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Método de Hardy Cross

Un ejemplo de red de flujo de tuberías El método de Hardy Cross es un método iterativo para determinar el flujo en sistemas de redes de tuberías donde se conocen las entradas y ...

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Un ejemplo de red de flujo de tuberías

El método de Hardy Cross es un método iterativo para determinar el flujo en sistemas de redes de tuberías donde se conocen las entradas y salidas, pero se desconoce el flujo dentro de la red. [ 1 ] El método fue publicado por primera vez en noviembre de 1936 por su homónimo, Hardy Cross , profesor de ingeniería estructural en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign . [ 2 ] El método de Hardy Cross es una adaptación del método de distribución de momentos , que también fue desarrollado por Hardy Cross como una forma de determinar las fuerzas en estructuras estáticamente indeterminadas .

La introducción del método de Hardy Cross para el análisis de redes de tuberías revolucionó el diseño del suministro de agua municipal . Antes de su introducción, resolver sistemas complejos de tuberías para la distribución era extremadamente difícil debido a la relación no lineal entre la pérdida de carga y el caudal. Posteriormente, el método quedó obsoleto gracias a algoritmos informáticos que empleaban el método de Newton-Raphson u otros métodos numéricos que eliminaban la necesidad de resolver manualmente sistemas de ecuaciones no lineales.

Historia

En 1930, Hardy Cross publicó un artículo titulado "Análisis de pórticos continuos mediante la distribución de momentos en extremos fijos", en el que describió el método de distribución de momentos , que cambiaría la forma en que los ingenieros realizaban análisis estructurales. [ 3 ] El método de distribución de momentos se utilizó para determinar las fuerzas en estructuras estáticamente indeterminadas y permitió a los ingenieros diseñar estructuras de forma segura desde la década de 1930 hasta la de 1960, hasta el desarrollo de métodos computacionales. [ 3 ] En noviembre de 1936, Cross aplicó el mismo método geométrico para resolver problemas de distribución de flujo en redes de tuberías y publicó un artículo titulado "Análisis de flujo en redes de conductos o conductores". [ 1 ]

Derivación

El método de Hardy Cross es una aplicación de la continuidad del flujo y la continuidad del potencial para resolver iterativamente los flujos en una red de tuberías. [ 1 ] En el caso del flujo en tuberías, la conservación del flujo significa que el flujo de entrada es igual al flujo de salida en cada unión de la tubería. La conservación del potencial significa que la pérdida de carga direccional total a lo largo de cualquier bucle en el sistema es cero (suponiendo que una pérdida de carga contabilizada contra el flujo es en realidad una ganancia de carga).

Hardy Cross desarrolló dos métodos para resolver redes de flujo. Cada método comienza por mantener la continuidad del flujo o del potencial, y luego resuelve iterativamente el otro.

Supuestos

El método de Hardy Cross supone que se conoce el flujo de entrada y salida del sistema, así como la longitud, el diámetro, la rugosidad y otras características clave de la tubería, o que estas también se conocen o pueden suponerse. [ 1 ] El método también supone que se conoce la relación entre el caudal y la pérdida de carga, pero no exige el uso de ninguna relación en particular. [ 1 ]

En el caso del flujo de agua a través de tuberías, se han desarrollado varios métodos para determinar la relación entre la pérdida de carga y el caudal. El método de Hardy Cross permite utilizar cualquiera de estas relaciones.

La relación general entre la pérdida de carga y el caudal es:

hF=k⋅Qnorte{\displaystyle h_{f}=k\cdot Q^{n}}

donde k es la pérdida de carga por unidad de caudal y n es el exponente de caudal. En la mayoría de las situaciones de diseño, los valores que componen k , como la longitud, el diámetro y la rugosidad de la tubería, se consideran conocidos o se asumen, por lo que el valor de k puede determinarse para cada tubería de la red. Los valores que componen k y el valor de n varían según la relación utilizada para determinar la pérdida de carga. Sin embargo, todas las relaciones son compatibles con el método de Hardy Cross. [ 4 ]

También vale la pena señalar que el método de Hardy Cross se puede utilizar para resolver circuitos simples y otras situaciones de flujo. En el caso de circuitos simples,

V=K⋅I{\displaystyle V=K\cdot I}

es equivalente a

hF=k⋅Qnorte{\displaystyle h_{f}=k\cdot Q^{n}}.

Al establecer el coeficiente k en K, el caudal Q en I y el exponente n en 1, se puede utilizar el método de Hardy Cross para resolver un circuito simple. Sin embargo, dado que la relación entre la caída de tensión y la corriente es lineal, el método de Hardy Cross no es necesario y el circuito se puede resolver mediante métodos no iterativos.

