mecánica hamiltoniana

En física , la mecánica hamiltoniana es una reformulación de la mecánica lagrangiana que surgió en 1833. Introducida por Sir William Rowan Hamilton , ^{[ 1 ]} la mecánica hamiltoniana reemplaza las velocidades (generalizadas)${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$Se utiliza en la mecánica lagrangiana con momentos (generalizados) . Ambas teorías ofrecen interpretaciones de la mecánica clásica y describen los mismos fenómenos físicos.

La mecánica hamiltoniana guarda una estrecha relación con la geometría (en particular, con la geometría simpléctica y las estructuras de Poisson ) y sirve de vínculo entre la mecánica clásica y la cuántica .

Un péndulo esférico consiste en una masa m que se mueve sin fricción sobre la superficie de una esfera . Las únicas fuerzas que actúan sobre la masa son la reacción de la esfera y la gravedad . Se utilizan coordenadas esféricas para describir la posición de la masa en términos de ( r , θ , φ ) , donde r es fijo, r = ℓ .

El lagrangiano para este sistema es ^{[ 2 ]}$${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\varphi }}^{2}\right)+mg\ell \cos \theta .}$$

Por lo tanto, el hamiltoniano es $${\displaystyle H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\varphi }{\dot {\varphi }}-L}$$ dónde $${\displaystyle P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=m\ell ^{2}{\dot {\theta }}}$$ y $${\displaystyle P_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}.}$$ En términos de coordenadas y momentos, el hamiltoniano se lee: $${\displaystyle {\begin{aligned}H&=\underbrace {{\Bigl [}{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}{\Bigr ]}} _{T}+\underbrace {{\Bigl [}-mg\ell \cos \theta {\Bigr ]}} _{V}\\[2ex]&={\frac {P_{\theta }^{2}}{2m\ell ^{2}}}+{\frac {P_{\varphi }^{2}}{2m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }}-mg\ell \cos \theta .\end{aligned}}}$$ Las ecuaciones de Hamilton dan la evolución temporal de las coordenadas y los momentos conjugados en cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\theta }}&={P_{\theta } \over m\ell ^{2}}\\[6pt]{\dot {\varphi }}&={P_{\varphi } \over m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }\\[6pt]{\dot {P_{\theta }}}&={P_{\varphi }^{2} \over m\ell ^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mg\ell \sin \theta \\[6pt]{\dot {P_{\varphi }}}&=0.\end{aligned}}}$$ Impulso​${\displaystyle P_{\varphi }}$⁠ , que corresponde a la componente vertical del momento angular ⁠${\displaystyle L_{z}=\ell \sin \theta \times m\ell \sin \theta \,{\dot {\varphi }}}$⁠ , es una constante de movimiento. Eso es consecuencia de la simetría rotacional del sistema alrededor del eje vertical. Al estar ausente del hamiltoniano, el azimut${\displaystyle \varphi }$es una coordenada cíclica , lo que implica la conservación de su momento conjugado.

Las ecuaciones de Hamilton se pueden derivar mediante un cálculo con el lagrangiano .${\displaystyle {\mathcal {L}}}$⁠ , posiciones generalizadas q ⁱ , y velocidades generalizadas ⋅ q ⁱ , donde ⁠${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$⁠ . ^{[ 3 ]} Aquí trabajamos fuera de la concha , lo que significa ⁠${\displaystyle q^{i}}$,​​${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$,​​${\displaystyle t}$⁠ son coordenadas independientes en el espacio de fases, no restringidas a seguir ninguna ecuación de movimiento (en particular,${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$no es un derivado de${\displaystyle q^{i}}$) . El diferencial total del lagrangiano es: $${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\,\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$ Las coordenadas de momento generalizadas se definieron como${\displaystyle p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}}$⁠ , por lo que podemos reescribir la ecuación como: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} {\mathcal {L}}=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\\=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+\mathrm {d} (p_{i}{\dot {q}}^{i})-{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\,.\end{aligned}}}$$

