Teorema de Cayley-Hamilton

Para un${\displaystyle 1\times 1}$ matriz A = ( a ) , el polinomio característico viene dado por p ( λ ) = λ − a , y por lo tanto p ( A ) = ( a ) − a (1) = 0 es trivial.

Como ejemplo concreto, dejemos $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}.}$$ Su polinomio característico viene dado por $${\displaystyle {\begin{aligned}p(\lambda )&=\det(\lambda I_{2}-A)=\det \!{\begin{pmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{pmatrix}}\\&=(\lambda -1)(\lambda -4)-(-2)(-3)=\lambda ^{2}-5\lambda -2.\end{aligned}}}$$

El teorema de Cayley-Hamilton afirma que, si definimos$${\displaystyle p(X)=X^{2}-5X-2I_{2},}$$ entonces $${\displaystyle p(A)=A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}.}$$ Podemos verificar mediante cálculos que, efectivamente, $${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}7&10\\15&22\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}5&10\\15&20\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}.}$$

Para un genérico${\displaystyle 2\times 2}$matriz, $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}},}$$

El polinomio característico viene dado por p ( λ ) = λ ² − ( a + d ) λ + ( ad − bc ) , por lo que el teorema de Cayley-Hamilton establece que $${\displaystyle p(A)=A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}};}$$ lo cual es cierto que siempre es así, como se evidencia al calcular las entradas de A ² .

Para un general${\displaystyle n\times n}$matriz invertible A , es decir, una con determinante distinto de cero, A ⁻¹ puede escribirse como una${\displaystyle (n-1)}$expresión polinómica de orden en A : Como se indica, el teorema de Cayley-Hamilton equivale a la identidad

Los coeficientes c _i vienen dados por los polinomios simétricos elementales de los valores propios de A. Utilizando identidades de Newton , los polinomios simétricos elementales pueden a su vez expresarse en términos de polinomios simétricos de suma de potencias de los valores propios: $${\displaystyle s_{k}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{k}=\operatorname {tr} (A^{k}),}$$ donde tr( A ^k ) es la traza de la matriz A ^k . Por lo tanto, podemos expresar c _i en términos de la traza de las potencias de A .

En general, la fórmula para los coeficientes c _i se da en términos de polinomios de Bell exponenciales completos como ^{[ nb 1 ]}$${\displaystyle c_{n-k}={\frac {(-1)^{k}}{k!}}B_{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots ,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k}).}$$

En particular, el determinante de A es igual a (−1) ⁿ c ₀ . Por lo tanto, el determinante se puede escribir como la identidad de traza : $${\displaystyle \det(A)={\frac {1}{n!}}B_{n}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots ,(-1)^{n-1}(n-1)!s_{n}).}$$

Asimismo, el polinomio característico se puede escribir como $${\displaystyle -(-1)^{n}\det(A)I_{n}=A(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n}),}$$ y, al multiplicar ambos lados por A ⁻¹ (nótese que −(−1) ⁿ = (−1) ^{n −1} ), se llega a una expresión para el inverso de A como identidad de traza, $${\displaystyle {\begin{aligned}A^{-1}&={\frac {(-1)^{n-1}}{\det A}}(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n}),\\[5pt]&={\frac {1}{\det A}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{n+k-1}{\frac {A^{n-k-1}}{k!}}B_{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots ,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k}).\end{aligned}}}$$

Otro método para obtener estos coeficientes c _k para un general${\displaystyle n\times n}$La matriz, siempre que ninguna raíz sea cero, se basa en la siguiente expresión alternativa para el determinante , $${\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)=\lambda ^{n}\exp(\operatorname {tr} (\log(I_{n}-A/\lambda ))).}$$ Por lo tanto, en virtud de la serie de Mercator , $${\displaystyle p(\lambda )=\lambda ^{n}\exp \left(-\operatorname {tr} \sum _{m=1}^{\infty }{({A \over \lambda })^{m} \over m}\right),}$$ donde la exponencial solo necesita expandirse hasta el orden λ ^{− n} , ya que p ( λ ) es de orden n , las potencias negativas netas de λ se anulan automáticamente por el teorema C–H. (Nuevamente, esto requiere un anillo que contenga los números racionales .) La diferenciación de esta expresión con respecto a λ permite expresar los coeficientes del polinomio característico para un n general como determinantes de matrices m × m , ^{[ nb 2 ]}$${\displaystyle c_{n-m}={\frac {(-1)^{m}}{m!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&m-1&0&\cdots \\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&m-2&\cdots \\\vdots &\vdots &&&\vdots \\\operatorname {tr} A^{m-1}&\operatorname {tr} A^{m-2}&\cdots &\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{m}&\operatorname {tr} A^{m-1}&\cdots &\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.}$$

Ejemplos

Por ejemplo, los primeros polinomios de Bell son B ₀ = 1, B ₁ ( x ₁ ) = x ₁ , B ₂ ( x ₁ , x ₂ ) = x ² ₁ + x ₂ , y B ₃ ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = x ³ ₁ + 3 x ₁ x ₂ + x ₃ .