Método de equilibrado de cabezas

El método de equilibrio de cargas utiliza una estimación inicial que satisface la continuidad del flujo en cada unión y luego equilibra los flujos hasta que también se logra la continuidad del potencial en cada bucle del sistema. [ 1 ]

Demostración (r denota k)

La siguiente demostración se toma del artículo de Hardy Cross, “Análisis del flujo en redes de conductos o conductores”, [ 1 ] y puede verificarse en la página del Programa Nacional de Aprendizaje Mejorado por la Tecnología sobre Ingeniería de Agua y Aguas Residuales, [ 4 ] y en Fundamentos de Sistemas de Ingeniería Hidráulica de Robert J. Houghtalen. [ 5 ]

Si la estimación inicial de los caudales en cada tubería es correcta, el cambio de carga en un circuito del sistema,ΣrQnorte{\displaystyle \Sigma rQ^{n}}sería igual a cero. Sin embargo, si la suposición inicial no es correcta, entonces el cambio en la altura será distinto de cero y un cambio en el flujo,ΔQ{\displaystyle \Delta Q}debe aplicarse. El nuevo caudal,Q=Q0+ΔQ{\displaystyle Q=Q_{0}+\Delta Q}es la suma del caudal antiguo y algún cambio en el caudal tal que el cambio de carga en el circuito sea cero. La suma del cambio de carga en el nuevo circuito será entoncesΣr(Q0+ΔQ)norte=0{\displaystyle \Sigma r(Q_{0}+\Delta Q)^{n}=0}.

El valor deΣr(Q0+ΔQ)norte{\displaystyle \Sigma r(Q_{0}+\Delta Q)^{n}}se puede aproximar utilizando la expansión de Taylor .

Σr(Q0+ΔQ)norte=Σr(Q0norte+norteQ0norte−1ΔQ+...)=0{\displaystyle \Sigma r(Q_{0}+\Delta Q)^{n}=\Sigma r(Q_{0}^{n}+nQ_{0}^{n-1}\Delta Q+...)=0}

Para un pequeñoΔQ{\displaystyle \Delta Q}en comparación conQ0{\displaystyle Q_{0}}Los términos adicionales desaparecen, quedando:

Σr(Q0norte+norteQ0norte−1ΔQ)=0{\displaystyle \Sigma r(Q_{0}^{n}+nQ_{0}^{n-1}\Delta Q)=0}

Y resolver paraΔQ{\displaystyle \Delta Q}

ΣrQ0norte=−ΣnorterQ0norte−1ΔQ{\displaystyle \Sigma rQ_{0}^{n}=-\Sigma nrQ_{0}^{n-1}\Delta Q}
ΔQ=−ΣrQ0norteΣnorterQ0norte−1{\displaystyle \Delta Q=-{\frac {\Sigma rQ_{0}^{n}}{\Sigma nrQ_{0}^{n-1}}}}

El cambio en el flujo que equilibrará la carga sobre el bucle se aproxima medianteΔQ=−ΣrQ0norteΣnorterQ0norte−1{\displaystyle \Delta Q=-{\frac {\Sigma rQ_{0}^{n}}{\Sigma nrQ_{0}^{n-1}}}}Sin embargo, esto es solo una aproximación debido a los términos que se ignoraron en la expansión de Taylor . El cambio en la cabeza durante el bucle puede no ser cero, pero será menor que la estimación inicial. Múltiples iteraciones para encontrar un nuevoΔQ{\displaystyle \Delta Q}se aproximará a la solución correcta. [ 1 ]

Proceso

El método es el siguiente:

  1. Calcula el caudal en cada tubería, asegurándote de que el caudal total de entrada sea igual al caudal total de salida en cada unión. (No es necesario que la estimación sea precisa, pero una buena estimación reducirá el tiempo necesario para encontrar la solución).
  2. Determina cada lazo cerrado del sistema.
  3. Para cada bucle, determine las pérdidas de carga en sentido horario y en sentido antihorario. La pérdida de carga en cada tubería se calcula utilizandohF=rQnorte{\displaystyle h_{f}=rQ^{n}}Las pérdidas de carga en sentido horario se deben a flujos en esa dirección, y lo mismo ocurre con los flujos en sentido antihorario.
  4. Determinar la pérdida de carga total en cada bucle,ΣrQnorte{\displaystyle \Sigma rQ^{n}}, restando la pérdida de carga en sentido antihorario de la pérdida de carga en sentido horario.
  5. Para cada bucle, encuentraΣnorterQnorte−1{\displaystyle \Sigma nrQ^{n-1}}sin referencia a la dirección (todos los valores deben ser positivos).
  6. El cambio en el flujo es igual aΣrQnorteΣnorterQnorte−1{\displaystyle {\frac {\Sigma rQ^{n}}{\Sigma nrQ^{n-1}}}}.
  7. Si el cambio de caudal es positivo, aplíquelo a todas las tuberías del circuito en sentido antihorario. Si el cambio de caudal es negativo, aplíquelo a todas las tuberías del circuito en sentido horario.
  8. Continúe desde el paso 3 hasta que el cambio en el flujo se encuentre dentro de un rango satisfactorio.

Método de balance de flujos (sección incompleta)

El método de equilibrio de flujos utiliza una estimación inicial que satisface la continuidad del potencial en cada bucle y luego equilibra los flujos hasta que también se logra la continuidad del flujo en cada unión.

