Número regular

Los números regulares son aquellos que dividen exactamente a potencias de 60 (o, equivalentemente, a potencias de 30 ). En otras palabras, son aquellos cuyos únicos divisores primos son 2 , 3 y 5. Por ejemplo, 60² ⁼  3600  =  48  × 75 , por lo que tanto 48 como 75 son números regulares que dividen a una potencia de 60.  

Estos números aparecen en diversas áreas de las matemáticas y sus aplicaciones, y reciben diferentes nombres según sus distintas áreas de estudio.

• En teoría de números , estos números se denominan 5-suaves , porque se caracterizan por tener únicamente 2, 3 o 5 como factores primos . Este es un caso específico de los números k - suaves, más generales , que son aquellos que no tienen ningún factor primo mayor que k .
• En el estudio de las matemáticas babilónicas , los divisores de potencias de 60 se denominan números regulares o números sexagesimales regulares , y son de gran importancia en este ámbito debido al sistema numérico sexagesimal (de base 60) que los babilonios utilizaban para escribir sus números, y que era fundamental para las matemáticas babilónicas.
• En teoría musical , los números regulares aparecen en las proporciones de los tonos en la entonación justa de cinco límites . En relación con la teoría musical y las teorías arquitectónicas afines , estos números se han denominado números enteros armónicos .
• En informática , los números regulares suelen denominarse números de Hamming , en honor a Richard Hamming , quien propuso el problema de encontrar algoritmos informáticos para generar estos números en orden ascendente. Este problema se ha utilizado como caso de prueba para la programación funcional .

Formalmente, un número regular es un número entero de la forma${\displaystyle 2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}}$, para enteros no negativos${\displaystyle i}$,${\displaystyle j}$, y${\displaystyle k}$. Dicho número es un divisor de${\displaystyle 60^{\max(\lceil i\,/2\rceil ,j,k)}}$Los números regulares también se denominan 5- suaves , lo que indica que su mayor factor primo es como máximo 5. ^{[ 2 ]} De manera más general, un número k -suave es un número cuyo mayor factor primo es como máximo k . ^{[ 3 ]}

Los primeros números regulares son ^{[ 2 ]}

Varias otras secuencias en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros tienen definiciones que involucran números 5-suaves. ^{[ 4 ]}

Aunque los números regulares parecen densos en el rango de 1 a 60, son bastante dispersos entre los enteros más grandes. Un número regular${\displaystyle n=2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}}$es menor o igual a algún umbral${\displaystyle N}$si y solo si el punto${\displaystyle (i,j,k)}$pertenece al tetraedro delimitado por los planos de coordenadas y el plano $${\displaystyle i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5\leq \ln N,}$$ como se puede observar al tomar logaritmos de ambos lados de la desigualdad${\displaystyle 2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}\leq N}$Por lo tanto, el número de números regulares que son como máximo${\displaystyle N}$se puede estimar como el volumen de este tetraedro, que es $${\displaystyle {\frac {\log _{2}N\,\log _{3}N\,\log _{5}N}{6}}.}$$ Aún más precisamente, usando la notación de la gran O , el número de números regulares hasta${\displaystyle N}$es $${\displaystyle {\frac {\left(\ln(N{\sqrt {30}})\right)^{3}}{6\ln 2\ln 3\ln 5}}+O(\log N),}$$ y se ha conjeturado que el término de error de esta aproximación es en realidad${\displaystyle O(\log \log N)}$. ^{[ 2 ]} Una fórmula similar para el número de números 3-suaves hasta${\displaystyle N}$es dado por Srinivasa Ramanujan en su primera carta a GH Hardy . ^{[ 5 ]}

En la notación sexagesimal babilónica , el recíproco de un número regular tiene una representación finita. Si${\displaystyle n}$divide${\displaystyle 60^{k}}$, entonces la representación sexagesimal de${\displaystyle 1/n}$es justo eso para${\displaystyle 60^{k}/n}$, desplazados por cierto número de lugares. Esto permite una fácil división por estos números: dividir por${\displaystyle n}$multiplicar por${\displaystyle 1/n}$, luego cambia. ^{[ 6 ]}

Por ejemplo, consideremos la división por el número regular 54 = 2 ¹ 3 ³ . 54 es un divisor de 60 ³ , y 60 ³ /54 = 4000, por lo que la división por 54 en sexagesimal se puede lograr multiplicando por 4000 y desplazando tres lugares. En sexagesimal 4000 = 1 × 3600 + 6 × 60 + 40 × 1, o (como lo enumera Joyce) 1:6:40. Por lo tanto, 1/54, en sexagesimal, es 1/60 + 6/60 ² + 40/60 ³ , también denotado 1:6:40 ya que las convenciones de notación babilónicas no especificaban la potencia del dígito inicial. Por el contrario, 1/4000 = 54/60 ³ , por lo que la división por 1:6:40 = 4000 se puede lograr multiplicando por 54 y desplazando tres lugares sexagesimales.

