Función C de Harish-Chandra

En matemáticas , la función c de Harish-Chandra es una función relacionada con el operador de entrelazamiento entre dos representaciones de series principales , que aparece en la medida de Plancherel para grupos de Lie semisimples . Harish-Chandra ( 1958a , 1958b ) introdujo un caso especial definido en términos del comportamiento asintótico de una función esférica zonal de un grupo de Lie , y Harish-Chandra ( 1970 ) introdujo una función c más general llamada función C ( generalizada ) de Harish-Chandra . Gindikin y Karpelevich ( 1962 , 1969 ) introdujeron la fórmula de Gindikin-Karpelevich , una fórmula de producto para la función c de Harish-Chandra .   

La función c tiene una generalización c _w (λ) que depende de un elemento w del grupo de Weyl . El único elemento de mayor longitud s ₀ es el único elemento que contiene la cámara de Weyl.${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}^{*}}$sobre${\displaystyle -{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}$Según la fórmula integral de Harish-Chandra, c _{s 0} es la función c de Harish-Chandra :

${\displaystyle c(\lambda )=c_{s_{0}}(\lambda ).}$

Las funciones c se definen en general mediante la ecuación

${\displaystyle \displaystyle A(s,\lambda )\xi _{0}=c_{s}(\lambda )\xi _{0},}$

donde ξ ₀ es la función constante 1 en L ² ( K / M ). La propiedad de cociclo de los operadores entrelazados implica una propiedad multiplicativa similar para las funciones c :

${\displaystyle c_{s_{1}s_{2}}(\lambda )=c_{s_{1}}(s_{2}\lambda )c_{s_{2}}(\lambda )}$

proporcionó

${\displaystyle \ell (s_{1}s_{2})=\ell (s_{1})+\ell (s_{2}).}$

Esto reduce el cálculo de c _s al caso en que s = s _α , la reflexión en una raíz (simple) α, la llamada "reducción de rango uno" de Gindikin y Karpelevich (1962) . De hecho, la integral involucra solo el subgrupo cerrado conexo G ^α correspondiente a la subálgebra de Lie generada por${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\pm \alpha }}$donde α se encuentra en Σ ₀ ⁺ . Entonces G ^α es un grupo de Lie semisimple real con rango real uno, es decir dim A ^α = 1, y c _s es simplemente la función c de Harish-Chandra de G ^α . En este caso, la función c se puede calcular directamente y está dada por

${\displaystyle c_{s_{\alpha }}(\lambda )=c_{0}{2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda ,\alpha _{0})) \over \Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0}))\Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0}))},}$

dónde

${\displaystyle c_{0}=2^{m_{\alpha }/2+m_{2\alpha }}\Gamma \left({1 \over 2}(m_{\alpha }+m_{2\alpha }+1)\right)}$

y α ₀ =α/〈α,α〉.

La fórmula general de Gindikin-Karpelevich para c (λ) es una consecuencia inmediata de esta fórmula y de las propiedades multiplicativas de c _s (λ), como sigue:

${\displaystyle c(\lambda )=c_{0}\prod _{\alpha \in \Sigma _{0}^{+}}{2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda ,\alpha _{0})) \over \Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0}))\Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0}))},}$

donde la constante c ₀ se elige de modo que c (–iρ)=1 ( Helgason 2000 , p.447) .

La función c aparece en el teorema de Plancherel para funciones esféricas , y la medida de Plancherel es 1/ c ² veces la medida de Lebesgue .

Existe una función c similar para los grupos de Lie p -ádicos. Macdonald ( 1968 , 1971 ) y Langlands (1971) encontraron una fórmula de producto análoga para la función c de un grupo de Lie p -ádico. 

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