Ventajas del método Hardy Cross

Matemáticas simples

El método de Hardy Cross es útil porque se basa únicamente en matemáticas sencillas, evitando la necesidad de resolver sistemas de ecuaciones. Sin este método, los ingenieros tendrían que resolver sistemas complejos de ecuaciones con exponentes variables que no se pueden resolver fácilmente a mano.

Autocorregible

El método de Hardy Cross corrige iterativamente los errores de la estimación inicial utilizada para resolver el problema. [ 1 ] Los errores posteriores en el cálculo también se corrigen iterativamente. Si el método se sigue correctamente, se puede encontrar el flujo adecuado en cada tubería incluso si se cometen pequeños errores matemáticos de forma constante durante el proceso. Siempre que las últimas iteraciones se realicen con atención al detalle, la solución seguirá siendo correcta. De hecho, es posible omitir intencionalmente los decimales en las primeras iteraciones del método para acelerar los cálculos.

Ejemplo

Un ejemplo de red de flujo de tuberías

El método de Hardy Cross se puede utilizar para calcular la distribución del flujo en una red de tuberías. Consideremos el ejemplo de una red de tuberías simple que se muestra a la derecha. Para este ejemplo, los flujos de entrada y salida serán de 10 litros por segundo. Consideraremos n = 2, la pérdida de carga por unidad de flujo r y la estimación inicial del flujo para cada tubería de la siguiente manera:

Resolvemos la red mediante el método de equilibrio de cabezas, siguiendo los pasos descritos en el proceso del método anterior.

1. Las estimaciones iniciales se establecen de manera que se mantenga la continuidad del flujo en cada nodo de la red.

2. Los bucles del sistema se identifican como bucle 1-2-3 y bucle 2-3-4.

3. Se determinan las pérdidas de carga en cada tubería.

Para el bucle 1-2-3, la suma de las pérdidas de carga en sentido horario es 25 y la suma de las pérdidas de carga en sentido antihorario es 125.

Para el bucle 2-3-4, la suma de las pérdidas de carga en sentido horario es 125 y la suma de las pérdidas de carga en sentido antihorario es 25.

4. La pérdida de carga total en sentido horario en el bucle 1-2-3 es25−125=−100{\displaystyle 25-125=-100}. La pérdida de carga total en sentido horario en el bucle 2-3-4 es125−25=100{\displaystyle 125-25=100}.

5. El valor deΣnorterQnorte−1{\displaystyle \Sigma nrQ^{n-1}}se determina para cada bucle. Se encuentra que es 60 en ambos bucles (debido a la simetría), como se muestra en la figura.

6. El cambio en el flujo se encuentra para cada bucle usando la ecuaciónΣrQnorteΣnorterQnorte−1{\displaystyle {\frac {\Sigma rQ^{n}}{\Sigma nrQ^{n-1}}}}. Para el bucle 1-2-3, el cambio en el flujo es igual a−100/60=−1,66{\displaystyle -100/60=-1.66}y para el bucle 2-3-4 el cambio en el flujo es igual a100/60=1,66{\displaystyle 100/60=1.66}.

7. El cambio de caudal se aplica a través de los bucles. Para el bucle 1-2-3, el cambio de caudal es negativo, por lo que su valor absoluto se aplica en sentido horario. Para el bucle 2-3-4, el cambio de caudal es positivo, por lo que su valor absoluto se aplica en sentido antihorario. Para la tubería 2-3, que se encuentra en ambos bucles, los cambios de caudal son acumulativos.

El proceso se repite desde el paso 3 hasta que el cambio en el flujo sea suficientemente pequeño o llegue a cero.

3. La pérdida de carga total en el Loop 1-2-3 es

Observe que la pérdida de carga en sentido horario es igual a la pérdida de carga en sentido antihorario. Esto significa que el flujo en este circuito está equilibrado y los caudales son correctos. La pérdida de carga total en el circuito 2-3-4 también estará equilibrada (de nuevo, debido a la simetría).

En este caso, el método encontró la solución correcta en una sola iteración. Para otras redes, pueden ser necesarias varias iteraciones hasta que los flujos en las tuberías sean correctos o aproximadamente correctos.

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Cross, H. (noviembre de 1936). "Análisis del flujo en redes de conductos o conductores" . Estación Experimental de Ingeniería . Boletín n.° 286.
  2. ↑ "Hardy Cross; Educador, analista, ingeniero, filósofo" . Archivado del original el 9 de agosto de 2011. Consultado el 3 de mayo de 2011 .
  3. 1 2 Leonard K Eaton. "Cruce de Hardy y "El método de distribución de momentos"" . Consultado el 10 de abril de 2011 .
  4. 1 2 "Ingeniería de agua y aguas residuales" . Archivado del original el 12 de marzo de 2008. Recuperado el 11 de abril de 2011 .
  5. ↑ Robert J. Houghtalen (2009). Fundamentos de los sistemas de ingeniería hidráulica . ISBN 9780136016380. Consultado el 10 de abril de 2011 .
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