Problema de calibración mano-ojo

Dada la ecuación AX=ZB , es posible descomponerla en una parte puramente rotacional y otra traslacional; los métodos que utilizan esto se denominan métodos separables. Donde R _A representa una matriz de rotación de 3×3 y t _A un vector de traslación de 3×1, la ecuación se puede dividir en dos partes: ^{[ 4 ]}

R _A R _X = R _Z R _B

R _A t _X + t _A = R _Z t _B + t _Z

La segunda ecuación se vuelve lineal si se conoce R _Z. Por lo tanto, el enfoque más frecuente es resolver R _x y R _z usando la primera ecuación, y luego usar R _z para resolver las variables en la segunda ecuación. La rotación se representa usando cuaterniones , lo que permite encontrar una solución lineal. Si bien los métodos separables son útiles, cualquier error en la estimación de las matrices de rotación se acumula al aplicarlo al vector de traslación. ^{[ 5 ]} Otras soluciones evitan este problema.

Las soluciones simultáneas se basan en resolver X y Z al mismo tiempo (en lugar de basar la solución de una parte en la otra, como en las soluciones separables), lo que reduce significativamente la propagación del error. ^{[ 6 ]} Al formular las matrices como cuaterniones duales , es posible obtener una ecuación lineal mediante la cual X se puede resolver en formato lineal. ^{[ 5 ]} Una alternativa consiste en aplicar el método de mínimos cuadrados al producto de Kronecker de las matrices A⊗B . Como confirman los resultados experimentales, las soluciones simultáneas tienen menos error que las soluciones de cuaterniones separables. ^{[ 6 ]}

Las soluciones iterativas son otro método utilizado para resolver el problema de la propagación de errores. Un ejemplo de solución iterativa es un programa basado en la minimización de ||AX−XB|| . A medida que el programa itera, convergerá en una solución para X independiente de la orientación inicial del robot R _B. Las soluciones también pueden ser procesos iterativos de dos pasos y, al igual que las soluciones simultáneas, pueden descomponer las ecuaciones en cuaterniones duales . ^{[ 7 ]} Sin embargo, si bien las soluciones iterativas al problema suelen ser simultáneas y precisas, pueden ser computacionalmente costosas y no siempre convergen en la solución óptima. ^{[ 5 ]}

La ecuación matricial AX=XB , donde X es desconocida, tiene un número infinito de soluciones que pueden estudiarse fácilmente mediante un enfoque geométrico. ^{[ 8 ]} Para hallar X es necesario considerar un sistema simultáneo de dos ecuaciones A ₁ X=XB ₁ y A ₂ X=XB ₂ ; las matrices A ₁ , A ₂ , B ₁ , B ₂ deben determinarse mediante experimentos que deben realizarse de forma optimizada. ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{b}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{b}&T_{b}\\0&1\end{bmatrix}}\centerdot {\begin{bmatrix}R_{s}&T_{s}\\0&1\end{bmatrix}}\centerdot {\begin{bmatrix}p_{s}\\1\end{bmatrix}}}$

dónde${\displaystyle p_{b}}$representa la coordenada desconocida del punto${\displaystyle p}$en el sistema base del robot,${\displaystyle R_{b},T_{b}}$representan la relación conocida entre el sistema base del robot y el efector final,${\displaystyle R_{s},T_{s}}$son la relación desconocida entre el efector final y el escáner, y${\displaystyle p_{s}}$es la coordenada conocida del punto${\displaystyle p}$en el sistema de escáner local. Los métodos son los siguientes:

• Bordes rectos

Existe un método que utiliza reglas para la calibración mano-ojo. ^{[ 10 ]}