Utilizando estos para especificar los coeficientes c _i del polinomio característico de un${\displaystyle 2\times 2}$ rendimientos de la matriz

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}=B_{0}=1,\\[4pt]c_{1}={\frac {-1}{1!}}B_{1}(s_{1})=-s_{1}=-\operatorname {tr} (A),\\[4pt]c_{0}={\frac {1}{2!}}B_{2}(s_{1},-1!s_{2})={\frac {1}{2}}(s_{1}^{2}-s_{2})={\frac {1}{2}}((\operatorname {tr} (A))^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})).\end{aligned}}}$$

El coeficiente c ₀ da el determinante de la${\displaystyle 2\times 2}$ matriz, c ₁ menos su traza, mientras que su inversa viene dada por $${\displaystyle A^{-1}={\frac {-1}{\det A}}(A+c_{1}I_{2})={\frac {-2(A-\operatorname {tr} (A)I_{2})}{(\operatorname {tr} (A))^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})}}.}$$

Es evidente a partir de la fórmula general para c _{n − k} , expresada en términos de polinomios de Bell, que las expresiones $${\displaystyle -\operatorname {tr} (A)\quad {\text{and}}\quad {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {tr} (A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2}))}$$

siempre dé los coeficientes c _{n −1} de λ ^{n −1} y c _{n −2} de λ ^{n −2} en el polinomio característico de cualquier${\displaystyle n\times n}$matriz, respectivamente. Entonces, para una${\displaystyle 3\times 3}$ matriz A , el enunciado del teorema de Cayley-Hamilton también se puede escribir como $${\displaystyle A^{3}-(\operatorname {tr} A)A^{2}+{\frac {1}{2}}\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})\right)A-\det(A)I_{3}=O,}$$ donde el lado derecho designa un${\displaystyle 3\times 3}$matriz con todas las entradas reducidas a cero. De igual modo, este determinante en el caso n = 3 , ahora es $${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&={\frac {1}{3!}}B_{3}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3})={\frac {1}{6}}(s_{1}^{3}+3s_{1}(-s_{2})+2s_{3})\\[5pt]&={\frac {1}{6}}\left[(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3})\right].\end{aligned}}}$$ Esta expresión da el negativo del coeficiente c _{n −3} de λ ^{n −3} en el caso general, como se ve a continuación.

De manera similar, uno puede escribir para un${\displaystyle 4\times 4}$matriz A , $${\displaystyle A^{4}-(\operatorname {tr} A)A^{3}+{\tfrac {1}{2}}\left[(\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})\right]A^{2}-{\tfrac {1}{6}}\left[(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3})\right]A+\det(A)I_{4}=O,}$$

donde, ahora, el determinante es c _{n −4} ,

$${\displaystyle {\tfrac {1}{24}}\!\left[(\operatorname {tr} A)^{4}-6\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)^{2}+3\left(\operatorname {tr} (A^{2})\right)^{2}+8\operatorname {tr} (A^{3})\operatorname {tr} (A)-6\operatorname {tr} (A^{4})\right],}$$

y así sucesivamente para matrices más grandes. Las expresiones cada vez más complejas para los coeficientes c _k se pueden deducir de las identidades de Newton o del algoritmo de Faddeev-LeVerrier .

El teorema de Cayley-Hamilton siempre proporciona una relación entre las potencias de A (aunque no siempre la más simple), lo que permite simplificar expresiones que involucran dichas potencias y evaluarlas sin tener que calcular la potencia A ⁿ o cualquier potencia superior de A.

Como ejemplo, para${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}}$El teorema da $${\displaystyle A^{2}=5A+2I_{2}\,.}$$

Luego, para calcular A ⁴ , observe $${\displaystyle {\begin{aligned}A^{3}&=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2},\\[1ex]A^{4}&=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A=145A+54I_{2}\,.\end{aligned}}}$$ Asimismo, $${\displaystyle {\begin{aligned}A^{-1}&={\frac {1}{2}}\left(A-5I_{2}\right)~.\\[1ex]A^{-2}&=A^{-1}A^{-1}={\frac {1}{4}}\left(A^{2}-10A+25I_{2}\right)={\frac {1}{4}}\left((5A+2I_{2})-10A+25I_{2}\right)={\frac {1}{4}}\left(-5A+27I_{2}\right)~.\end{aligned}}}$$

Nótese que hemos podido expresar la potencia de una matriz como la suma de dos términos. De hecho, una potencia de matriz de cualquier orden k puede escribirse como un polinomio matricial de grado como máximo n − 1 , donde n es el tamaño de una matriz cuadrada. Este es un ejemplo donde el teorema de Cayley-Hamilton puede utilizarse para expresar una función matricial, lo cual analizaremos sistemáticamente más adelante.

Dada una función analítica$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$$ y el polinomio característico p ( x ) de grado n de una matriz A de n × n , la función se puede expresar mediante división larga como $${\displaystyle f(x)=q(x)p(x)+r(x),}$$ donde q ( x ) es algún polinomio cociente y r ( x ) es un polinomio resto tal que 0 ≤ deg r ( x ) < n .

Según el teorema de Cayley-Hamilton, al reemplazar x por la matriz A se obtiene p ( A ) = 0 , por lo que se tiene $${\displaystyle f(A)=r(A).}$$

Por lo tanto, la función analítica de la matriz A puede expresarse como un polinomio matricial de grado menor que n .

