teoría de campos hamiltoniana

En física teórica , la teoría de campos hamiltoniana es el análogo teórico de campos de la mecánica hamiltoniana clásica . Es un formalismo de la teoría de campos clásica, junto con la teoría de campos lagrangiana . También tiene aplicaciones en la teoría cuántica de campos .

Definición

El hamiltoniano para un sistema de partículas discretas es función de sus coordenadas generalizadas y momentos conjugados, y posiblemente, del tiempo. Para continuos y campos, la mecánica hamiltoniana no es adecuada, pero puede extenderse considerando un gran número de masas puntuales y tomando el límite continuo, es decir, infinitas partículas que forman un continuo o campo. Dado que cada masa puntual tiene uno o más grados de libertad , la formulación de campo tiene infinitos grados de libertad.

Un campo escalar

La densidad hamiltoniana es el análogo continuo para campos; es una función de los campos, los campos de "momento" conjugados y posiblemente las coordenadas espaciales y temporales mismas. Para un campo escalar $φ (x, t)$ , la densidad hamiltoniana se define a partir de la densidad lagrangiana por ^{[ nb 1 ]}

{\mathcal {H}}(\phi ,\pi ,\mathbf {x} ,t)={\dot {\phi }}\pi -{\mathcal {L}}(\phi ,\nabla \phi ,\partial \phi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,.

donde $\nabla$ es el operador "del" o "nabla" , $x$ es el vector de posición de un punto en el espacio y $t$ es el tiempo . La densidad lagrangiana es una función de los campos del sistema, sus derivadas espaciales y temporales, y posiblemente las propias coordenadas espaciales y temporales. Es el análogo de campo de la función lagrangiana para un sistema de partículas discretas descrito por coordenadas generalizadas.

Como en la mecánica hamiltoniana, donde cada coordenada generalizada tiene un momento generalizado correspondiente, el campo $φ (x, t)$ tiene un campo de momento conjugado $π (x, t)$ , definido como la derivada parcial de la densidad lagrangiana con respecto a la derivada temporal del campo,

\pi ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}\,,\quad {\dot {\phi }}\equiv {\frac {\partial \phi }{\partial t}}\,,

en la que el punto superior ^{[ nb 2 ]} denota una derivada parcial $del tiempo \partial/\partial t$ , no una derivada total del tiempo $d / dt$ .

Muchos campos escalares

Para muchos campos $φ i (x, t)$ y sus conjugados $π i (x, t),$ la densidad hamiltoniana es una función de todos ellos:

{\mathcal {H}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t)=\sum _{i}{\dot {\phi _{i}}}\pi _{i}-{\mathcal {L}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots \nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\partial \phi _{1}/\partial t,\partial \phi _{2}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)\,.

donde cada campo conjugado se define con respecto a su campo,

\pi _{i}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}_{i}}}\,.

En general, para cualquier número de campos, la integral de volumen de la densidad hamiltoniana da el hamiltoniano en tres dimensiones espaciales:

H=\int {\mathcal {H}}\ d^{3}x\,.

La densidad hamiltoniana es el hamiltoniano por unidad de volumen espacial. La dimensión correspondiente es [energía][longitud] ⁻³ , en unidades del SI Julios por metro cúbico, J m ⁻³ .

campos tensoriales y espinoriales

Las ecuaciones y definiciones anteriores pueden extenderse a campos vectoriales y, más generalmente, a campos tensoriales y espinoriales . En física, los campos tensoriales describen bosones y los campos espinoriales describen fermiones .

Ecuaciones de movimiento

Las ecuaciones de movimiento para los campos son similares a las ecuaciones hamiltonianas para partículas discretas. Para cualquier número de campos:

ecuaciones de campo hamiltonianas

${\dot {\phi }}_{i}=+{\frac {\delta {H}}{\delta \pi _{i}}}\,,\quad {\dot {\pi }}_{i}=-{\frac {\delta {H}}{\delta \phi _{i}}}\,,$

donde nuevamente los puntos superiores son derivadas parciales del tiempo, la derivada variacional con respecto a los campos

{\frac {\delta H}{\delta \phi _{i}}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \phi _{i}}}-\nabla \cdot {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial (\nabla \phi _{i})}}\,,

con · el producto escalar , debe usarse en lugar de simplemente derivadas parciales .

