Serie de Fourier de medio rango

En matemáticas , una serie de Fourier de medio rango es una serie de Fourier definida en un intervalo${\displaystyle [0,L]}$en lugar de lo más común${\displaystyle [-L,L]}$, con la implicación de que la función analizada${\displaystyle f(x),x\in [0,L]}$debería extenderse a${\displaystyle [-L,0]}$como un par (${\displaystyle f(-x)=f(x)}$) o función impar (${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$). ^{[ 1 ]} Esto permite la expansión de la función en una serie únicamente de senos (impares) o cosenos (pares). La elección entre impares y pares suele estar motivada por las condiciones de contorno asociadas a una ecuación diferencial que satisface${\displaystyle f(x)}$. ^{[ 2 ]}

Dada una función${\displaystyle f(x)}$definido sobre el intervalo${\displaystyle [0,L]}$, la serie de Fourier de medio rango se extiende${\displaystyle f}$a${\displaystyle [-L,L]}$con una extensión par o impar. Una extensión par satisface la identidad.

${\displaystyle f(-x)=f(x)\quad {\text{para}}\quad x\in [0,L].}$

Y una extensión impar satisface la identidad.

${\displaystyle f(-x)=-f(x)\quad {\text{para}}\quad x\in [0,L].}$

Una extensión par se basa en la función coseno, ya que esta es par, y una extensión impar utiliza la función seno, puesto que esta es impar. La decisión entre extensiones pares e impares suele estar motivada por las condiciones de contorno del problema, especialmente en el caso de ecuaciones diferenciales parciales como las ecuaciones de calor y de ondas. ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle f(x)}$estar definido y ser continuo por partes en el intervalo${\displaystyle [0,L]}$. Las series de Fourier de medio rango para el seno y el coseno se dan de la siguiente manera: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\text{Serie de senos: }}f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right).}$

Y los coeficientes${\displaystyle b_{n}}$son dados por

${\displaystyle b_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\,dx.}$

La serie del coseno se da como

${\displaystyle {\text{Serie de cosenos: }}f(x)\sim {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right).}$

Y los coeficientes${\displaystyle a_{n}}$son dados por

${\displaystyle a_{0}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\,dx,\quad a_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\,dx.}$

Las series de Fourier de medio rango se utilizan para resolver ciertos problemas de valores en la frontera que involucran conducción de calor , vibración y otros fenómenos físicos modelados por ecuaciones diferenciales parciales. ^{[ 4 ]} La ventaja de una serie de Fourier de medio rango es que la función analizada solo necesita estar definida sobre${\displaystyle [0,L]}$, lo que significa que las funciones definidas solo sobre números positivos pueden analizarse con una serie de Fourier de medio rango. Otra ventaja es el uso exclusivo de senos o cosenos. Por ejemplo, si${\displaystyle f(0)=0}$, puede ser más práctico usar una serie de senos en lugar de una serie de Fourier completa. Si${\displaystyle f'(0)=0}$, puede ser más práctico utilizar una serie de cosenos en su lugar. ^{[ 5 ]}

Ejemplo 1.

La expansión en serie de senos de Fourier de medio rango para${\displaystyle f(x)=\cos(x)}$con${\displaystyle x\in (0,\pi )}$se calcula de la siguiente manera. Como queremos una serie de senos, tomará la forma

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin(nx)}$

con coeficientes dados por

${\displaystyle b_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }f(x)\sin(nx)\,dx.}$

Observando que porque${\displaystyle \pi =L}$, estos términos anulan dar solo${\displaystyle \sin(nx)}$. Sustituimos la definición de${\displaystyle f(x)}$y obtener

${\displaystyle b_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(x)\sin(nx)\,dx.}$

Utilizando la identidad producto-suma dada por${\displaystyle \sin(A)\cos(B)={\frac {\sin(A+B)+\sin(A-B)}{2}}}$, convertimos el integrando en

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{n}={}&{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin((n+1)x)+\sin((n-1)x)}{2}}\,dx\\[6pt]={}&{\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\Big [}\sin((n+1)x)+\sin((n-1)x){\Big ]}.\end{aligned}}}$

Aplicando el hecho de que para${\displaystyle m\neq 0}$,${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(mx)\,dx={\frac {1-\cos(m\pi )}{m}}}$y que${\displaystyle \cos(m\pi )=(-1)^{m}}$, tenemos

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(mx)\,dx={\frac {1-(-1)^{m}}{2}}.}$

Aplicando a ambos términos del integrando tenemos

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {1-(-1)^{n+1}}{n+1}}+{\frac {1-(-1)^{n-1}}{n-1}}\right],\quad n\neq 1.}$

Si${\displaystyle n}$es extraño, entonces ambos${\displaystyle n+1}$y${\displaystyle n-1}$son pares, lo que significa${\displaystyle (-1)^{n+1}=(-1)^{n-1}=1}$y por lo tanto los denominadores son iguales a${\displaystyle 0}$. Por lo tanto, tenemos

${\displaystyle b_{n}=0{\text{ when }}n{\text{ is odd}}.}$

Aplicamos esto al caso especial de${\displaystyle b_{1}}$también. Entonces, si${\displaystyle n}$es par, entonces${\displaystyle n=2k}$y por lo tanto${\displaystyle n-1}$y${\displaystyle n+1}$son extraños, lo que significa${\displaystyle (-1)^{n-1}=(-1)^{n+1}=-1}$Por lo tanto, ambos denominadores se convierten en${\displaystyle 2}$y obtenemos

${\displaystyle b_{2k}={\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {2}{2k+1}}+{\frac {2}{2k-1}}\right]={\frac {2}{\pi }}\left[{\frac {1}{2k+1}}+{\frac {1}{2k-1}}\right].}$

Combinando en una sola fracción, tenemos

${\displaystyle {\frac {1}{2k+1}}+{\frac {1}{2k-1}}={\frac {2k+1+2k-1}{(2k+1)(2k-1)}}={\frac {4k}{4k^{2}-1}}.}$

Por lo tanto:

${\displaystyle b_{2k}={\frac {8k}{\pi (4k^{2}-1)}}.}$

Porque${\displaystyle b_{n}=0}$cuando${\displaystyle n}$es extraño, podemos sustituir${\displaystyle k}$Para obtener el resumen completo, haga clic directamente en:

${\displaystyle \cos(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {8k}{\pi (4k^{2}-1)}}\sin(2kx),\quad x\in (0,\pi ).}$