Sea el polinomio restante $${\displaystyle r(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}.}$$ Dado que p ( λ ) = 0 , al evaluar la función f ( x ) en los n autovalores de A se obtiene $${\displaystyle f(\lambda _{i})=r(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1},\qquad {\text{for }}i=1,2,...,n.}$$ Esto equivale a un sistema de n ecuaciones lineales , que se pueden resolver para determinar los coeficientes c _i . Por lo tanto, se tiene $${\displaystyle f(A)=\sum _{k=0}^{n-1}c_{k}A^{k}.}$$

Cuando los autovalores se repiten, es decir, λ _i = λ _j para algún i ≠ j , dos o más ecuaciones son idénticas; por lo tanto, las ecuaciones lineales no pueden resolverse de forma única. En tales casos, para un autovalor λ con multiplicidad m , las primeras m − 1 derivadas de p ( x ) se anulan en el autovalor. Esto conduce a m − 1 soluciones linealmente independientes adicionales.$${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} ^{k}f(x)}{\mathrm {d} x^{k}}}\right|_{x=\lambda }=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{k}r(x)}{\mathrm {d} x^{k}}}\right|_{x=\lambda }\qquad {\text{for }}k=1,2,\ldots ,m-1,}$$ que, combinadas con otras, producen las n ecuaciones necesarias para resolver c _i .

Encontrar un polinomio que pase por los puntos ( λ _i , f ( λ _i )) es esencialmente un problema de interpolación , y se puede resolver utilizando técnicas de interpolación de Lagrange o Newton , lo que lleva a la fórmula de Sylvester .

Por ejemplo, supongamos que la tarea es encontrar la representación polinómica de $${\displaystyle f(A)=e^{At}\qquad \mathrm {where} \qquad A={\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}.}$$

El polinomio característico es p ( x ) = ( x − 1)( x − 3) = x ² − 4 x + 3 , y los valores propios son λ = 1, 3 . Sea r ( x ) = c ₀ + c ₁ x . Evaluando f ( λ ) = r ( λ ) en los valores propios, se obtienen dos ecuaciones lineales, e ^t = c ₀ + c ₁ y e ^{3 t} = c ₀ + 3 c ₁ .

Al resolver las ecuaciones se obtiene c ₀ = (3 e ^t − e ^{3 t} )/2 y c ₁ = ( e ^{3 t} − e ^t )/2 . Por lo tanto, se deduce que $${\displaystyle e^{At}=c_{0}I_{2}+c_{1}A={\begin{pmatrix}c_{0}+c_{1}&2c_{1}\\0&c_{0}+3c_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e^{t}&e^{3t}-e^{t}\\0&e^{3t}\end{pmatrix}}.}$$

Si, en cambio, la función fuera f ( A ) = sin At , entonces los coeficientes habrían sido c ₀ = (3 sin t − sin 3 t )/2 y c ₁ = (sin 3 t − sin t )/2 ; por lo tanto $${\displaystyle \sin(At)=c_{0}I_{2}+c_{1}A={\begin{pmatrix}\sin t&\sin 3t-\sin t\\0&\sin 3t\end{pmatrix}}.}$$

Como ejemplo adicional, al considerar $${\displaystyle f(A)=e^{At}\qquad \mathrm {where} \qquad A={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},}$$ entonces el polinomio característico es p ( x ) = x ²  +  1 , y los valores propios son λ = ± i .

Como antes, al evaluar la función en los autovalores obtenemos las ecuaciones lineales e ^it = c ₀ + ic ₁ y e ^{− it} = c ₀ − ic ₁ ; cuya solución da c ₀ = ( e ^it + e ^{− it} )/2 = cos t y c ₁ = ( e ^it − e ^{− it} )/2 i = sin t . Por lo tanto, para este caso, $${\displaystyle e^{At}=(\cos t)I_{2}+(\sin t)A={\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}},}$$ que es una matriz de rotación .

Ejemplos estándar de dicho uso es el mapeo exponencial del álgebra de Lie de un grupo de Lie matricial en el grupo. Está dado por una exponencial matricial , $${\displaystyle \exp$$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow G;\qquad tX\mapsto e^{tX}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}X^{n}}{n!}}=I+tX+{\frac {t^{2}X^{2}}{2}}+\cdots ,t\in \mathbb {R} ,X\in {\mathfrak {g}}.} Tales expresiones se conocen desde hace mucho tiempo para SU(2) , $${\displaystyle e^{i(\theta /2)({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \sigma )}=I_{2}\cos {\frac {\theta }{2}}+i({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \sigma )\sin {\frac {\theta }{2}},}$$ donde las σ son las matrices de Pauli y para SO(3) , $${\displaystyle e^{i\theta ({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )}=I_{3}+i({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )\sin \theta +({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )^{2}(\cos \theta -1),}$$ que es la fórmula de rotación de Rodrigues . Para la notación, véase el grupo de rotación 3D#A nota sobre álgebras de Lie .