Espacio de fases

Los campos $φ i$ y sus conjugados $π i$ forman un espacio de fase de dimensión infinita , porque los campos tienen un número infinito de grados de libertad.

corchete de Poisson

Para dos funciones que dependen de los campos $φ i$ y $π i$ , sus derivadas espaciales y las coordenadas espaciales y temporales,

A=\int d^{3}x{\mathcal {A}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,

B=\int d^{3}x{\mathcal {B}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,

y los campos son cero en el límite del volumen sobre el que se toman las integrales, el corchete de Poisson de la teoría de campos se define como (que no debe confundirse con el anticonmutador de la mecánica cuántica). ^{[ 1 ]}

\{A,B\}_{\phi ,\pi }=\int d^{3}x\sum _{i}\left({\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \pi _{i}}}-{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \pi _{i}}}\right)\,,

dónde $\delta {\mathcal {F}}/\delta f$ es la derivada variacional

{\frac {\delta {\mathcal {F}}}{\delta f}}={\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial f}}-\sum _{i}\nabla _{i}{\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial (\nabla _{i}f)}}\,.

Bajo las mismas condiciones de campos nulos en la superficie, se cumple el siguiente resultado para la evolución temporal de $A$ (y de forma similar para $B$ ):

{\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}

que se puede encontrar a partir de la derivada temporal total de $A$ , la integración por partes y el uso del corchete de Poisson anterior.

Independencia temporal explícita

Los siguientes resultados son válidos si las densidades lagrangiana y hamiltoniana son explícitamente independientes del tiempo (aunque pueden tener una dependencia temporal implícita a través de los campos y sus derivadas).

Densidades de energía cinética y potencial

La densidad hamiltoniana es la densidad de energía total, la suma de la densidad de energía cinética ( ${\mathcal {T}}$ ) y la densidad de energía potencial ( ${\mathcal {V}}$ ),

{\mathcal {H}}={\mathcal {T}}+{\mathcal {V}}\,.

Ecuación de continuidad

Tomando la derivada parcial con respecto al tiempo de la definición de la densidad hamiltoniana anterior, y utilizando la regla de la cadena para la diferenciación implícita y la definición del campo de momento conjugado, se obtiene la ecuación de continuidad :

{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =0

en la que la densidad hamiltoniana puede interpretarse como la densidad de energía, y

\mathbf {S} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\nabla \phi )}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}

el flujo de energía, o flujo de energía por unidad de tiempo por unidad de superficie.

Teoría de campos relativista

La teoría de campos hamiltoniana covariante es la formulación relativista de la teoría de campos hamiltoniana.

La teoría de campos hamiltoniana generalmente se refiere al formalismo hamiltoniano simpléctico cuando se aplica a la teoría de campos clásica , que toma la forma del formalismo hamiltoniano instantáneo en un espacio de fase de dimensión infinita , y donde las coordenadas canónicas son funciones de campo en algún instante de tiempo. ^{[ 2 ]} Este formalismo hamiltoniano se aplica a la cuantización de campos , por ejemplo, en la teoría de gauge cuántica . En la teoría de campos hamiltoniana covariante, los momentos canónicos p ^μ_i corresponden a derivadas de campos con respecto a todas las coordenadas del mundo x ^μ . ^{[ 3 ]} Las ecuaciones de Hamilton covariantes son equivalentes a las ecuaciones de Euler-Lagrange en el caso de lagrangianos hiperregulares . La teoría de campos hamiltoniana covariante se desarrolla en las variantes de Hamilton-De Donder, ^{[ 4 ]} polisimpléctica, ^{[ 5 ]} multisimpléctica ^{[ 6 ]} y k -simpléctica ^{[ 7 ]} . El espacio de fases de la teoría de campos hamiltoniana covariante es una variedad polisimpléctica o multisimpléctica de dimensión finita .

La mecánica no autónoma hamiltoniana se formula como una teoría de campos hamiltoniana covariante en fibrados sobre el eje del tiempo, es decir, la línea real. $\mathbb {R}$ .

Véase también

Notas

↑ Es un abuso habitual de la notación abreviar todas las derivadas y coordenadas en la densidad lagrangiana de la siguiente manera:
${\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi ,x_{\mu })$
El $μ$ es un índice que toma valores 0 (para la coordenada temporal) y 1, 2, 3 (para las coordenadas espaciales), por lo que, estrictamente hablando, solo estaría presente una derivada o coordenada. En general, todas las derivadas espaciales y temporales aparecerán en la densidad lagrangiana; por ejemplo, en coordenadas cartesianas, la densidad lagrangiana tiene la forma completa:
${\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},{\frac {\partial \phi }{\partial t}},x,y,z,t\right)$
Aquí escribimos lo mismo, pero usando ∇ para abreviar todas las derivadas espaciales como un vector.
↑ Esta es la notación estándar en este contexto; la mayoría de la literatura no menciona explícitamente que se trate de una derivada parcial. En general, las derivadas temporales totales y parciales de una función no son lo mismo.