Tras reorganizar, se obtiene: $${\displaystyle \mathrm {d} \!\left(\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}\right)=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

El término entre paréntesis en el lado izquierdo es simplemente el hamiltoniano.${\textstyle {\mathcal {H}}=\sum p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}}$definido previamente, por lo tanto: $${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

También se puede calcular el diferencial total del hamiltoniano.${\displaystyle {\mathcal {H}}}$con respecto a las coordenadas${\displaystyle q^{i}}$,​​${\displaystyle p_{i}}$,​​${\displaystyle t}$en lugar de${\displaystyle q^{i}}$,​​${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$,​​${\displaystyle t}$⁠ , lo que produce: $${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

Ahora se pueden igualar estas dos expresiones para ⁠${\displaystyle d{\mathcal {H}}}$⁠ , uno en términos de ⁠${\displaystyle {\mathcal {L}}}$⁠ , el otro en términos de ⁠${\displaystyle {\mathcal {H}}}$:​ $${\displaystyle \sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ =\ \sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

Dado que estos cálculos se realizan fuera de la capa de masas, se pueden igualar los coeficientes respectivos de ⁠${\displaystyle \mathrm {d} q^{i}}$,​​${\displaystyle \mathrm {d} p_{i}}$,​​${\displaystyle \mathrm {d} t}$⁠ en ambos lados: $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}\ .}$$

En la capa de masas, se sustituyen las funciones paramétricas.${\displaystyle q^{i}=q^{i}(t)}$que definen una trayectoria en el espacio de fases con velocidades ⁠${\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)}$⁠ , obedeciendo las ecuaciones de Lagrange : $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0\ .}$$

Reorganizar y escribir en términos de la pantalla${\displaystyle p_{i}=p_{i}(t)}$da: $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}\ .}$$

Por lo tanto, las ecuaciones de Lagrange son equivalentes a las ecuaciones de Hamilton: $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\dot {p}}_{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,.}$$

En el caso de independencia del tiempo${\displaystyle {\mathcal {H}}}$y​${\displaystyle {\mathcal {L}}}$⁠ , es decir ⁠${\displaystyle \partial {\mathcal {H}}/\partial t=-\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0}$Las ecuaciones de Hamilton constan de 2n ecuaciones diferenciales de primer orden, mientras que las ecuaciones de Lagrange constan de n ecuaciones de segundo orden. Las ecuaciones de Hamilton generalmente no reducen la dificultad de encontrar soluciones explícitas, pero permiten obtener importantes resultados teóricos, ya que las coordenadas y los momentos son variables independientes con funciones casi simétricas.

Las ecuaciones de Hamilton tienen otra ventaja sobre las ecuaciones de Lagrange: si un sistema tiene una simetría, de modo que alguna coordenada${\displaystyle q_{i}}$no aparece en el hamiltoniano (es decir, una coordenada cíclica ), la coordenada de momento correspondiente${\displaystyle p_{i}}$se conserva a lo largo de cada trayectoria, y esa coordenada puede reducirse a una constante en las demás ecuaciones del conjunto. Esto reduce efectivamente el problema de n coordenadas a ( n − 1) coordenadas: esta es la base de la reducción simpléctica en geometría. En el marco lagrangiano, la conservación del momento también se deduce inmediatamente, sin embargo, todas las velocidades generalizadas${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$aún aparecen en el lagrangiano, y todavía hay que resolver un sistema de ecuaciones en n coordenadas. ^{[ 4 ]}

Los enfoques lagrangiano y hamiltoniano proporcionan la base para resultados más profundos en mecánica clásica y sugieren formulaciones análogas en mecánica cuántica : la formulación de la integral de trayectoria y la ecuación de Schrödinger .

