Álgebra de Hall

En matemáticas , el álgebra de Hall es un álgebra asociativa con una base que corresponde a clases de isomorfismo de p- grupos abelianos finitos . Fue discutida por primera vez por Steinitz (1901) , pero olvidada hasta que fue redescubierta por Philip Hall ( 1959 ) , quienes publicaron solo breves resúmenes de su trabajo. Los polinomios de Hall son las constantes de estructura del álgebra de Hall . El álgebra de Hall juega un papel importante en la teoría de Masaki Kashiwara y George Lusztig sobre bases canónicas en grupos cuánticos . Ringel (1990) generalizó las álgebras de Hall a categorías más generales , como la categoría de representaciones de un carcaj . 

Un p -grupo abeliano finito M es una suma directa de componentes p -potenciales cíclicas.${\displaystyle C_{p^{\lambda _{i}}},}$dónde ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )}$es una partición de${\displaystyle n}$llamado el tipo de M. Sea${\displaystyle g_{\mu ,\nu }^{\lambda }(p)}$sea ​​el número de subgrupos N de M tales que N tiene tipo${\displaystyle \nu }$y el cociente M/N tiene tipo${\displaystyle \mu }$Hall demostró que las funciones g son funciones polinómicas de p con coeficientes enteros. Por lo tanto, podemos reemplazar p con una indeterminada q , lo que da como resultado los polinomios de Hall.

${\displaystyle g_{\mu ,\nu }^{\lambda }(q)\in \mathbb {Z} [q].\,}$

A continuación, Hall construye un anillo asociativo .${\displaystyle H}$encima${\displaystyle \mathbb {Z} [q]}$, ahora llamada álgebra de Hall . Este anillo tiene una base que consta de los símbolos${\displaystyle u_{\lambda }}$y las constantes de estructura de la multiplicación en esta base vienen dadas por los polinomios de Hall:

${\displaystyle u_{\mu }u_{\nu }=\sum _{\lambda }g_{\mu ,\nu }^{\lambda }(q)u_{\lambda }.\,}$

Resulta que H es un anillo conmutativo, generado libremente por los elementos.${\displaystyle u_{\mathbf {1} ^{n}}}$correspondientes a los p -grupos elementales . El mapeo lineal de H al álgebra de funciones simétricas definidas en los generadores por la fórmula

${\displaystyle u_{\mathbf {1} ^{n}}\mapsto q^{-n(n-1)/2}e_{n}\,}$

(donde e _n es la n- ésima función simétrica elemental ) se extiende de forma única a un homomorfismo de anillos y a las imágenes de los elementos base.${\displaystyle u_{\lambda }}$pueden interpretarse mediante las funciones simétricas de Hall-Littlewood . Al especializar q a 1, estas funciones simétricas se convierten en funciones de Schur , que están estrechamente relacionadas con la teoría de los polinomios de Hall.

• Hall, Philip (1959), "El álgebra de particiones", Actas del 4.º Congreso Matemático Canadiense, Banff , págs. 147-159 . 
• George Lusztig , Quivers, perverse sheaves, and quantized enveloping algebras , Journal of the American Mathematical Society 4 (1991), no. 2, 365 – 421.
• Macdonald, Ian G. (1995), Funciones simétricas y polinomios de Hall , Monografías matemáticas de Oxford (2.ª  ed.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1, MR 1354144 
• Ringel, Claus Michael (1990), "Álgebras de Hall y grupos cuánticos" , Inventiones Mathematicae , 101 (3): 583– 591, Bibcode : 1990InMat.101..583R , doi : 10.1007/BF01231516 , MR 1062796 , S2CID 120480847  
• Schiffmann, Olivier (2012), "Conferencias sobre álgebras de Hall", Métodos geométricos en la teoría de la representación. II , Sémin. Congreso, vol.  24-II, París: Soc. Matemáticas. Francia, págs. 1–141 , arXiv : math/0611617 , Bibcode : 2006math.....11617S , MR 3202707  
• Steinitz, Ernst ( 1901), "Zur Theorie der Abel'schen Gruppen", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 9 : 80–85