Los babilonios utilizaban tablas de recíprocos de números regulares, algunas de las cuales aún se conservan. ^{[ 7 ]} Estas tablas existieron prácticamente sin cambios durante la época babilónica. ^{[ 6 ]} Una tablilla de la época seléucida , escrita por alguien llamado Inaqibıt-Anu, contiene los recíprocos de 136 de los 231 números regulares de seis dígitos cuyo primer dígito es 1 o 2, ordenados. También incluye los recíprocos de algunos números de más de seis dígitos, como 3 ²³ (2,1,4,8,3,0,27 en sexagesimal), cuyo recíproco tiene 17 dígitos sexagesimales. Al observar la dificultad tanto de calcular como de ordenar estos números, Donald Knuth, en 1972, aclamó a Inaqibıt-Anu como "¡el primer hombre en la historia en resolver un problema computacional que requiere más de un segundo en una computadora electrónica moderna!". (También se conocen dos tablas que dan aproximaciones de los recíprocos de números no regulares, una de las cuales da los recíprocos de todos los números del 56 al 80.) ^{[ 8 ] [ 9 ]}

Aunque la razón principal para preferir los números regulares a otros números radica en la finitud de sus recíprocos, algunos cálculos babilónicos, además de los recíprocos, también involucraban números regulares. Por ejemplo, se han encontrado tablas de cuadrados regulares ^{[ 6 ]} y Neugebauer ha interpretado la tablilla rota Plimpton 322 como una lista de ternas pitagóricas.${\displaystyle (p^{2}-q^{2},\,2pq,\,p^{2}+q^{2})}$generado por${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$tanto regulares como menores de 60. ^{[ 10 ]} Fowler y Robson analizan el cálculo de raíces cuadradas, como la forma en que los babilonios hallaron una aproximación a la raíz cuadrada de 2 , tal vez utilizando aproximaciones numéricas regulares de fracciones como 17/12. ^{[ 9 ]}

En teoría musical , la entonación justa de la escala diatónica involucra números regulares: las notas en una sola octava de esta escala tienen frecuencias proporcionales a los números en la secuencia 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48 de números regulares casi consecutivos. ^{[ 11 ]} Por lo tanto, para un instrumento con esta afinación, todas las notas son armónicos de números regulares de una sola frecuencia fundamental . Esta escala se llama afinación de límite 5 , lo que significa que el intervalo entre dos notas cualesquiera se puede describir como un producto 2 ⁱ 3 ^j 5 ^k de potencias de los números primos hasta 5, o equivalentemente como una razón de números regulares. ^{[ 12 ]}

También se han utilizado escalas musicales de límite 5 distintas de la conocida escala diatónica de la música occidental, tanto en músicas tradicionales de otras culturas como en música experimental moderna: Honingh y Bod (2005) enumeran 31 escalas de límite 5 diferentes, extraídas de una base de datos más amplia de escalas musicales. Cada una de estas 31 escalas comparte con la entonación justa diatónica la propiedad de que todos los intervalos son razones de números regulares. ^{[ 12 ]} El tonnetz de Euler proporciona una representación gráfica conveniente de las alturas en cualquier afinación de límite 5, al factorizar las relaciones de octava (potencias de dos) de modo que los valores restantes formen una cuadrícula plana . ^{[ 12 ]} Algunos teóricos de la música han afirmado de manera más general que los números regulares son fundamentales para la música tonal en sí misma, y ​​que las razones de altura basadas en primos mayores que 5 no pueden ser consonantes . ^{[ 13 ]} Sin embargo, el temperamento igual de los pianos modernos no es una afinación de límite 5, ^{[ 14 ]} y algunos compositores modernos han experimentado con afinaciones basadas en primos mayores que cinco. ^{[ 15 ]}

En relación con la aplicación de los números regulares a la teoría musical, es interesante encontrar pares de números regulares que se diferencien en uno. Hay exactamente diez de estos pares.${\displaystyle (x,x+1)}$y cada par de estos define una razón superparticular${\displaystyle {\tfrac {x+1}{x}}}$que tiene significado como intervalo musical. Estos intervalos son 2/1 (la octava ), 3/2 (la quinta justa ), 4/3 (la cuarta justa ), 5/4 (la tercera justa mayor ), 6/5 (la tercera justa menor ), 9/8 (el tono justo mayor ), 10/9 (el tono justo menor ), 16/15 (el semitono diatónico justo ), 25/24 (el semitono cromático justo ) y 81/80 (la coma sintónica ). ^{[ 16 ]}

