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Articulo de referencia

La conjetura de Hall

En matemáticas , la conjetura de Hall plantea una cuestión abierta sobre las diferencias entre cuadrados perfectos y cubos perfectos . Afirma que un cuadrado perfecto y² y un cu...

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En matemáticas , la conjetura de Hall plantea una cuestión abierta sobre las diferencias entre cuadrados perfectos y cubos perfectos . Afirma que un cuadrado perfecto y² y un cubo perfecto x³ que no sean iguales deben estar separados por una distancia considerable. Esta cuestión surgió al considerar la ecuación de Mordell en la teoría de puntos enteros en curvas elípticas .

La versión original de la conjetura de Hall, formulada por Marshall Hall, Jr. en 1970, dice que existe una constante positiva C tal que para cualesquiera enteros x e y para los cuales y 2 ≠ x 3 ,

|y2−incógnita3|>do|incógnita|1/2{\displaystyle |y^{2}-x^{3}|>C|x|^{1/2}}

Hall sugirió que tal vez C podría tomarse como 1/5, lo cual era coherente con todos los datos conocidos en el momento en que se propuso la conjetura .

En 1982, Danilov demostró que|y2−incógnita3|{\displaystyle |y^{2}-x^{3}|}es menor que4332×|incógnita|1/2{\displaystyle 433{\sqrt {2}}\times |x|^{1/2}}infinitamente a menudo, [ 1 ] proporcionando así una cota superior para C y demostrando que el exponente 1/2 (es decir, el uso de | x | 1/2 ) es óptimo y no puede ser reemplazado por ninguna potencia mayor: para ningún δ > 0 existe una constante C tal que | y 2 − x 3 | > C| x | 1/2 + δ siempre que y 2 ≠ x 3 .

En 1965, Davenport demostró un análogo de la conjetura anterior en el caso de polinomios : si f ( t ) y g ( t ) son polinomios no nulos sobre los números complejos C tales que g ( t ) 3 ≠ f ( t ) 2 en C [ t ], entonces

grados⁡(gramo(t)2−F(t)3)≥12grados⁡F(t)+1.{\displaystyle \deg(g(t)^{2}-f(t)^{3})\geq {\frac {1}{2}}\deg f(t)+1.}

La forma débil de la conjetura de Hall, enunciada por Stark y Trotter alrededor de 1980, reemplaza la raíz cuadrada del lado derecho de la desigualdad por cualquier exponente menor que 1/2: para cualquier ε > 0, existe alguna constante c (ε) que depende de ε tal que para cualesquiera enteros x e y para los cuales y 2 ≠ x 3 ,

|y2−incógnita3|>do(ε)|incógnita|1/2−ε.{\displaystyle |y^{2}-x^{3}|>c(\varepsilon )|x|^{1/2-\varepsilon }.}

La forma original y fuerte de la conjetura con exponente 1/2 nunca ha sido refutada, aunque ya no se cree que sea cierta y el término conjetura de Hall ahora generalmente se refiere a la versión con la ε . Por ejemplo, en 1998, Noam Elkies encontró el ejemplo

447884928428402042307918 2 − 5853886516781223 3 = -1641843,

para lo cual la compatibilidad con la conjetura de Hall requeriría que C fuera menor que 0,0214 ≈ 1/50, es decir, aproximadamente 10 veces menor que la elección original de 1/5 que sugirió Hall.

La forma débil de la conjetura de Hall se derivaría de la conjetura ABC . [ 2 ] Una generalización a otras potencias perfectas es la conjetura de Pillai , aunque también se sabe que la conjetura de Pillai sería verdadera si la conjetura de Hall se cumpliera para cualquier 0 < ε < 1/2 específico. [ 3 ]

La tabla a continuación muestra los casos conocidos conr=incógnita/|y2−incógnita3|>1{\displaystyle r={\sqrt {x}}/|y^{2}-x^{3}|>1}. Tenga en cuenta que y se puede calcular como el entero más cercano a x 3/2 . Se sabe que esta lista contiene todos los ejemplos conincógnita≤1029{\displaystyle x\leq 10^{29}}(las primeras 44 entradas de la tabla), pero puede estar incompleta a partir de ese punto.

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 J. Gebel, A. Pethö y HG Zimmer.
  2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Noam D. Elkies (incluida la entrada 16 que Elkies encontró pero omitió de su tabla publicada).
  3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 I. Jiménez Calvo, J. Herranz y G. Sáez (con el orden de las entradas 29 y 30 corregido)
  4. 1 2 3 Johan Bosman (usando el software de JHS).
  5. ^ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 S. Aanderaa, L. Kristiansen y HK Ruud.
  6. ↑ LV Danilov. El elemento 50 pertenece a la secuencia infinita hallada por Danilov.

Referencias

  1. ↑ Danilov, LV (1982-09). "Ecuación diofántica x3?y2=k y la conjetura de Hall" . Notas Matemáticas de la Academia de Ciencias de la URSS . 32 (3): 617– 618. doi : 10.1007/BF01140190 . ISSN 0001-4346 . {{cite journal}}: Compruebe los valores de fecha en: |date=( ayuda )
  2. ↑ Schmidt, Wolfgang M. (1996). Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1467 (2.ª ed.). Springer-Verlag . pp. 205–206 . ISBN    3-540-54058-X. Zbl 0754.11020 . 
  3. ↑ Nair, M (1 de diciembre de 1977). "UNA NOTA SOBRE LA ECUACIÓN x^3−y^2=k" . The Quarterly Journal of Mathematics . 29 (4): 483– 487. doi : 10.1093/qmath/29.4.483 .
  • Guy, Richard K. (2004). Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª  ed.). Springer-Verlag . D9. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 . 
  • Hall, Jr., Marshall ( 1971). "La ecuación diofántica x³ - y² = k ". En Atkin, AOL ; Birch, BJ (eds.). Computers in Number Theory . Academic Press. pp . 173–198 . ISBN  0-12-065750-3. Zbl 0225.10012 . 
  • Elkies, ND "Puntos racionales cerca de curvas y pequeños | 'x 3 - y 2 '| distintos de cero mediante reducción reticular", http://arxiv.org/abs/math/0005139
  • Danilov, LV, "La ecuación diofántica 'x 3 - y 2 ' ' = k ' y la conjetura de Hall", 'Math. Notes Acad. Sci. USSR' 32 (1982), 617-618.        
  • Gebel, J., Pethö, A. y Zimmer, HG: "Sobre la ecuación de Mordell", 'Compositio Math'. 110 (1998), 335-367.
  • I. Jiménez Calvo, J. Herranz y G. Sáez Moreno, "Un nuevo algoritmo para buscar valores pequeños |'x3  -  y2'| distintos de cero", 'Math. Comp.' 78 (2009), págs. 2435-2444.
  • S. Aanderaa, L. Kristiansen y HK Ruud, "Búsqueda de buenos ejemplos de la conjetura de Hall", 'Math. Comp.' 87 (2018), 2903-2914.