Más recientemente, han aparecido expresiones para otros grupos, como el grupo de Lorentz SO(3, 1) , ^{[ 10 ]} O(4, 2) ^{[ 11 ]} y SU(2, 2) , ^{[ 12 ]} así como GL( n , R ) . ^{[ 13 ]} El grupo O(4, 2) es el grupo conforme del espaciotiempo , SU(2, 2) su recubrimiento simplemente conexo (para ser precisos, el recubrimiento simplemente conexo de la componente conexa SO ⁺ (4, 2) de O(4, 2) ). Las expresiones obtenidas se aplican a la representación estándar de estos grupos. Requieren el conocimiento de (algunos de) los autovalores de la matriz a exponenciar. Para SU(2) (y por lo tanto para SO(3) ), se han obtenido expresiones cerradas para todas las representaciones irreducibles, es decir, de cualquier espín. ^{[ 14 ]}

El teorema de Cayley-Hamilton es una herramienta eficaz para calcular el polinomio mínimo de enteros algebraicos . Por ejemplo, dada una extensión finita${\displaystyle \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]}$de${\displaystyle \mathbb {Q} }$y un entero algebraico${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]}$que es una combinación lineal no nula de la${\displaystyle \alpha _{1}^{n_{1}}\cdots \alpha _{k}^{n_{k}}}$podemos calcular el polinomio mínimo de${\displaystyle \alpha }$al encontrar una matriz que represente la${\displaystyle \mathbb {Q} }$- transformación lineal$${\displaystyle \cdot \alpha$$ :\mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]\to \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]} Si llamamos a esta matriz de transformación${\displaystyle A}$, entonces podemos encontrar el polinomio mínimo aplicando el teorema de Cayley-Hamilton a${\displaystyle A}$. ^{[ 15 ]}

Si un vector v de tamaño n es un vector propio de A con valor propio λ , en otras palabras, si A ⋅ v = λv , entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}p(A)\cdot v&=A^{n}\cdot v+c_{n-1}A^{n-1}\cdot v+\cdots +c_{1}A\cdot v+c_{0}I_{n}\cdot v\\[6pt]&=\lambda ^{n}v+c_{n-1}\lambda ^{n-1}v+\cdots +c_{1}\lambda v+c_{0}v=p(\lambda )v,\end{aligned}}}$$ que es el vector cero ya que p ( λ ) = 0 (los autovalores de A son precisamente las raíces de p ( t ) ). Esto se cumple para todos los posibles autovalores λ , por lo que las dos matrices igualadas por el teorema ciertamente dan el mismo resultado (nulo) cuando se aplican a cualquier autovector. Ahora bien, si A admite una base de autovectores, en otras palabras, si A es diagonalizable , entonces el teorema de Cayley-Hamilton debe cumplirse para A , ya que dos matrices que dan los mismos valores cuando se aplican a cada elemento de una base deben ser iguales. $${\displaystyle A=XDX^{-1},\quad D=\operatorname {diag} (\lambda _{i}),\quad i=1,2,...,n}$$$${\displaystyle p_{A}(\lambda )=|\lambda I-A|=\prod _{i=1}^{n}(\lambda -\lambda _{i})\equiv \sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda ^{k}}$$$${\displaystyle p_{A}(A)=\sum c_{k}A^{k}=Xp_{A}(D)X^{-1}=XCX^{-1}}$$$${\displaystyle C_{ii}=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda _{i}^{k}=\prod _{j=1}^{n}(\lambda _{i}-\lambda _{j})=0,\qquad C_{i,j\neq i}=0}$$$${\displaystyle \therefore p_{A}(A)=XCX^{-1}=O.}$$

Consideremos ahora la función${\displaystyle e\colon M_{n}\to M_{n}}$qué mapas${\displaystyle n\times n}$matrices a${\displaystyle n\times n}$matrices dadas por la fórmula${\displaystyle e(A)=p_{A}(A)}$, es decir, que toma una matriz${\displaystyle A}$y lo inserta en su propio polinomio característico. No todas las matrices son diagonalizables, pero para matrices con coeficientes complejos muchas de ellas sí lo son: el conjunto${\displaystyle D}$de matrices cuadradas complejas diagonalizables de un tamaño dado es denso en el conjunto de todas esas matrices cuadradas ^{[ 16 ]} (para que una matriz sea diagonalizable basta, por ejemplo, con que su polinomio característico no tenga raíces múltiples ). Ahora visto como una función${\displaystyle e\colon \mathbb {C} ^{n^{2}}\to \mathbb {C} ^{n^{2}}}$(ya que las matrices tienen${\displaystyle n^{2}}$entradas) vemos que esta función es continua . Esto es cierto porque las entradas de la imagen de una matriz están dadas por polinomios en las entradas de la matriz. Dado que $${\displaystyle e(D)=\left\{{\begin{pmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{pmatrix}}\right\}}$$

y desde el conjunto${\displaystyle D}$es denso, por continuidad esta función debe mapear todo el conjunto de${\displaystyle n\times n}$matrices a la matriz cero. Por lo tanto, el teorema de Cayley-Hamilton es cierto para números complejos y, por consiguiente, también debe cumplirse para${\displaystyle \mathbb {Q} }$- o${\displaystyle \mathbb {R} }$matrices con valores en .

