Descomposición del mango

En matemáticas , una descomposición por asas de una m - variedad M es una unión $${\displaystyle \emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M}$$ donde cada${\displaystyle M_{i}}$se obtiene de${\displaystyle M_{i-1}}$mediante la unión de${\displaystyle i}$- asas . Una descomposición de asas es a una variedad lo que una descomposición CW es a un espacio topológico; en muchos sentidos, el propósito de una descomposición de asas es tener un lenguaje análogo a los complejos CW, pero adaptado al mundo de las variedades diferenciables . Así, un i -asa es el análogo diferenciable de una i- celda. Las descomposiciones de asas de variedades surgen naturalmente a través de la teoría de Morse . La modificación de las estructuras de asas está estrechamente ligada a la teoría de Cerf .

Consideremos la descomposición CW estándar de la n -esfera, con una celda cero y una única n- celda. Desde el punto de vista de las variedades suaves, esta es una descomposición degenerada de la esfera, ya que no hay una forma natural de ver la estructura suave de${\displaystyle S^{n}}$Desde la perspectiva de esta descomposición, en particular la estructura suave cerca de la celda 0 depende del comportamiento del mapa característico.${\displaystyle \chi :D^{n}\to S^{n}}$en un barrio de${\displaystyle S^{n-1}\subset D^{n}}$.

El problema con las descomposiciones CW es que los mapas adjuntos para las celdas no viven en el mundo de los mapas suaves entre variedades. La idea fundamental para corregir este defecto es el teorema del vecindario tubular . Dado un punto p en una${\displaystyle m}$-colector M , su vecindario tubular cerrado${\displaystyle N_{p}}$es difeomorfo a${\displaystyle D^{m}}$, así hemos descompuesto M en la unión disjunta de${\displaystyle N_{p}}$y${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$pegados a lo largo de su límite común. La cuestión vital aquí es que el mapa de pegado es un difeomorfismo. De manera similar, tomemos un arco suave incrustado en${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$, su vecindario tubular es difeomorfo a${\displaystyle I\times D^{m-1}}$Esto nos permite escribir${\displaystyle M}$como la unión de tres variedades, pegadas a lo largo de partes de sus límites:

(1)${\displaystyle D^{m}}$,

(2)${\displaystyle I\times D^{m-1}}$, y

(3) el complemento del vecindario tubular abierto del arco en${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$.

Observe que todos los mapas de pegado son mapas suaves, en particular cuando pegamos${\displaystyle I\times D^{m-1}}$a${\displaystyle D^{m}}$La relación de equivalencia se genera mediante la incrustación de${\displaystyle (\partial I)\times D^{m-1}}$en${\displaystyle \partial D^{m}}$, que es suave según el teorema de vecindad tubular .

Las descomposiciones de asas son una invención de Stephen Smale . ^{[ 1 ]} En su formulación original, el proceso de adjuntar un asa j a una variedad m M supone que se tiene una incrustación suave de${\displaystyle f:S^{j-1}\times D^{mj}\to \partial M}$. Dejar${\displaystyle H^{j}=D^{j}\times D^{mj}}$. El colector${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$(en palabras, M unión un j -manija a lo largo de f ) se refiere a la unión disjunta de${\displaystyle M}$y${\displaystyle H^{j}}$con la identificación de${\displaystyle S^{j-1}\times D^{mj}}$con su imagen en${\displaystyle \partial M}$, es decir, $${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{mj})\right)/\sim }$$ donde la relación de equivalencia${\displaystyle \sim }$es generado por${\displaystyle (p,x)\sim f(p,x)}$a pesar de${\displaystyle (p,x)\in S^{j-1}\times D^{mj}\subset D^{j}\times D^{mj}}$.

Se dice que una variedad N se obtiene de M al añadirle j -asas si la unión de M con un número finito de j -asas es difeomorfa a N. La definición de descomposición de asas es entonces la misma que en la introducción. Así, una variedad tiene una descomposición de asas con solo 0 -asas si es difeomorfa a una unión disjunta de bolas. Una variedad conexa que contiene asas de solo dos tipos (es decir, 0-asas y j -asas para algún j fijo ) se denomina cuerpo de asas .

Al formar la unión M con un asa j${\displaystyle H^{j}}$$${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{mj})\right)/\sim }$$

${\displaystyle f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M}$se conoce como la esfera de unión .

${\displaystyle f}$A veces se le llama el encuadre de la esfera adjunta, ya que trivializa su fibrado normal .

${\displaystyle \{0\}^{j}\times S^{mj-1}\subset D^{j}\times D^{mj}=H^{j}}$es la esfera del cinturón del mango${\displaystyle H^{j}}$en${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$.