Citas

↑ Greiner y Reinhardt 1996 , Capítulo 2
↑ Gotay, M., Un marco multisimpléctico para la teoría clásica de campos y el cálculo de variaciones. II. Descomposición espacio-temporal, en "Mecánica, análisis y geometría: 200 años después de Lagrange" (North Holland, 1991).
↑ Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , "Teoría clásica avanzada de campos", World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7.
↑ Krupkova, O., Teoría de campos hamiltonianos, J. Geom. Phys. 43 (2002) 93.
↑ Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Ecuaciones hamiltonianas covariantes para la teoría de campos, J. Phys. A32 (1999) 6629; arXiv : hep-th/9904062 .
↑ Echeverria-Enriquez, A., Munos-Lecanda, M., Roman-Roy, N., Geometría de teorías de campo de primer orden hamiltonianas multisimplécticas, J. Math. Phys. 41 (2002) 7402.
↑ Rey, A., Roman-Roy, N. Saldago, M., Formalismo de Gunther ( formalismo k -simpléctico) en la teoría clásica de campos: enfoque de Skinner-Rusk y el operador de evolución, J. Math. Phys. 46 (2005) 052901.

Referencias

Badin, G.; Crisciani, F. (2018). Variational Formulation of Fluid and Geophysical Fluid Dynamics - Mechanics, Symmetries and Conservation Laws - . Springer. p. 218. Bibcode : 2018vffg.book.....B . doi : 10.1007/978-3-319-59695-2 . ISBN 978-3-319-59694-5. S2CID 125902566 .
Goldstein, Herbert (1980). «Capítulo 12: Sistemas y campos continuos». Mecánica clásica (2.ª ed.). San Francisco, CA: Addison Wesley. pp. 562–565 . ISBN 0201029189.
Greiner, W.; Reinhardt, J. (1996), Field Quantization , Springer, ISBN 3-540-59179-6
Fetter, AL; Walecka, JD (1980). Mecánica teórica de partículas y continuos . Dover. págs. 258–259 . ISBN 978-0-486-43261-8.

[1] Es un abuso habitual de la notación abreviar todas las derivadas y coordenadas en la densidad lagrangiana de la siguiente manera:
${\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi ,x_{\mu })$
El $μ$ es un índice que toma valores 0 (para la coordenada temporal) y 1, 2, 3 (para las coordenadas espaciales), por lo que, estrictamente hablando, solo estaría presente una derivada o coordenada. En general, todas las derivadas espaciales y temporales aparecerán en la densidad lagrangiana; por ejemplo, en coordenadas cartesianas, la densidad lagrangiana tiene la forma completa:
${\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},{\frac {\partial \phi }{\partial t}},x,y,z,t\right)$
Aquí escribimos lo mismo, pero usando ∇ para abreviar todas las derivadas espaciales como un vector.

[2] Esta es la notación estándar en este contexto; la mayoría de la literatura no menciona explícitamente que se trate de una derivada parcial. En general, las derivadas temporales totales y parciales de una función no son lo mismo.

[3] Greiner y Reinhardt 1996 , Capítulo 2

[4] Gotay, M., Un marco multisimpléctico para la teoría clásica de campos y el cálculo de variaciones. II. Descomposición espacio-temporal, en "Mecánica, análisis y geometría: 200 años después de Lagrange" (North Holland, 1991).

[5] Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , "Teoría clásica avanzada de campos", World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7.

[6] Krupkova, O., Teoría de campos hamiltonianos, J. Geom. Phys. 43 (2002) 93.

[7] Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Ecuaciones hamiltonianas covariantes para la teoría de campos, J. Phys. A32 (1999) 6629; arXiv : hep-th/9904062 .

[8] Echeverria-Enriquez, A., Munos-Lecanda, M., Roman-Roy, N., Geometría de teorías de campo de primer orden hamiltonianas multisimplécticas, J. Math. Phys. 41 (2002) 7402.

[9] Rey, A., Roman-Roy, N. Saldago, M., Formalismo de Gunther ( formalismo k -simpléctico) en la teoría clásica de campos: enfoque de Skinner-Rusk y el operador de evolución, J. Math. Phys. 46 (2005) 052901.

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