Si bien esto proporciona una demostración válida, el argumento no es del todo satisfactorio, ya que las identidades representadas por el teorema no dependen en absoluto de la naturaleza de la matriz (diagonalizable o no), ni del tipo de entradas permitidas (para matrices con entradas reales, las diagonalizables no forman un conjunto denso, y parece extraño que haya que considerar matrices complejas para comprobar que el teorema de Cayley-Hamilton se cumple para ellas). Por lo tanto, ahora consideraremos únicamente argumentos que demuestren el teorema directamente para cualquier matriz utilizando solo manipulaciones algebraicas; estos también tienen la ventaja de funcionar para matrices con entradas en cualquier anillo conmutativo .

Existe una gran variedad de demostraciones del teorema de Cayley-Hamilton, de las cuales se presentarán varias aquí. Estas varían en la cantidad de nociones algebraicas abstractas necesarias para su comprensión. Las demostraciones más sencillas emplean únicamente las nociones necesarias para formular el teorema (matrices, polinomios con entradas numéricas, determinantes), pero implican cálculos técnicos que hacen que resulte algo misterioso el hecho de que conduzcan precisamente a la conclusión correcta. Es posible evitar estos detalles, pero a costa de utilizar nociones algebraicas más sutiles: polinomios con coeficientes en un anillo no conmutativo o matrices con tipos de entradas inusuales.

Esta demostración utiliza precisamente el tipo de objetos necesarios para formular el teorema de Cayley-Hamilton: matrices con polinomios como entradas. La matriz${\displaystyle tI_{n}-A}$cuyo determinante es el polinomio característico de A es tal matriz, y dado que los polinomios forman un anillo conmutativo, tiene un adjugado$${\displaystyle B=\operatorname {adj} (tI_{n}-A).}$$ Entonces, según la relación fundamental derecha del adjugado, se tiene $${\displaystyle (tI_{n}-A)B=\det(tI_{n}-A)I_{n}=p(t)I_{n}.}$$

Dado que B también es una matriz con polinomios en t como entradas, se puede, para cada i , recopilar los coeficientes de${\displaystyle t^{i}}$en cada entrada para formar una matriz B _i de números, de tal manera que se tenga $${\displaystyle B=\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}B_{i}.}$$(La forma en que se definen las entradas de B deja claro que no aparecen potencias superiores a t ^{n −1} ). Si bien esto parece un polinomio con matrices como coeficientes, no consideraremos tal noción; es simplemente una forma de escribir una matriz con entradas polinómicas como una combinación lineal de n matrices constantes, y el coeficiente${\displaystyle t^{i}}$Se ha escrito a la izquierda de la matriz para enfatizar este punto de vista.

Ahora, podemos expandir el producto matricial en nuestra ecuación: $${\displaystyle {\begin{aligned}p(t)I_{n}&=(tI_{n}-A)B\\&=(tI_{n}-A)\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}tI_{n}\cdot t^{i}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}A\cdot t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}t^{i+1}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}AB_{i}\\&=t^{n}B_{n-1}+\sum _{i=1}^{n-1}t^{i}(B_{i-1}-AB_{i})-AB_{0}.\end{aligned}}}$$

Escribiendo $${\displaystyle p(t)I_{n}=t^{n}I_{n}+t^{n-1}c_{n-1}I_{n}+\cdots +tc_{1}I_{n}+c_{0}I_{n},}$$ Se obtiene una igualdad de dos matrices con entradas polinómicas, escritas como combinaciones lineales de matrices constantes con potencias de t como coeficientes.

Dicha igualdad solo puede cumplirse si en cualquier posición de la matriz la entrada que se multiplica por una potencia dada es igual a cero.${\displaystyle t^{i}}$es lo mismo en ambos lados; por lo tanto, las matrices constantes con coeficiente${\displaystyle t^{i}}$En ambas expresiones debe ser igual. Escribiendo estas ecuaciones para i desde n hasta 0, se obtiene: $${\displaystyle B_{n-1}=I_{n},\qquad B_{i-1}-AB_{i}=c_{i}I_{n}\quad {\text{for }}1\leq i\leq n-1,\qquad -AB_{0}=c_{0}I_{n}.}$$

Finalmente, multiplica la ecuación de los coeficientes de${\displaystyle t^{i}}$desde la izquierda por${\displaystyle A^{i}}$y resumir:

$${\displaystyle A^{n}B_{n-1}+\sum \limits _{i=1}^{n-1}\left(A^{i}B_{i-1}-A^{i+1}B_{i}\right)-AB_{0}=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}.}$$

Los lados izquierdos forman una suma telescópica y se cancelan completamente; los lados derechos suman${\displaystyle p(A)}$: $${\displaystyle 0=p(A).}$$ Con esto concluye la demostración.

Esta demostración es similar a la primera, pero intenta dar sentido a la noción de polinomio con coeficientes matriciales sugerida por las expresiones que aparecen en dicha demostración. Esto requiere un cuidado considerable, ya que es algo inusual considerar polinomios con coeficientes en un anillo no conmutativo, y no todo el razonamiento válido para polinomios conmutativos puede aplicarse en este contexto.