Una variedad obtenida al unir asas g k al disco${\displaystyle D^{m}}$es un cuerpo con asa (m,k) de género g .

Una presentación de asa de un cobordismo consiste en un cobordismo W donde${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1}}$y una unión ascendente $${\displaystyle W_{-1}\subset W_{0}\subset W_{1}\subset \cdots \subset W_{m+1}=W}$$ donde M es m- dimensional, W es m+1- dimensional,${\displaystyle W_{-1}}$es difeomorfo a${\displaystyle M_{0}\times [0,1]}$y${\displaystyle W_{i}}$se obtiene de${\displaystyle W_{i-1}}$mediante la unión de i -mandos. Mientras que las descomposiciones de mandos son el análogo para las variedades lo que las descomposiciones de celdas son para los espacios topológicos, las representaciones de mandos de cobordismos son para las variedades con frontera lo que las descomposiciones de celdas relativas son para pares de espacios.

Dada una función Morse${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$en una variedad compacta sin frontera M , de tal manera que los puntos críticos${\displaystyle \{p_{1},\ldots ,p_{k}\}\subset M}$de f satisfacer${\displaystyle f(p_{1})<f(p_{2})<\cdots <f(p_{k})}$y proporcionó $${\displaystyle t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k},}$$ entonces para todo j ,${\displaystyle f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]}$es difeomorfo a${\displaystyle (f^{-1}(t_{j-1})\times [0,1])\cup H^{I(j)}}$donde I ( j ) es el índice del punto crítico${\displaystyle p_{j}}$El índice I(j) se refiere a la dimensión del subespacio máximo del espacio tangente .${\displaystyle T_{p_{j}}M}$donde la matriz hessiana es definida negativa.

Siempre que los índices satisfagan${\displaystyle I(1)\leq I(2)\leq \cdots \leq I(k)}$ Esta es una descomposición de asas de M ; además, toda variedad tiene tales funciones de Morse, por lo que tienen descomposiciones de asas. De manera similar, dado un cobordismo${\displaystyle W}$con${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1}}$y una función${\displaystyle f:W\to \mathbb {R} }$que es Morse en el interior y constante en el límite y satisface la propiedad de índice creciente, hay una presentación de asa inducida del cobordismo W.

Cuando f es una función Morse en M , -f también es una función Morse. La descomposición/presentación de asa correspondiente se llama descomposición dual .

• Una descomposición de Heegaard de una 3-variedad cerrada y orientable es una descomposición de una 3- variedad en la unión de dos cuerpos con asas (3,1) a lo largo de su frontera común, llamada superficie de descomposición de Heegaard. Las descomposiciones de Heegaard surgen para las 3- variedades de varias maneras naturales: dada una descomposición de asas de una 3-variedad, la unión de las asas 0 y 1 es un cuerpo con asas (3,1) , y la unión de las asas 3 y 2 también es un cuerpo con asas (3,1) (desde el punto de vista de la descomposición dual), por lo tanto, una descomposición de Heegaard. Si la 3 -variedad tiene una triangulación T , hay una descomposición de Heegaard inducida donde el primer cuerpo con asas (3,1) es un entorno regular del 1 -esqueleto.${\displaystyle T^{1}}$y el otro (3,1) -cuerpo de asa es un entorno regular del 1 -esqueleto dual .
• Al colocar dos asas sucesivamente${\displaystyle (M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j}}$, es posible cambiar el orden de adjuntar, siempre que${\displaystyle j\leq i}$, es decir: esta variedad es difeomorfa a una variedad de la forma${\displaystyle (M\cup H^{j})\cup H^{i}}$para adjuntar mapas adecuados.
• El límite de${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$es difeomorfo a${\displaystyle \partial M}$se extendió a lo largo de la esfera enmarcada${\displaystyle f}$Este es el vínculo principal entre la cirugía , las manijas y las funciones de Morse.
• Como consecuencia, una variedad m -dimensional M es la frontera de una variedad m+1 -dimensional W si y solo si M puede obtenerse a partir de${\displaystyle S^{m}}$mediante cirugía en una colección de enlaces enmarcados en${\displaystyle S^{m}}$Por ejemplo, se sabe que toda 3- variedad delimita una 4- variedad (de manera similar, las 3 -variedades orientadas y de espín delimitan las 4- variedades orientadas y de espín, respectivamente) gracias al trabajo de René Thom sobre el cobordismo . Por lo tanto, toda 3-variedad puede obtenerse mediante la manipulación de enlaces enmarcados en la 3- esfera. En el caso orientado, es convencional reducir este enlace enmarcado a una incrustación enmarcada de una unión disjunta de círculos.
• El teorema del H-cobordismo se demuestra simplificando las descomposiciones de asas de variedades diferenciables.

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