquierda. Como extensión del concepto, se puede trazar una línea imaginaria que represente los números imaginarios, perpendicular a la recta numérica en el cero. ^{[ 17 ]} Las dos líneas forman el plano complejo , una representación geométrica del conjunto de números complejos .