Cabe destacar que, si bien la aritmética de polinomios sobre un anillo conmutativo modela la aritmética de funciones polinómicas , esto no ocurre sobre un anillo no conmutativo (de hecho, en este caso no existe una noción obvia de función polinómica que sea cerrada bajo la multiplicación). Por lo tanto, al considerar polinomios en t con coeficientes matriciales, la variable t no debe considerarse como una incógnita, sino como un símbolo formal que debe manipularse según reglas dadas; en particular, no se puede simplemente asignar a t un valor específico. $${\displaystyle (f+g)(x)=\sum _{i}\left(f_{i}+g_{i}\right)x^{i}=\sum _{i}{f_{i}x^{i}}+\sum _{i}{g_{i}x^{i}}=f(x)+g(x).}$$

Dejar${\displaystyle M(n,R)}$Sea el anillo de matrices n × n con entradas en algún anillo R (como los números reales o complejos) que tiene a A como elemento. Matrices con coeficientes polinomios en t , como${\displaystyle tI_{n}-A}$o su adjugado B en la primera demostración, son elementos de${\displaystyle M(n,R[t])}$.

Al agrupar potencias semejantes de t , dichas matrices se pueden escribir como "polinomios" en t con matrices constantes como coeficientes; escribir${\displaystyle M(n,R)[t]}$para el conjunto de tales polinomios. Dado que este conjunto está en biyección con${\displaystyle M(n,R[t])}$, se definen operaciones aritméticas sobre él de forma correspondiente, en particular la multiplicación viene dada por $${\displaystyle \left(\sum _{i}M_{i}t^{i}\right)\!\!\left(\sum _{j}N_{j}t^{j}\right)=\sum _{i,j}(M_{i}N_{j})t^{i+j},}$$ respetando el orden de las matrices de coeficientes de los dos operandos; obviamente esto da como resultado una multiplicación no conmutativa.

Por lo tanto, la identidad $${\displaystyle (tI_{n}-A)B=p(t)I_{n}.}$$ a partir de la primera prueba puede verse como una que implica una multiplicación de elementos en${\displaystyle M(n,R)[t]}$.

En este punto, resulta tentador simplemente igualar t a la matriz A , lo que hace que el primer factor de la izquierda sea igual a la matriz cero y el lado derecho igual a p ( A ) ; sin embargo, esta no es una operación permitida cuando los coeficientes no conmutan. Es posible definir una "aplicación de evaluación derecha" ev _A  : M [ t ] → M , que reemplaza cada t ⁱ por la potencia matricial A ⁱ de A , donde se estipula que la potencia siempre debe multiplicarse por la derecha por el coeficiente correspondiente. Pero esta aplicación no es un homomorfismo de anillos : la evaluación derecha de un producto difiere en general del producto de las evaluaciones derechas. Esto se debe a que la multiplicación de polinomios con coeficientes matriciales no modela la multiplicación de expresiones que contienen incógnitas: un producto${\displaystyle Mt^{i}Nt^{j}=(M\cdot N)t^{i+j}}$se define asumiendo que t conmuta con N , pero esto puede fallar si t se reemplaza por la matriz A.

En la situación particular que nos ocupa, se puede sortear esta dificultad, ya que la aplicación de evaluación derecha anterior se convierte en un homomorfismo de anillo si la matriz A está en el centro del anillo de coeficientes, de modo que conmuta con todos los coeficientes de los polinomios (el argumento que demuestra esto es sencillo, precisamente porque la conmutación de t con los coeficientes ahora está justificada después de la evaluación).

Ahora bien, A no siempre está en el centro de M , pero podemos reemplazar M con un anillo más pequeño siempre que contenga todos los coeficientes de los polinomios en cuestión:${\displaystyle I_{n}}$, A y los coeficientes${\displaystyle B_{i}}$del polinomio B. La elección obvia para tal subanillo es el centralizador Z de A , el subanillo de todas las matrices que conmutan con A ; por definición, A está en el centro de Z.

Este centralizador obviamente contiene${\displaystyle I_{n}}$y A , pero hay que demostrar que contiene las matrices${\displaystyle B_{i}}$Para ello, se combinan las dos relaciones fundamentales para los adjugados, escribiendo el adjugado B como un polinomio: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum _{i=0}^{m}B_{i}t^{i}\right)\!(tI_{n}-A)&=(tI_{n}-A)\sum _{i=0}^{m}B_{i}t^{i}\\\sum _{i=0}^{m}B_{i}t^{i+1}-\sum _{i=0}^{m}B_{i}At^{i}&=\sum _{i=0}^{m}B_{i}t^{i+1}-\sum _{i=0}^{m}AB_{i}t^{i}\\\sum _{i=0}^{m}B_{i}At^{i}&=\sum _{i=0}^{m}AB_{i}t^{i}.\end{aligned}}}$$

Igualando los coeficientes se observa que para cada i , tenemos AB _i = B _i A como se deseaba. Habiendo encontrado el contexto adecuado en el que ev _A es efectivamente un homomorfismo de anillos, se puede completar la demostración como se sugirió anteriormente: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ev} _{A}\left(p(t)I_{n}\right)&=\operatorname {ev} _{A}((tI_{n}-A)B)\\[5pt]p(A)&=\operatorname {ev} _{A}(tI_{n}-A)\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)\\[5pt]p(A)&=(AI_{n}-A)\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=O\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=O.\end{aligned}}}$$ Con esto concluye la demostración.