• El valor del hamiltoniano${\displaystyle {\mathcal {H}}}$es la energía total del sistema si y solo si la función de energía${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$tiene la misma propiedad. (Ver definición de ⁠${\displaystyle {\mathcal {H}}}$⁠ ).
• ${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}}$cuando​${\displaystyle \mathbf {p} (t)}$,​​${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$Formar una solución de las ecuaciones de Hamilton.
  En efecto,${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$y todo, excepto el último término, se anula.
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$no cambia bajo transformaciones puntuales , es decir cambios suaves${\displaystyle {\boldsymbol {q}}\leftrightarrow {\boldsymbol {q'}}}$de coordenadas espaciales. (Se deduce de la invariancia de la función de energía)${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$bajo transformaciones puntuales. La invariancia de${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$puede establecerse directamente).
• ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}.}$(Véase §  Derivación de las ecuaciones de Hamilton ).
• ⁠${\displaystyle -{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}}$⁠ . (Compare las ecuaciones de Hamilton y Euler-Lagrange o consulte §  Derivación de las ecuaciones de Hamilton ).
• ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=0}$si y solo si${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0}$⁠ .
  Una coordenada para la cual se cumple la última ecuación se denomina cíclica (o ignorable ). Toda coordenada cíclica${\displaystyle q^{i}}$reduce el número de grados de libertad en ⁠${\displaystyle 1}$⁠ , provoca el momento correspondiente${\displaystyle p_{i}}$para que se conserve, y hace que las ecuaciones de Hamilton sean más fáciles de resolver.

En su aplicación a un sistema dado, el hamiltoniano a menudo se toma como $${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}$$

dónde${\displaystyle T}$es la energía cinética y${\displaystyle V}$es la energía potencial. Usar esta relación puede ser más sencillo que calcular primero el lagrangiano y luego derivar el hamiltoniano a partir del lagrangiano. Sin embargo, la relación no es válida para todos los sistemas.

La relación se cumple para sistemas no relativistas cuando se satisfacen todas las siguientes condiciones ^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0\;,\quad \forall i}$$$${\displaystyle {\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0}$$$${\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}}$$

dónde${\displaystyle t}$es el tiempo,${\displaystyle n}$es el número de grados de libertad del sistema, y ​​cada${\displaystyle c_{ij}({\boldsymbol {q}})}$es una función escalar arbitraria de${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$.

En otras palabras, esto significa que la relación${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}$se cumple si${\displaystyle T}$no contiene el tiempo como variable explícita (es escleronómico ),${\displaystyle V}$no contiene velocidad generalizada como variable explícita, y cada término de${\displaystyle T}$es cuadrática en la velocidad generalizada.

Una ilustración suficiente de la mecánica hamiltoniana la proporciona el hamiltoniano de una partícula cargada en un campo electromagnético . En coordenadas cartesianas, el lagrangiano de una partícula clásica no relativista en un campo electromagnético es (en unidades del SI ): $${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi ,}$$ donde q es la carga eléctrica de la partícula, φ es el potencial escalar eléctrico y los A _i son los componentes del potencial vectorial magnético que pueden depender explícitamente de${\displaystyle x_{i}}$y​${\displaystyle t}$⁠ .

Este lagrangiano, combinado con la ecuación de Euler-Lagrange , produce la ley de fuerza de Lorentz.$${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,}$$ y se denomina acoplamiento mínimo .

Los momentos canónicos vienen dados por: $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}.}$$

Por lo tanto , el hamiltoniano, como transformación de Legendre del lagrangiano, es: $${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi .}$$

Esta ecuación se utiliza con frecuencia en mecánica cuántica .

Bajo transformación de calibre : $${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,}$$ donde f ( r , t ) es cualquier función escalar del espacio y el tiempo. El lagrangiano mencionado anteriormente, los momentos canónicos y el hamiltoniano se transforman de la siguiente manera: $${\displaystyle L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,}$$ lo cual sigue produciendo la misma ecuación de Hamilton: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}}$$

En mecánica cuántica, la función de onda también sufrirá una transformación de grupo U(1) local ^{[ 7 ]} durante la transformación de gauge, lo que implica que todos los resultados físicos deben ser invariantes bajo transformaciones U(1) locales.