En la teoría renacentista de la armonía universal , las proporciones musicales se utilizaban en otras aplicaciones, incluida la arquitectura de edificios. En relación con el análisis de estas proporciones musicales y arquitectónicas compartidas, por ejemplo en la arquitectura de Palladio , los números regulares también se han denominado números enteros armónicos . ^{[ 17 ]}

Los algoritmos para calcular los números regulares en orden ascendente fueron popularizados por Edsger Dijkstra . Dijkstra ( 1976 , 1981 ) atribuye a Hamming el problema de construir la secuencia ascendente infinita de todos los números 5-suaves; este problema se conoce ahora como el problema de Hamming , y los números así generados también se denominan números de Hamming . Las ideas de Dijkstra para calcular estos números son las siguientes: 

• La secuencia de números de Hamming comienza con el número 1.
• Los valores restantes en la secuencia son de la forma${\displaystyle 2h}$,${\displaystyle 3h}$, y${\displaystyle 5h}$, dónde${\displaystyle h}$es cualquier número de Hamming.
• Por lo tanto, la secuencia${\displaystyle H}$puede generarse emitiendo el valor 1 y luego fusionando las secuencias${\displaystyle 2H}$,${\displaystyle 3H}$, y${\displaystyle 5H}$.

Este algoritmo se usa a menudo para demostrar el poder de un lenguaje de programación funcional perezoso , ya que las implementaciones eficientes (implícitamente) concurrentes, que utilizan un número constante de operaciones aritméticas por valor generado, se construyen fácilmente como se describió anteriormente. También son posibles implementaciones secuenciales funcionales estrictas o imperativas igualmente eficientes, mientras que las soluciones generativas explícitamente concurrentes podrían no ser triviales. ^{[ 18 ]}

En el lenguaje de programación Python , el código funcional perezoso para generar números regulares se utiliza como una de las pruebas integradas para la corrección de la implementación del lenguaje. ^{[ 19 ]}

Un problema relacionado, discutido por Knuth (1972) , es enumerar todos${\displaystyle k}$Números sexagesimales de -dígitos en orden ascendente (ver #matemáticas babilónicas más arriba). En términos algorítmicos, esto es equivalente a generar (en orden) la subsecuencia de la secuencia infinita de números regulares, que va desde${\displaystyle 60^{k}}$a${\displaystyle 60^{k+1}}$. ^{[ 8 ]} Véase Gingerich (1965) para una descripción temprana del código informático que genera estos números fuera de orden y luego los ordena; ^{[ 20 ]} Knuth describe un algoritmo ad hoc, que atribuye a Bruins (1970) , para generar los números de seis dígitos más rápidamente, pero que no se generaliza de manera directa a valores mayores de${\displaystyle k}$. ^{[ 8 ]} Eppstein (2007) describe un algoritmo para calcular tablas de este tipo en tiempo lineal para valores arbitrarios de${\displaystyle k}$. ^{[ 21 ]}

Heninger, Rains y Sloane (2006) muestran que, cuando${\displaystyle n}$es un número regular y es divisible por 8, la función generadora de un${\displaystyle n}$Una red unimodular par extremal de dimensión - es una${\displaystyle n}$potencia n de un polinomio. ^{[ 22 ]}

Al igual que con otras clases de números suaves , los números regulares son importantes como tamaños de problema en programas informáticos para realizar la transformada rápida de Fourier , una técnica para analizar las frecuencias dominantes de las señales en datos variables en el tiempo . Por ejemplo, el método de Temperton (1992) requiere que la longitud de la transformada sea un número regular. ^{[ 23 ]}

El libro VIII de la República de Platón contiene una alegoría del matrimonio centrada en el número altamente regular 60 ⁴ = 12.960.000 y sus divisores (véase el número de Platón ). Estudiosos posteriores han recurrido a las matemáticas babilónicas y a la teoría musical para intentar explicar este pasaje. ^{[ 24 ]}

Ciertas especies de bambú liberan grandes cantidades de semillas de forma sincrónica (un proceso llamado fructificación masiva ) a intervalos que se han estimado como números regulares de años, con diferentes intervalos para diferentes especies, incluyendo ejemplos con intervalos de 10, 15, 16, 30, 32, 48, 60 y 120 años. ^{[ 25 ]} Se ha planteado la hipótesis de que el mecanismo biológico para la sincronización de este proceso se presta a números suaves, y en particular en este caso a números suaves de 5. Aunque los intervalos de fructificación masiva estimados para algunas otras especies de bambú no son números regulares de años, esto podría explicarse como un error de medición. ^{[ 25 ]}

• Tabla de recíprocos de números regulares hasta 3600, obtenida del sitio web del profesor David E. Joyce, de la Universidad Clark.
• Generación de números de Hamming con RosettaCode en aproximadamente 50 lenguajes de programación.