En la primera demostración, se pudieron determinar los coeficientes B _i de B basándose únicamente en la relación fundamental de la derecha para el adjugado. De hecho, las primeras n ecuaciones derivadas pueden interpretarse como la determinación del cociente B de la división euclidiana del polinomio p ( t ) I _n por la izquierda por el polinomio mónico I _n t − A , mientras que la ecuación final expresa que el resto es cero. Esta división se realiza en el anillo de polinomios con coeficientes matriciales. En efecto, incluso sobre un anillo no conmutativo, la división euclidiana por un polinomio mónico P está definida y siempre produce un cociente y un resto únicos con la misma condición de grado que en el caso conmutativo, siempre que se especifique en qué lado se desea que P sea un factor (en este caso, a la izquierda).

Para comprobar que el cociente y el resto son únicos (que es la parte importante de la afirmación), basta con escribir${\displaystyle PQ+r=PQ'+r'}$como${\displaystyle P(Q-Q')=r'-r}$y observe que, dado que P es mónico, P ( Q − Q ′) no puede tener un grado menor que el de P , a menos que Q = Q ′ .

Pero el dividendo p ( t ) I _n y el divisor I _n t − A utilizados aquí se encuentran ambos en el subanillo ( R [ A ])[ t ] , donde R [ A ] es el subanillo del anillo de matrices M ( n , R ) generado por A : el espacio R - lineal generado por todas las potencias de A . Por lo tanto, la división euclidiana puede realizarse de hecho dentro de ese anillo de polinomios conmutativos , y por supuesto da entonces el mismo cociente B y resto 0 que en el anillo más grande; en particular esto muestra que B de hecho se encuentra en ( R [ A ])[ t ] .

Pero, en este contexto conmutativo, es válido establecer t como A en la ecuación.

$${\displaystyle p(t)I_{n}=(tI_{n}-A)B;}$$

En otras palabras, aplicar el mapa de evaluación

$${\displaystyle \operatorname {ev} _{A}:(R[A])[t]\to R[A]}$$

que es un homomorfismo de anillos, dando

$${\displaystyle p(A)=0\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=0}$$

igual que en la segunda prueba, como se deseaba.

Además de demostrar el teorema, el argumento anterior nos dice que los coeficientes B _i de B son polinomios en A , mientras que de la segunda demostración solo sabíamos que se encuentran en el centralizador Z de A ; en general, Z es un subanillo mayor que R [ A ] , y no necesariamente conmutativo. En particular, el término constante B ₀ = adj(− A ) se encuentra en R [ A ] . Dado que A es una matriz cuadrada arbitraria, esto prueba que adj( A ) siempre puede expresarse como un polinomio en A (con coeficientes que dependen de A ) .

De hecho, las ecuaciones encontradas en la primera demostración permiten expresar sucesivamente${\displaystyle B_{n-1},\ldots ,B_{1},B_{0}}$como polinomios en A , lo que lleva a la identidad

válido para todas las matrices n × n , donde $${\displaystyle p(t)=t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots +c_{1}t+c_{0}}$$es el polinomio característico de A.

Nótese que esta identidad también implica el enunciado del teorema de Cayley-Hamilton: se puede mover adj(− A ) al lado derecho, multiplicar la ecuación resultante (a la izquierda o a la derecha) por A y usar el hecho de que $${\displaystyle -A\cdot \operatorname {adj} (-A)=\operatorname {adj} (-A)\cdot (-A)=\det(-A)I_{n}=c_{0}I_{n}.}$$

Como se mencionó anteriormente, la matriz p ( A ) en el enunciado del teorema se obtiene evaluando primero el determinante y luego sustituyendo la matriz A por t ; haciendo esa sustitución en la matriz${\displaystyle tI_{n}-A}$antes de evaluar el determinante no tiene sentido. Sin embargo, es posible dar una interpretación donde p ( A ) se obtiene directamente como el valor de un cierto determinante, pero esto requiere un entorno más complicado, uno de matrices sobre un anillo en el que se pueden interpretar ambas entradas.${\displaystyle A_{i,j}}$de A y todo A mismo. Se podría tomar para esto el anillo M ( n , R ) de matrices n × n sobre R , donde la entrada${\displaystyle A_{i,j}}$se realiza como${\displaystyle A_{i,j}I_{n}}$y A como sí misma. Pero considerar matrices con matrices como entradas podría causar confusión con matrices de bloques , lo cual no es la intención, ya que eso da una noción errónea de determinante (recordemos que el determinante de una matriz se define como la suma de productos de sus entradas, y en el caso de una matriz de bloques, esto generalmente no es lo mismo que la suma correspondiente de productos de sus bloques). Es más claro distinguir A del endomorfismo φ de un espacio vectorial n - dimensional V (o R -módulo libre si R no es un cuerpo) definido por él en una base${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$y tomar matrices sobre el anillo End( V ) de todos esos endomorfismos. Entonces φ ∈ End( V ) es una posible entrada de matriz, mientras que A designa el elemento de M ( n , End( V )) cuya entrada i , j es un endomorfismo de multiplicación escalar por${\displaystyle A_{i,j}}$; similarmente${\displaystyle I_{n}}$se interpretará como un elemento de M ( n , End( V )) . Sin embargo, dado que End( V ) no es un anillo conmutativo, no se define ningún determinante en M ( n , End( V )) ; esto solo se puede hacer para matrices sobre un subanillo conmutativo de End( V ) . Ahora las entradas de la matriz${\displaystyle \varphi I_{n}-A}$todos se encuentran en el subanillo R [ φ ] generado por la identidad y φ , que es conmutativo. Entonces se define una aplicación determinante M ( n , R [ φ ]) → R [ φ ] , y${\displaystyle \det(\varphi I_{n}-A)}$se evalúa al valor p ( φ ) del polinomio característico de A en φ (esto se cumple independientemente de la relación entre A y φ ); el teorema de Cayley-Hamilton establece que p ( φ ) es el endomorfismo nulo.

