Desigualdades de Hanner

En matemáticas , las desigualdades de Hanner son resultados de la teoría de espacios L ^p . Su demostración fue publicada en 1956 por Olof Hanner . Proporcionan una forma más sencilla de demostrar la convexidad uniforme de espacios L ^p para p  ∈ (1, +∞) que el enfoque propuesto por James A. Clarkson en 1936.

Sea f ,  g  ∈  L ^p ( E ), donde E es cualquier espacio de medida . Si p  ∈ [1, 2], entonces

${\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}+\|fg\|_{p}^{p}\geq {\big (}\|f\|_{p}+\|g\|_{p}{\big )}^{p}+{\big |}\|f\|_{p}-\|g\|_{p}{\big |}^{p}.}$

Las sustituciones F  =  f  +  g y G  =  f  −  g producen la segunda desigualdad de Hanner:

${\displaystyle 2^{p}{\big (}\|F\|_{p}^{p}+\|G\|_{p}^{p}{\big )}\geq {\big (}\|F+G\|_{p}+\|FG\|_{p}{\big )}^{p}+{\big |}\|F+G\|_{p}-\|FG\|_{p}{\big |}^{p}.}$

Para p  ∈ [2, +∞) las desigualdades se invierten (siguen siendo no estrictas).

Nótese que para las desigualdades se convierten en igualdades que son ambas la regla del paralelogramo . ${\estilo de visualización p=2}$

• Clarkson, James A. (1936). "Espacios uniformemente convexos". Trans. Amer. Math. Soc . 40 (3). American Mathematical Society: 396–414. doi : 10.2307/1989630 . JSTOR  1989630. Señor 1501880
• Hanner, Olof (1956). "Sobre la convexidad uniforme de Lp y ℓp". Ark. Mat . 3 (3): 239–244. doi : 10.1007/BF02589410 . Sr. 0077087