De esta forma, la siguiente demostración se puede obtener de la de Atiyah y MacDonald (1969 , Prop. 2.4) (que de hecho es la afirmación más general relacionada con el lema de Nakayama ; en esa proposición se toma por ideal todo el anillo R ). El hecho de que A sea la matriz de φ en la base e ₁ , ..., e _n significa que $${\displaystyle \varphi (e_{i})=\sum _{j=1}^{n}A_{j,i}e_{j}\quad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.}$$ Se pueden interpretar como n componentes de una ecuación en V ⁿ , cuyos miembros se pueden escribir usando el producto matriz-vector M ( n , End( V )) × V ⁿ → V ⁿ que se define como usualmente, pero con entradas individuales ψ ∈ End( V ) y v en V siendo "multiplicadas" por formando${\displaystyle \psi (v)}$; esto da como resultado: $${\displaystyle \varphi I_{n}\cdot E=A^{\operatorname {tr} }\cdot E,}$$ dónde${\displaystyle E\in V^{n}}$es el elemento cuyo componente i es e _i (en otras palabras, es la base e ₁ , ..., e _n de V escrita como una columna de vectores). Escribiendo esta ecuación como $${\displaystyle (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot E=0\in V^{n}}$$ uno reconoce la transpuesta de la matriz${\displaystyle \varphi I_{n}-A}$considerado anteriormente, y su determinante (como elemento de M ( n , R [ φ ])) también es p ( φ ). Para derivar de esta ecuación que p ( φ ) = 0 ∈ End( V ) , se multiplica por la izquierda por la matriz adjugada de${\displaystyle \varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} }}$, que se define en el anillo matricial M ( n , R [ φ ]) , dando como resultado $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\operatorname {adj} (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot \left((\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot E\right)\\[1ex]&=\left(\operatorname {adj} (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\right)\cdot E\\[1ex]&=\left(\det(\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })I_{n}\right)\cdot E\\[1ex]&=(p(\varphi )I_{n})\cdot E;\end{aligned}}}$$ La asociatividad de la multiplicación matriz-matriz y matriz-vector utilizada en el primer paso es una propiedad puramente formal de esas operaciones, independiente de la naturaleza de las entradas. Ahora bien, el componente i de esta ecuación dice que p ( φ )( e _i ) = 0 ∈ V ; por lo tanto, p ( φ ) se anula en todos los e _i , y dado que estos elementos generan V, se deduce que p ( φ ) = 0 ∈ End( V ) , completando así la demostración.

Un hecho adicional que se desprende de esta demostración es que la matriz A cuyo polinomio característico se toma no tiene por qué ser idéntica al valor φ sustituido en ese polinomio; basta con que φ sea un endomorfismo de V que satisfaga las ecuaciones iniciales.

$${\displaystyle \varphi (e_{i})=\sum _{j}A_{j,i}e_{j}}$$ para alguna secuencia de elementos e ₁ , ..., e _n que generan V (cuyo espacio podría tener una dimensión menor que n , o en caso de que el anillo R no sea un cuerpo, podría no ser un módulo libre en absoluto).

Un argumento elemental pero incorrecto persistente ^{[ 17 ]} para el teorema es "simplemente" tomar la definición $${\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)}$$ y sustituir A por λ , obteniendo $${\displaystyle p(A)=\det(AI_{n}-A)=\det(A-A)=\det(\mathbf {0} )=0.}$$

Hay muchas maneras de ver por qué este argumento es erróneo. Primero, en el teorema de Cayley-Hamilton, p ( A ) es una matriz n × n . Sin embargo, el lado derecho de la ecuación anterior es el valor de un determinante, que es un escalar . Por lo tanto, no se pueden igualar a menos que n = 1 (es decir, A es solo un escalar). Segundo, en la expresión${\displaystyle \det(\lambda I_{n}-A)}$La variable λ aparece en realidad en las entradas diagonales de la matriz.${\displaystyle \lambda I_{n}-A}$Para ilustrarlo, consideremos nuevamente el polinomio característico del ejemplo anterior: